Optimiser plusieurs objectifs avec la scalarisation

L’Optimisation multi-objectifs est une méthode utilisée pour résoudre des problèmes qui impliquent plusieurs fonctions objectives. Ces objectifs sont souvent en conflit, ce qui rend difficile de trouver une solution qui règle tous les buts en même temps. Une façon courante de simplifier ce problème est un process appelé Scalarisation. Ça consiste à transformer les multiples objectifs en un seul objectif plus facile à gérer.

#Comprendre la Scalarisation

La scalarisation prend plusieurs objectifs et les combine en un seul. Ça se fait généralement avec des fonctions d’utilité, des outils utilisés en économie pour exprimer les préférences. Dans ce contexte, une fonction d’utilité mesure combien de satisfaction un joueur obtient de différents résultats selon ses objectifs.

Pour l’optimisation multi-objectifs, le but peut être de maximiser la fonction d’utilité qui découle de plusieurs objectifs, en tenant compte d’un point de désaccord. Ce point de désaccord représente le niveau de satisfaction des joueurs s'il n'y a pas d'accord.

#Fonctions d’Utilité

Les fonctions d’utilité aident à mesurer comment différents résultats s'alignent avec les préférences d’un individu ou d’un groupe. Dans notre étude, on se concentre sur plusieurs fonctions d’utilité classiques en économie :

1. Fonction d’Utilité Cobb-Douglas : Cette fonction est couramment utilisée pour estimer les préférences, caractérisée par sa nature multiplicative.

2. Fonction d’Utilité Leontief : Cette fonction représente une situation où les biens sont des compléments parfaits, c'est-à-dire qu'ils sont consommés ensemble dans des proportions fixes.

3. Fonction d’Utilité à Elasticité de Substitution Constante (CES) : Cette fonction peut modéliser diverses préférences entre les biens, permettant différents degrés de substitution entre eux.

#Cadre Théorique

On a développé un cadre théorique qui relie les fonctions d'utilité avec des problèmes d’optimisation à objectif unique. Sous ce cadre, on montre qu’il est possible de récupérer des points optimaux de Pareto grâce à la scalarisation en résolvant un problème modifié à objectif unique.

Un Point optimal de Pareto est une solution où aucun objectif ne peut être amélioré sans rendre un autre pire. L’essence de notre cadre est de démontrer qu’avec des réglages appropriés des fonctions d’utilité, tout point optimal de Pareto peut être réalisé grâce à la scalarisation.

#Approche Pratique pour Résoudre le Problème

Quand on applique la scalarisation, il faut résoudre le problème d’optimisation à objectif unique dérivé de l’ensemble multi-objectifs. Cependant, ça peut être compliqué à cause des contraintes provenant du point de désaccord.

Le principal défi réside dans la gestion correcte de ces contraintes. Notre observation est que ces contraintes peuvent parfois être évitées si certaines conditions sont remplies. Ça simplifie considérablement le problème, permettant une solution numérique de l’optimisation sans traiter explicitement ces contraintes.

Notre approche aboutit à un schéma numérique conçu pour des problèmes d’optimisation dépendants des utilités. Dans ce schéma, si des conditions spécifiques sont satisfaites, on peut garantir que notre méthode va converger vers les points qui sont optimaux de Pareto.

#Expériences Numériques

Pour valider notre approche de scalarisation, on a effectué des tests à partir de jeux de données financières réels axés sur la Sélection de portefeuilles. Dans ce contexte, on voulait optimiser non seulement les rendements attendus d’un portefeuille, mais aussi son risque et sa durabilité.

En analysant ces portefeuilles, on a construit un ensemble d'objectifs :

• Minimiser le Risque : Ça concerne la réduction du potentiel de perte dans le portefeuille d'investissement.
• Maximiser le Rendement Attendu : Ça se concentre sur l'augmentation des rendements financiers possibles des investissements.
• Maximiser le Score ESG : Ça prend en compte les aspects environnementaux, sociaux et de gouvernance des investissements, en promouvant la durabilité.

En ajustant les poids des différentes fonctions d'utilité dans notre processus de scalarisation, on a pu trouver des solutions efficaces qui répondaient à ces objectifs. Les résultats de nos expériences ont montré que la méthode proposée fonctionne bien pour identifier les points optimaux de Pareto.

#Comparaison avec les Approches Standard

Dans l’optimisation multi-objectifs, la scalarisation est devenue une pratique standard pour trouver des solutions. En général, on applique la scalarisation par somme pondérée, mais notre approche avec des fonctions d’utilité offre une alternative plus sophistiquée.

Il existe diverses autres techniques de scalarisation couramment utilisées, y compris :

• Approches à Puissance Pondérée : Ces méthodes impliquent d’élever les objectifs à une puissance spécifique et de les pondérer en conséquence.

• Approches Quadratiques : Celles-ci consistent à minimiser une combinaison quadratique des objectifs.

• Méthodes de Point de Référence : Ces méthodes utilisent un point de référence prédéfini et minimisent la distance par rapport à ce point depuis l'ensemble de Pareto, offrant des solutions notables.

Le cadre que nous avons présenté permet de la flexibilité dans la façon dont les objectifs peuvent être priorisés et gérés, faisant de ça un outil précieux en optimisation.

#Mise en œuvre Computationnelle

Notre schéma numérique permet un moyen efficace de calculer des solutions en s’appuyant sur les propriétés des fonctions d’utilité. Quand on résout ces problèmes d’optimisation, on utilise des algorithmes qui garantissent une convergence vers les points optimaux de Pareto efficacement.

Une partie de l’algorithme consiste à calculer un point de Slater, qui sert de point de départ pour l’optimisation. C'est crucial car ça assure qu’on a un point qui satisfait toutes les contraintes. À partir de là, des méthodes itératives aident à affiner la solution jusqu’à ce qu'elle converge sur un point optimal.

#Application à la Sélection de Portefeuille

On a spécifiquement testé notre approche dans un scénario de sélection de portefeuille, où on a appliqué notre méthode de scalarisation à des données financières réelles. On a utilisé des ensembles de données contenant des informations sur les prix des actifs et leurs scores ESG respectifs, ce qui nous a permis d’analyser les impacts d’incorporer la durabilité dans les métriques d’investissement traditionnelles.

En fixant un portefeuille également pondéré comme référence, on a pu explorer comment les variations des fonctions d'utilité influençaient la frontière efficace des options d'investissement. La frontière efficace représente l'ensemble des portefeuilles optimaux offrant le rendement attendu le plus élevé pour un niveau de risque donné.

Dans nos expériences, on a pu visualiser et analyser les résultats, montrant comment notre scalarisation mène à des solutions pratiques et efficaces pour les investisseurs cherchant à équilibrer risque et rendement tout en prenant en compte la durabilité.

#Conclusion

Notre étude offre une nouvelle perspective sur la gestion des problèmes d'optimisation multi-objectifs grâce à la scalarisation via des fonctions d’utilité. Cette méthode simplifie non seulement le process d’optimisation, mais permet aussi une compréhension plus nuancée de comment différents objectifs peuvent être équilibrés dans des scénarios réels.

Les expériences numériques réalisées valident l’efficacité de notre approche, la présentant comme une stratégie viable pour la sélection de portefeuille et au-delà. Les recherches futures pourraient élargir ce cadre, en examinant des fonctions d’utilité supplémentaires et en explorant leurs impacts dans divers domaines et applications.