Tecniche robuste di regressione polinomiale multivariata
Metodi innovativi per la regressione polinomiale in ambienti rumorosi.
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Indice
La regressione polinomiale è un metodo usato per modellare le relazioni tra variabili. In parole semplici, si tratta di trovare una funzione polinomiale che si adatti al meglio a un insieme di punti dati. Questo metodo ha molte applicazioni, dalle scienze fisiche all'economia e all'apprendimento automatico. Tuttavia, quando si ha a che fare con dati rumorosi, specialmente quando alcuni punti dati sono errati o estremi, diventa complicato trovare un polinomiale affidabile.
Questo articolo si concentra sulla regressione polinomiale multivariata robusta, dove ci interessa adattare un polinomiale con più variabili nonostante la presenza di rumore e Outlier. Gli outlier sono punti dati che non seguono la tendenza generale dei dati. Il nostro obiettivo è sviluppare metodi che possano produrre un buon polinomiale anche quando una frazione dei punti dati sono outlier.
Il Problema
Nella regressione polinomiale multivariata robusta, assumiamo di avere una funzione polinomiale che vogliamo identificare, ma abbiamo solo campioni rumorosi di questa funzione. Alcuni di questi campioni possono essere completamente errati.
Denotiamo la nostra funzione polinomiale come avente un certo grado in ciascuna variabile. Il nostro compito è recuperare questo polinomiale basandoci su un insieme di campioni casuali. Ogni campione potrebbe avere rumore aggiunto, e una piccola frazione dei campioni potrebbe essere outlier.
In termini più pratici, supponiamo di voler trovare un polinomiale che si relazioni con le misurazioni che abbiamo. Ogni misurazione potrebbe essere relativamente accurata ma potrebbe anche includere alcuni errori. In alcuni casi, potremmo avere misurazioni che sono completamente sbagliate, noti come outlier.
Lavori Precedenti
Ricerche precedenti hanno affrontato il problema della regressione polinomiale in vari modi. Studi precedenti si erano concentrati principalmente su casi unidimensionali. Alcuni metodi hanno fornito algoritmi che possono funzionare efficacemente sotto certe condizioni, come specifiche distribuzioni dei dati.
Tuttavia, man mano che il problema si estende a più variabili, la complessità aumenta. Sono stati proposti vari algoritmi, ma molti faticano con l'accuratezza quando sono presenti outlier. La ricerca recente ha cercato di creare metodi robusti che possano resistere a una percentuale costante di outlier pur fornendo approssimazioni accurate del polinomiale sottostante.
Risultati Principali
I principali contributi di questo studio includono lo sviluppo di algoritmi che possono recuperare in modo efficiente polinomi multivariati nonostante la presenza di outlier. Ci concentriamo su due distribuzioni principali: la distribuzione uniforme e la distribuzione di Chebyshev.
Sviluppo degli Algoritmi: I nostri algoritmi possono approssimare un polinomiale a un certo livello di accuratezza tenendo conto degli outlier. Ad esempio, un algoritmo può raggiungere un livello specifico di precisione quando i dati provengono dalla distribuzione di Chebyshev.
Complessità del campione: Mostriamo che i nostri metodi raggiungono una complessità del campione ottimale, il che significa che usano la minima quantità di dati necessari per ottenere l'accuratezza desiderata. I nostri algoritmi richiedono meno campioni quando la distribuzione dei dati è favorevole.
Robustezza contro gli Outlier: Questi algoritmi rimangono efficaci anche quando fino a una certa percentuale dei dati sono outlier. Questo è cruciale per le applicazioni pratiche, dove gli outlier sono spesso presenti.
Contributi Tecnici
Partizione di Chebyshev
Una delle tecniche chiave che utilizziamo è la partizione di Chebyshev. Questo comporta la suddivisione dello spazio di input in sezioni più piccole, o celle, basate su nodi di Chebyshev. Questa partizione aiuta ad approssimare il polinomiale in modo strutturato.
Ogni cella ci permette di analizzare il comportamento del polinomiale all'interno di quell'area. Approssimando il polinomiale con funzioni costanti a tratti su queste celle, possiamo garantire che la nostra approssimazione rimanga vicina al polinomiale reale su tutto lo spazio di input.
Analisi dell'Errore
Forniamo anche un'analisi dell'errore coinvolto nelle nostre approssimazioni polinomiali. Questa analisi è essenziale per capire quanto strettamente il nostro polinomiale approssimato corrisponda al polinomiale vero e come cambi con il numero di campioni e il grado del polinomiale.
Questa analisi dell'errore mostra che i nostri metodi possono ridurre efficacemente l'errore di approssimazione attraverso un affinamento iterativo. Affinando ripetutamente le nostre stime, possiamo migliorare l'accuratezza del polinomiale che recuperiamo.
Considerazioni sulla Precisione
Un altro aspetto significativo del nostro lavoro è la gestione della precisione. In molte applicazioni pratiche, specialmente nei sistemi informatici, possiamo rappresentare i numeri solo con un numero limitato di bit. Questa limitazione richiede che progettiamo i nostri algoritmi in un modo che rimangano accurati anche con una precisione numerica limitata.
I nostri algoritmi possono gestire efficacemente questa situazione filtrando i campioni che sono troppo vicini ai confini delle celle definite, garantendo che solo i campioni più affidabili contribuiscano all'approssimazione polinomiale.
Applicazioni
Le tecniche sviluppate in questa ricerca possono essere applicate in vari campi. Ad esempio, nella visione artificiale, quando si cerca di identificare i bordi degli oggetti, la regressione polinomiale può aiutare ad adattare curve ai confini stimati. In economia, questi metodi possono modellare relazioni tra diversi indicatori finanziari, permettendo agli analisti di fare previsioni migliori basate su dati storici.
Conclusione
La regressione polinomiale multivariata robusta è un'area di studio impegnativa ma vitale. Sviluppando algoritmi efficienti che possono gestire dati rumorosi e outlier, possiamo migliorare significativamente la nostra capacità di modellare relazioni complesse in vari ambiti. Le ricerche future potrebbero esplorare metodi ancora più robusti o applicare queste tecniche a nuovi settori, dimostrando la loro versatilità e rilevanza pratica.
In sintesi, questo lavoro stabilisce un approccio fondamentale per affrontare la regressione polinomiale multivariata in presenza di rumore e outlier, mirando a soluzioni che siano sia efficienti che efficaci in varie applicazioni pratiche.
Titolo: Outlier Robust Multivariate Polynomial Regression
Estratto: We study the problem of robust multivariate polynomial regression: let $p\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ be an unknown $n$-variate polynomial of degree at most $d$ in each variable. We are given as input a set of random samples $(\mathbf{x}_i,y_i) \in [-1,1]^n \times \mathbb{R}$ that are noisy versions of $(\mathbf{x}_i,p(\mathbf{x}_i))$. More precisely, each $\mathbf{x}_i$ is sampled independently from some distribution $\chi$ on $[-1,1]^n$, and for each $i$ independently, $y_i$ is arbitrary (i.e., an outlier) with probability at most $\rho < 1/2$, and otherwise satisfies $|y_i-p(\mathbf{x}_i)|\leq\sigma$. The goal is to output a polynomial $\hat{p}$, of degree at most $d$ in each variable, within an $\ell_\infty$-distance of at most $O(\sigma)$ from $p$. Kane, Karmalkar, and Price [FOCS'17] solved this problem for $n=1$. We generalize their results to the $n$-variate setting, showing an algorithm that achieves a sample complexity of $O_n(d^n\log d)$, where the hidden constant depends on $n$, if $\chi$ is the $n$-dimensional Chebyshev distribution. The sample complexity is $O_n(d^{2n}\log d)$, if the samples are drawn from the uniform distribution instead. The approximation error is guaranteed to be at most $O(\sigma)$, and the run-time depends on $\log(1/\sigma)$. In the setting where each $\mathbf{x}_i$ and $y_i$ are known up to $N$ bits of precision, the run-time's dependence on $N$ is linear. We also show that our sample complexities are optimal in terms of $d^n$. Furthermore, we show that it is possible to have the run-time be independent of $1/\sigma$, at the cost of a higher sample complexity.
Autori: Vipul Arora, Arnab Bhattacharyya, Mathews Boban, Venkatesan Guruswami, Esty Kelman
Ultimo aggiornamento: 2024-03-14 00:00:00
Lingua: English
URL di origine: https://arxiv.org/abs/2403.09465
Fonte PDF: https://arxiv.org/pdf/2403.09465
Licenza: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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