Verbesserung der Simulation von Mehr-Ebenen-Quantensystemen

Aktuelle Quanten-Simulatoren nutzen hauptsächlich Qubits, was sie gut macht, um zwei-niveaus Quanten-Systeme zu simulieren. Allerdings beinhalten viele natürliche Systeme mehr als zwei Niveaus, wie höhere Spins, Bosonen, Vibrationsmoden und wandernde Elektronen. Um diese Multi-Level-Systeme mit qubit-basierten Quanten-Simulatoren zu simulieren, brauchen wir eine Methode, um das Multi-Level-System mit einer Qubit-Struktur zu verbinden. Diese Verbindung kann manchmal unerwünschte Zustände im mathematischen Raum einführen, die den Simulationsprozess komplizieren können.

In dieser Arbeit entwickeln wir eine Methode, um mit diesen unerwünschten Zuständen umzugehen. Ausserdem vergleichen wir zwei verschiedene Arten, die Verbindung herzustellen: binäre Kodierung und Symmetrie-Kodierung. Wir testen ihre Effektivität, indem wir verschiedene Viele-Körper-Systeme simulieren, einschliesslich des Grundzustands und der Zeitevolution. Während die binäre Kodierung in Bezug auf die Anzahl der verwendeten Qubits effizient ist, hat sie Schwierigkeiten, die Symmetrien des ursprünglichen Systems in ihr Design zu integrieren. Im Gegensatz dazu erleichtert die Symmetrie-Kodierung die Einbeziehung dieser Symmetrien, erfordert jedoch mehr Qubits. Unsere Analyse zeigt, dass die Symmetrie-Kodierung deutlich besser abschneidet als die binäre Kodierung, da sie weniger Verschränkungs-Gatter benötigt, schneller konvergiert und weniger sensibel für bestimmte Trainingsherausforderungen ist.

Wir haben Simulationen für verschiedene Systeme durchgeführt, darunter Spin-1, Spin-3/2 und bosonische Systeme sowie für die Zeitevolution von Spin-1-Systemen. Unsere Methode kann auf aktuellen Quanten-Simulatoren verwendet werden und hat das Potenzial, auf eine Vielzahl physikalischer Modelle angewendet zu werden.

#Bedeutung der Quantenberechnung

Quantenberechnung bietet eine einzigartige Möglichkeit, Quanten-Systeme zu modellieren und spezifische Rechenprobleme schneller zu lösen als klassische Computer. Diese Quanten-Computer können jede Operation an Quanten-Zuständen innerhalb eines mathematischen Raums durchführen. Jede Operation kann in einfachere Operationen zerlegt werden, die Einzelpartikel-Drehungen und Zwei-Partikel-Tore beinhalten, die als universelle Tore bezeichnet werden. Dies führt zum Konzept der digitalen Quantenberechnung, bei dem das Design eines Quantencomputers darum geht, diese universellen Tore zu implementieren.

Allerdings stehen kurzfristige Quanten-Geräte, bekannt als rauschende Geräte im mittleren Massstab (NISQ), vor mehreren Einschränkungen, wie begrenzten Verbindungen, kurzen Fehlerkorrekturzeiten und Ungenauigkeiten bei Operationen. Diese Herausforderungen machen die universelle Quantenberechnung in naher Zukunft schwer erreichbar. Dennoch werden Quanten-Simulatoren, die eine begrenzte Anzahl von Operationen ausführen und komplexe Quanten-Systeme simulieren können, aufgrund laufender technologischer Fortschritte immer machbarer. Diese Simulatoren, die hauptsächlich Qubits verwenden, sind von Natur aus gut geeignet, um zwei-niveaus Quanten-Systeme zu simulieren.

#Multi-Level-Systeme

Viele natürliche Systeme haben mehrere Niveaus, darunter höhere Spins, Bosonen, Vibrationsmoden und wandernde Elektronen. Da die meisten Quanten-Simulatoren auf Qubits basieren, ist eine wichtige Frage, wie man diese Multi-Level-Systeme simuliert. Frühere Arbeiten haben verschiedene Methoden vorgeschlagen, um ein Multi-Level-System auf ein Qubit-System abzubilden, wobei eine bestimmte Anzahl von Qubits erforderlich ist.

Die Simulation von Multi-Level-Systemen auf qubit-basierten Simulatoren kann mehrere Herausforderungen mit sich bringen:

1. Die Abbildung kann den entsprechenden mathematischen Raum vergrössern, was bedeutet, dass bestimmte Bereiche während der Simulation vermieden werden sollten.
2. Das resultierende Qubit-Modell kann Multi-Körper-Interaktionen beinhalten, was die Simulation kompliziert.
3. Neue Strategien sind erforderlich, um die Symmetrien des ursprünglichen Systems in die Qubit-Abbildung zu integrieren.

Obwohl universelle Quantenberechnung mit NISQ-Geräten noch nicht möglich ist, könnte man sich fragen, ob diese Geräte irgendwelche Vorteile gegenüber klassischen Computern bieten können. Tatsächlich haben NISQ-Simulatoren einige Vorteile bei Sampling-Problemen gezeigt, obwohl Sampling möglicherweise keine praktischen Anwendungen hat. Daher bleibt die Frage, praktische Vorteile in NISQ-Simulatoren zu finden, ungeklärt.

Variational Quantum Algorithms (VQAs) stechen als vielversprechender Ansatz hervor, um Quanten-Vorteile während der NISQ-Ära zu erreichen. VQAs wurden für verschiedene Anwendungen entwickelt, einschliesslich Quantenchemie, Optimierung, maschinelles Lernen, dynamische Simulationen, Sensorik und Festkörperphysik.

#Variational Quantum Eigensolver (VQE)

Der Variational Quantum Eigensolver (VQE) ist eine bedeutende Art von VQA, die darauf abzielt, Niedrigenergie-Zustände eines gegebenen Systems zu simulieren. VQE nutzt einen Quantenkreis, um einen Quanten-Zustand vorzubereiten, und integriert eine Reihe von anpassbaren Parametern. Durch die Änderung dieser Parameter kann der Output des Quantenkreises einen Teil des mathematischen Raums erkunden, der für das Problem relevant ist.

In Kreisen mit tiefen Strukturen kann der erreichbare Teil des Raums erweitert werden, was die Vorbereitung eines beliebigen Quanten-Zustands mit einer bestimmten Anzahl von Qubits ermöglicht. Das Ziel ist jedoch oft, den Kreis so einfach wie möglich zu halten, wobei der Fokus auf den relevantesten Teilen des Raums liegt. Speziell zielt VQE auf einen Kreis ab, der den interessierenden Grundzustand enthält. Viele verschiedene Kreisdesigns, bekannt als Ansätze, wurden vorgeschlagen, die in ihrer Komplexität variieren.

Der erwartete Wert eines Hamiltonians wird am Ausgang der Simulation gemessen. Das Ziel ist es, die Parameter durch eine klassische Optimierungsmethode anzupassen, um den erwarteten Wert zu minimieren. Wenn der erreichbare Raum den Grundzustand einschliesst, dann liefert der optimale Kreis diesen Grundzustand.

Die Simulation des Grundzustands benötigt in der Regel weniger Ressourcen als die Simulation dynamischer Zustände vieler Körper. Der Grundzustand eines lokalen Hamiltonians folgt typischerweise einem bestimmten Muster, während nicht-gleichgewichtige Zustände oft komplexer sind.

Nicht-Gleichgewichts-Dynamik kann auf zwei Arten simuliert werden:

1. Trotterisierung, die einen tieferen Quantenkreis benötigt.
2. Variationssimulation, die den Kreis möglicherweise vereinfacht, indem sie klassische Optimierung nutzt.

In dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf eine Variationsmethode zur Simulation von Multi-Level-Systemen auf qubit-basierten Geräten.

#Kodierung von Multi-Level-Systemen in Qubits

Der erste Schritt zur Simulation eines Multi-Level-Systems auf einem qubit-basierten Simulator besteht darin, einen Kodierungsalgorithmus zu verwenden, um Multi-Level-Operatoren mit Qubit-Operatoren zu verbinden. Für diese Verbindung wurden mehrere Methoden erforscht. Die einfachste Methode ist die binäre Kodierung, bei der ein Multi-Level-Partikel durch eine bestimmte Anzahl von Qubits dargestellt wird.

Bei der Verwendung der binären Kodierung wird jeder Multi-Level-Zustand einer binären Darstellung zugeordnet, die seinem Index entspricht und als Qubit-Zustand gespeichert wird. Zum Beispiel erfordert die Simulation eines 4-Niveau-Systems 2 Qubits.

Eine andere Methode ist die Symmetrie-Kodierung, die jeden Niveaustand in eine Überlagerung von Qubit-Zuständen mit einer bestimmten Anzahl von Anregungen abbildet. Dieser Ansatz hilft, Symmetrien in Systemen wie dem Gesamtspin zu bewahren.

Während die binäre Kodierung weniger Qubits benötigt, kann sie Symmetrien nicht effektiv in den Kreis integrieren. Im Gegensatz dazu ermöglicht die Symmetrie-Kodierung eine einfachere Einbeziehung dieser Merkmale, benötigt jedoch mehr Qubits.

In beiden Fällen tendiert der mathematische Raum des Qubit-Systems dazu, grösser zu sein als der des ursprünglichen Multi-Level-Systems. Infolgedessen können bestimmte Zustände im Qubit-System "illegitim" sein, was bedeutet, dass sie keinen entsprechenden Zustand im ursprünglichen Multi-Level-System haben. Diese Diskrepanz kann die Simulationen komplizieren, insbesondere in VQE, wo illegitime Zustände fälschlicherweise als Niedrigenergie-Zustände erscheinen können.

Um mit diesen illegitimen Zuständen umzugehen, können wir eine Strafe in den Optimierungsprozess einfügen, um die Energie dieser Zustände höher zu treiben.

#Variations-Simulation des Grundzustands

Wir konzentrieren uns auf eine Grundzustandssimulation für ein spezifisches Multi-Level-System unter Verwendung eines gewählten Hamiltonians. Die Simulation zielt darauf ab, die Eigenschaften des Quantensystems zu verstehen und wie sich diese Eigenschaften in verschiedenen Einstellungen ändern.

Wir führen Simulationen für ein Modell mit Spins durch und untersuchen, wie die Kodierungsmethoden unter verschiedenen Bedingungen abschneiden. Insbesondere stellen wir fest, dass die Symmetrie-Kodierung, obwohl sie mehr Qubits benötigt, die Eigenschaften des Systems robuster handhabt als die binäre Kodierung. Dies hat Auswirkungen auf die Arten von Schaltungen, die wir effektiv verwenden können, um Quantensysteme zu modellieren.

Die Ergebnisse unserer Simulationen zeigen, dass die Symmetrie-Kodierung zu einer besseren Konvergenz zum Grundzustand führt im Vergleich zur binären Kodierung, die mit zunehmender Schaltungstiefe Schwierigkeiten hat.

#Zeitevolution-Simulation

Neben den Grundzustandssimulationen erkunden wir auch die Zeitevolution innerhalb von Multi-Level-Systemen. Dies bietet Einblicke, wie Quanten-Zustände sich über die Zeit entwickeln, und gibt die Möglichkeit, Dynamiken im System zu beobachten.

Zum Beispiel können wir simulieren, wie ein Spin-1-System über die Zeit interagiert, indem wir einen spezifischen Hamiltonian verwenden. Die Methode, die in diesem Prozess verwendet wird, hängt stark von sorgfältig gewählten Anfangszuständen und Schaltungsdesigns ab, die die Eigenschaften des Systems widerspiegeln.

Unsere Ergebnisse zeigen, dass die Symmetrie-Kodierung effektiv ist, um die Dynamik eines Multi-Level-Systems zu erfassen, was zu Ergebnissen führt, die gut mit theoretischen Vorhersagen übereinstimmen.

#Fazit

Zusammenfassend haben wir die Simulation von Multi-Level-Systemen unter Verwendung von qubit-basierten Quanten-Simulatoren untersucht. Indem wir Methoden der binären und Symmetrie-Kodierung verglichen haben, haben wir gezeigt, dass die binäre Kodierung zwar in Bezug auf die Qubit-Nutzung effizient ist, jedoch oft Schwierigkeiten hat, die Symmetrien des ursprünglichen Systems effektiv zu erfassen. Die Symmetrie-Kodierung erfordert zwar mehr Qubits, verbessert jedoch die Leistung der Simulation erheblich, indem sie die Eigenschaften des Systems besser behandelt.

Durch unsere Simulationen haben wir gezeigt, dass der Ansatz mit Strafen zur Handhabung illegitimer Zustände eine akkurate Modellierung des Grundzustands und des dynamischen Verhaltens von Multi-Level-Systemen erleichtern kann. Unsere Ergebnisse unterstreichen die Bedeutung der Kodierungsmethoden für die effektive Nutzung von Quanten-Simulatoren und eröffnen Möglichkeiten für zukünftige Untersuchungen zur Simulation komplexer Quantensysteme in verschiedenen Bereichen.