Effiziente Berechnung von Extremumgrafiken mit einem hybriden GPU-CPU-Ansatz

Der Extremum-Graph ist eine kompakte Möglichkeit, die Struktur von Daten, die als Skalarfelder dargestellt sind, zu visualisieren. Diese Graphen helfen, die wichtigen Merkmale dieser Daten zu verstehen, besonders in 2D- und 3D-Umgebungen. Der Extremum-Graph ist besonders nützlich für die visuelle Darstellung und Analyse komplexer Datensätze. Traditionelle Methoden zur Berechnung dieser Graphen basieren oft auf einfachen Algorithmen, die für niedrigere Dimensionen geeignet sind, was ihre Effektivität bei grösseren Datensätzen einschränkt.

Wir haben eine neue Methode entwickelt, die die Leistung von GPU und CPU kombiniert, um Extremum-Graphen zu berechnen. Unser Ansatz ermöglicht effiziente Berechnungen, selbst wenn man mit grossen Datensätzen zu tun hat, die nicht vollständig in den Speicher der GPU passen. Diese hybride Methode nutzt sowohl feingranulare als auch aufgabenparallele Ansätze, was die Leistung erheblich steigert. Wir bieten auch eine Open-Source-Softwarebibliothek an, die diesen Algorithmus implementiert und die Geschwindigkeit und Skalierbarkeit verbessert.

#Hintergrund

In der wissenschaftlichen Forschung werden Daten oft als Skalarfeld dargestellt, wobei jeder Punkt im Raum einen Wert hat. Ein Extremum-Graph erfasst die wesentliche Struktur dieser Daten, indem er sich auf Kritische Punkte konzentriert, wie Maxima und Minima. Diese Punkte repräsentieren die höchsten und niedrigsten Werte in einem Bereich, und ihre Verbindungen helfen, den Fluss der Daten zu verstehen.

Die traditionellen Methoden zur Erstellung von Extremum-Graphen umfassen Flood Fill und Gradient Path Tracing. Flood Fill berechnet die Struktur in einem Durchgang, kann aber speicherintensiv sein und zeigt nicht explizit die Verbindungen zwischen Extrema. Im Gegensatz dazu konzentriert sich Gradient Path Tracing auf das Nachverfolgen von Pfaden von Sätteln zu Maxima, was eine klarere Darstellung bietet, aber komplexer zu parallelisieren ist.

#Unser Ansatz

Wir schlagen einen neuen Algorithmus vor, der Shared Memory nutzt, um die Stärken beider Methoden zu kombinieren. Der Algorithmus arbeitet in zwei Hauptschritten:

1. Klassifizierung kritischer Punkte: In diesem Schritt werden kritische Punkte (Maxima und Sättel) im Skalarfeld identifiziert und klassifiziert.
2. Gradient Path Tracing: In diesem Schritt werden Pfade von den identifizierten Sätteln zu den Maxima verfolgt und bilden die Bögen des Extremum-Graphs.

Im ersten Schritt klassifizieren wir Punkte, indem wir ihre lokalen Nachbarschaften analysieren. Jeder Punkt wird daraufhin getestet, ob er ein Maximum, Minimum oder Sattel ist. Die Klassifizierung ist unabhängig von anderen Punkten, was eine effiziente Verarbeitung ermöglicht.

Im zweiten Schritt verfolgen wir die Pfade von Sätteln. Dabei bewegen wir uns durch Punkte basierend auf ihren Gradientenrichtungen, bis wir ein Maximum erreichen. Während dieser Schritt von Natur aus seriell ist, können wir diese Verfolgungen für mehrere Sättel gleichzeitig ausführen.

#Datenverwaltung

Wir beginnen damit, unser Skalarfeld als Gitter aus Scheitelpunkten darzustellen. Jeder Scheitelpunkt entspricht einem Punkt im Skalarfeld, und die Verbindungen zwischen ihnen bilden Kanten. Die Nachbarschaftsstruktur ist entscheidend für die Identifizierung kritischer Punkte und für den Verfolgungsprozess.

Um die Speichernutzung zu optimieren, insbesondere bei der Verarbeitung hochdimensionaler Daten, unterteilen wir das Gitter in kleinere unregelmässige Formen. Dieser Ansatz vereinfacht die Berechnung und ermöglicht eine bessere Verwaltung der Datenspeicherung. Jede Form kann sich leicht mit ihren Nachbarn verbinden, sodass wir Punkte effektiv klassifizieren und Pfade verfolgen können.

#Klassifizierung kritischer Punkte

Die Klassifizierung kritischer Punkte ist entscheidend für den Aufbau des Extremum-Graphs. Jeder Scheitelpunkt wird basierend auf seiner lokalen Nachbarschaft untersucht. Wir bestimmen, welche Scheitelpunkte verbunden sind und wie viele verbundene Komponenten existieren. Diese Analyse hilft, festzustellen, ob ein Scheitelpunkt ein Maximum, Minimum oder Sattel ist.

Um Punkte parallel zu klassifizieren, verwenden wir eine Technik, die es mehreren Threads ermöglicht, Scheitelpunkte gleichzeitig zu verarbeiten. Wir nutzen eine Union-Find-Datenstruktur, um Verbindungen effizient zu verfolgen. Diese Methode ist nicht nur schnell, sondern passt auch gut zur GPU-Architektur, wodurch ihre Rechenleistung maximiert wird.

#Pfadverfolgung

Nachdem wir die kritischen Punkte klassifiziert haben, modellieren wir Pfade von Sätteln zu Maxima. Die Verfolgung erfolgt so, dass der Speicherbedarf minimiert und die Geschwindigkeit maximiert wird. Jeder Pfad wird verfolgt, indem die höchsten Punkte in seiner Nachbarschaft aufgezeichnet und dem Gradienten gefolgt wird, bis ein Maximum erreicht ist.

Diese Pfadverfolgung wird gleichzeitig für mehrere Sättel durchgeführt, was die Gesamteffizienz erhöht. Allerdings kann es bei der Verfolgung manchmal zu Blockgrenzen kommen, was eine sorgfältige Verwaltung erfordert. Wir führen eine Liste von teilweise abgeschlossenen Pfaden, sodass wir, sobald die erforderlichen Daten verfügbar sind, die Verfolgung fortsetzen können, ohne Fortschritte zu verlieren.

#Vereinfachung des Extremum-Graphs

Eine der Herausforderungen bei der Erstellung von Extremum-Graphen aus realen Daten ist das Vorhandensein von Rauschen. Geräuschhafte Daten können viele unnötige kritische Punkte einführen, was es schwierig macht, die wesentlichen Merkmale des Datensatzes zu visualisieren. Um dem entgegenzuwirken, wenden wir mehrere Vereinfachungsmethoden an:

1. Bogenbündelung: Diese Operation reduziert die Anzahl der Bögen zwischen Maxima, indem repräsentative Sättel ausgewählt werden. Es wird nur ein einzelner Sattel für Verbindungen zwischen zwei Maxima beibehalten, um Unordnung zu vermeiden.

2. Persistenzgerichtete Stornierung: Diese Methode entfernt Sattel-Maximum-Paare basierend auf ihrer Persistenz. Paare, die weniger signifikant sind, werden entfernt, um den Graphen zu vereinfachen und dabei wichtige Merkmale beizubehalten.

3. Gesättigte persistenzgerichtete Vereinfachung: Diese Methode zielt darauf ab, lange Bögen zu entfernen, die entfernte Maxima verbinden und nicht die tatsächliche Struktur der Daten darstellen.

Durch die Anwendung dieser Vereinfachungstechniken können wir die Anzahl der kritischen Punkte und Bögen im Extremum-Graphen reduzieren, was zu einer klareren Visualisierung und Analyse der Daten führt.

#Hybrides GPU-CPU-Modell

Unsere Methode nutzt ein hybrides Modell, um Datensätze zu verarbeiten, die zu gross sind, um im GPU-Speicher zu passen. Der Datensatz wird in kleinere Blöcke unterteilt, die nacheinander verarbeitet werden können. Jeder Block wird mit der GPU klassifiziert, und sobald die Klassifizierung abgeschlossen ist, können wir mit der Pfadverfolgung auf der CPU beginnen.

Diese Anordnung ermöglicht eine kontinuierliche Verarbeitung, wodurch Leerlaufzeiten erheblich reduziert und die Gesamtleistung verbessert werden. Wir kombinieren die Ergebnisse jedes Blocks zu einem einzigen kohärenten Extremum-Graphen, ohne zusätzliche Verarbeitung erforderlich zu machen, sobald der letzte Block abgeschlossen ist.

#Softwarebibliothek

Wir haben eine Open-Source-Bibliothek erstellt, die unsere Methode zur Berechnung von Extremum-Graphen implementiert. Diese Bibliothek ist benutzerfreundlich gestaltet, sodass Benutzer Datenformate einfach angeben und die Optionen zur Vereinfachung des Graphen anpassen können.

Die Bibliothek unterstützt auch verschiedene Datentypen und bietet Kompatibilität mit unterschiedlichen Hardwarekonfigurationen. Sie ist modular und ermöglicht es den Benutzern, sie für ihre spezifischen Bedürfnisse zu konfigurieren, egal ob sie eine einzelne GPU oder mehrere Einheiten verwenden.

#Experimentelle Ergebnisse

Um die Leistung unserer Methode zu bewerten, haben wir Experimente mit verschiedenen Datensätzen durchgeführt:

1. Interne Speicherkapazität: Wir haben kleinere Datensätze getestet, die in den GPU-Speicher passen. Die Ergebnisse zeigten eine lineare Skalierung der Laufzeit mit der Grösse des Datensatzes. Der Schritt zur Klassifizierung kritischer Punkte war effizient, während die Verfolgung des Gradienten ebenfalls ein lineares Wachstum basierend auf der Anzahl der identifizierten Sättel zeigte.

2. Hybride GPU-CPU-Berechnung: Für grössere Datensätze, die den GPU-Speicher überschreiten, haben wir die Daten partitioniert, und unser hybrides Modell arbeitete effizient. Die Klassifizierungszeiten waren konsistent über verschiedene Datensätze, während die Verfolgung des Gradienten einen signifikanten Teil der gesamten Laufzeit ausmachte.

3. Skalierungstests: Wir haben bewertet, wie gut unsere Methode mit verschiedenen GPU-Kernen und CPU-Threads skaliert. Wir beobachteten gute Leistungsverbesserungen bis zu 8 Threads für die CPU-Verarbeitung und eine stetige Verringerung der Zeit mit zunehmender Anzahl an GPU-Kernen.

#Leistungsvergleich

Wir haben die Leistung unserer Bibliothek mit anderen bestehenden Methoden verglichen. In verschiedenen Szenarien führte unsere Bibliothek deutlich schneller aus als konkurrierende Tools, und in einigen Fällen konnten andere Methoden aufgrund von Speicherbeschränkungen nicht abgeschlossen werden.

Die Effizienz unseres Ansatzes war sowohl bei kleineren als auch bei grösseren Datensätzen offensichtlich, und unsere Vereinfachungsmethoden erwiesen sich ebenfalls als effektiv, um den Graphen zu bereinigen und es einfacher zu machen, die wesentlichen Merkmale der Daten zu analysieren und zu visualisieren.

#Fazit

Zusammenfassend hat unsere Forschung zur Entwicklung einer effizienten Methode zur Berechnung von Extremum-Graphen geführt, die eine Reihe von Datensatzgrössen und -komplexitäten bewältigen kann. Die Kombination von GPU- und CPU-Verarbeitung in einer Shared-Memory-Umgebung ermöglicht schnellere und skalierbarere Leistungen.

Wir haben auch effektive Vereinfachungstechniken eingeführt, um die Klarheit der Extremum-Graphen zu verbessern, wodurch es einfacher wird, bedeutungsvolle Erkenntnisse aus geräuschhaften Daten zu gewinnen. Unsere Open-Source-Bibliothek dient als praktisches Werkzeug für Forscher und Praktiker in verschiedenen Bereichen, die eine solche Datenvisualisierung benötigen.

Zukünftige Arbeiten umfassen die Erweiterung dieses Rahmens zur Unterstützung nicht-uniformer Gitter und die Erkundung verteilter Rechenlösungen für noch grössere Datensätze. Während wir weiterhin unsere Methoden verfeinern, wollen wir leistungsstärkere Werkzeuge für die Analyse und Visualisierung komplexer wissenschaftlicher Daten bereitstellen.