Schätzungstechniken für Quantenkernelmethoden

Quanten-Maschinenlernen (QML) hat echt viel Aufmerksamkeit bekommen, vor allem mit Methoden wie Quantenkernelmaschinen. Diese Methoden zeigen vielversprechende Ansätze, aber bringen auch einige grosse Herausforderungen mit sich. Ein grosses Problem ist, dass die begrenzte Genauigkeit der geschätzten Kernelwerte durch die Anzahl der Durchläufe des Schaltkreises auf einem Quanten-Gerät verursacht wird.

In dieser Studie schlagen wir eine komplette Reihe von Regeln und Tipps vor, um herauszufinden, wie viele Durchläufe man in Quantenkernelmethoden braucht. Wir bringen zwei wichtige Effekte ins Spiel, die es notwendig machen, die Messgenauigkeit durch mehr Durchläufe zu verbessern: den Streueffekt und die Konzentrationsvermeidung. Wir untersuchen diese Effekte in Bezug auf die Fidelity und projizierte Quantenkernel. Um diese Probleme anzugehen, entwickeln wir eine Methode zur Schätzung der benötigten Präzision der Kernelwerte, die direkt mit der Anzahl der Durchläufe verbunden ist. Unsere Methode wurde durch detaillierte numerische Simulationen getestet, wobei wir uns besonders auf das Problem der exponentiellen Wertkonzentration konzentrieren. Wir betonen, dass Quantenkernelmethoden nicht nur als Werkzeuge für die Leistungsfähigkeit des maschinellen Lernens gesehen werden sollten, sondern auch hinsichtlich des Ressourcenverbrauchs. Unsere Ergebnisse geben Einblicke in die Vorteile von Quantenkernelmethoden und dienen als Leitfaden für deren Einsatz in Quanten-Maschinenlernaufgaben.

#Der Aufstieg des Quantenmaschinenlernens

Das Feld des Quantenmaschinenlernens (QML) hat in den letzten Jahren beeindruckende Fortschritte gemacht. Es begann mit breiten Konzepten, ging über erste Machbarkeitsnachweise und umfasst jetzt auch kleine Implementierungen auf Quanten-Geräten. Während dieses Fortschritts hat die Forschungsgemeinschaft sowohl die neuen Chancen, die bestimmte Algorithmen bieten, als auch die Herausforderungen erkannt, die angegangen werden müssen, um das volle Potenzial des QML zu realisieren.

Einer der Hauptforschungsbereiche im QML sind Quantenkernelmethoden, die klassische maschinelles Lernen-Routinen verwenden, die auf Kernelmatrizen basieren, die durch einen Quanten-Kernel-Schätzprozess (QKE) gewonnen werden. Diese Methoden wurden umfassend aus der Perspektive der Leistungsfähigkeit des maschinellen Lernens in verschiedenen Bereichen analysiert, einschliesslich Finanzen, Erdbeobachtung, Arzneimittelentdeckung und Hochenergiephysik.

Allerdings wurde relativ wenig Forschung zur praktischen Nutzung von Quantenkernelmethoden aus der Perspektive der Ressourcennutzung betrieben. In der realen Anwendung von Quanten-Geräten ist es oft relevanter, eine Lösung zu haben, die in einem bestimmten Kontext optimal ist, als einen Algorithmus, der theoretisch unter bestimmten Bedingungen der beste ist.

Kürzlich wurden verschiedene Ansätze entwickelt, um dieses Problem zu adressieren, indem definiert wird, was einen praktischen quantenmässigen Vorteil ausmacht. Im Wesentlichen wird ein Quantenalgorithmus als praktisch vorteilhaft angesehen, wenn er entweder weniger Rechenzeit benötigt, weniger Energie verbraucht oder genauere Ergebnisse erzielt.

Für Quantenkernelmethoden sind die ersten beiden Punkte eng verknüpft mit der Anzahl der Durchläufe von Quantenschaltkreisen (auch bekannt als „Shots“). Daher ist es entscheidend, eine praktische Reihe von Regeln zur Schätzung der benötigten Anzahl an Shots festzulegen, wenn QKE auf realen Quanten-Geräten verwendet wird.

#Schätzung der erforderlichen Anzahl an Shots

In dieser Arbeit schlagen wir eine Strategie vor, um die richtige Anzahl an Shots basierend auf dem, was wir für die beiden wichtigsten Faktoren bei der Durchführung von Quanten-Kernel-Schätzungen (QKE) halten, zu schätzen. Der erste Faktor, der Streueffekt, bezieht sich darauf, wie Kernelwerte kollektiv agieren und ist ähnlich wie ein Signal-Rausch-Verhältnis innerhalb der Kernelmatrix. Wir müssen sicherstellen, dass Kernelwerte, die verschiedenen Datenmustern entsprechen, im Vergleich zur typischen Streuung der Kernelwerte ausreichend unterschiedlich sind. Der zweite Faktor, die Konzentrationsvermeidung, bezieht sich auf die Tendenz der Quantenkernel, einen konstanten Wert zu erreichen, während die Grösse des Quanten-Geräts wächst. Unser Ziel ist es, Kernelwerte von diesem konvergierenden Wert zu unterscheiden.

Die Schätzung, die sowohl aus dem Streueffekt als auch aus der Konzentrationsvermeidung abgeleitet wird, erfolgt für jeden einzelnen Wert in einer Kernelmatrix. Wenn wir diesen Wert für jeden Kernel-Eintrag kennen, hätten wir ein vollständiges Wissen über die Kernelmatrix, was nachfolgende QKE überflüssig machen würde. Daher müssen wir im Voraus eine feste Anzahl von Schaltkreis-Durchläufen für den gesamten Datensatz annehmen. Wir schlagen eine Reihe von Regeln vor, um diese Zahl ohne vollständiges Wissen über das System zu bestimmen und stattdessen einige statistische Masse der Kernelmatrix zu verwenden. Diese Methode ist besonders nützlich, wenn man echte Hardware-Experimente plant, insbesondere wenn das System ein vorhersehbares statistisches Verhalten zeigt.

Um unseren Ansatz zu veranschaulichen, führen wir eine Fallstudie zur exponentiellen Wertkonzentration durch. Dieses Problem erzeugt besondere Skalierungsgesetze, wie sich Kernelwerte kollektiv verhalten, wenn die Grösse des Quanten-Geräts zunimmt, was es uns ermöglicht, Schlussfolgerungen aus kleineren, handhabbaren Fällen zu ziehen und diese Schlussfolgerungen auf grössere Probleme anzuwenden, die klassisch schwer zu lösen sind.

Ausserdem analysieren wir unseren vorgeschlagenen Ansatz zur Schätzung der Anzahl der Shots sowohl für ideale (geräuschlose) Schaltkreise als auch für Schaltkreise mit Geräuschen, einschliesslich möglicher Fehlerkorrekturschemata.

#Verständnis von Quantenkernelmethoden

#Quantenkernel erklärt

Kernelmethoden sind bekannte Algorithmen im maschinellen Lernen zur Mustererkennung, anwendbar in überwachten Aufgaben wie Klassifikation und Regression sowie in unüberwachten Aufgaben wie Dimensionsreduktion. Sie repräsentieren Eingabedaten in einem höherdimensionalen Merkmalsraum, wodurch es einfacher wird, die Daten zu klassifizieren oder zu trennen. Dieser Prozess erfolgt mithilfe von Merkmalskarten, die die Ähnlichkeit zwischen Datenpunkten durch Kerneltricks berechnen. Kernelmethoden sind wertvoll, um mit komplexen, nichtlinearen Beziehungen in Daten umzugehen.

Quantenkernelmethoden sind eine Erweiterung dieser Idee. Daten werden in ein Quanten-Gerät codiert, und Quantenberechnungen und -messungen werden verwendet, um ein Mass für die Ähnlichkeit zwischen Quanten-Zuständen zu schätzen. Zwei häufig untersuchte Quantenkernel sind die Fidelity- und die projizierten Quantenkernel.

Fidelity-Quantenkernel messen die Überlappung zwischen Quanten-Zuständen, während projizierte Quantenkernel reduzierte Dichtematrizen des Quantensystems beinhalten und verarbeitet werden, um Kernelwerte zu liefern.

#Die Bedeutung der Datenverankerung

Um mit klassischen Daten auf Quantencomputern zu arbeiten, müssen die Daten in Quanten-Zustände eingebettet werden. Dies umfasst spezifische Transformationen, um klassische Daten in ein Quantenformat zu konvertieren. Ein wichtiger Aspekt von Quantenkernelmethoden ist, wie diese Transformation parametrisiert ist, was Anpassungen ermöglicht, um sie mit den Zielen der Lernaufgabe in Einklang zu bringen.

Ausdrucksfähigkeit und Verschränkung sind zwei entscheidende Merkmale von Merkmalskarten, die beeinflussen, wie sich Kernelwerte verhalten. Ausdrucksfähigkeit bezieht sich auf die Fähigkeit des Modells, verschiedene Muster in den Daten darzustellen, während Verschränkung angibt, wie viel Information durch Korrelationen zwischen verschiedenen Teilen des Quantensystems dargestellt wird.

#Exponentielle Wertkonzentration

Exponentielle Wertkonzentration ist eine bedeutende Herausforderung für Quantenkernel. Es bezieht sich auf das Phänomen, bei dem unabhängige Kernelwerte einen bestimmten festen Wert erreichen, während die Grösse des Quanten-Geräts zunimmt, was oft zu Schwierigkeiten führt, zwischen verschiedenen Kernelwerten zu unterscheiden. Infolgedessen steigt die Anzahl der Shots, die erforderlich sind, um zuverlässige Schätzungen der Kernelwerte zu erreichen, drastisch an.

#Unsere Methodologie: Regeln zur Schätzung der Anzahl an Shots

Auf der Suche nach einer effektiven Quantenkernel-Schätzung konzentrieren wir uns auf zwei kritische Effekte, die direkt mit der erforderlichen Anzahl an Schaltkreis-Durchläufen verbunden sind: die Streuung der Kernelwerte und die Konzentrationsvermeidung.

#Streuung der Kernelwerte

Um zwei Kernelwerte zu unterscheiden, müssen wir die Unsicherheit bei der Schätzung eines einzelnen Kernel-Eintrags im Vergleich zum typischen Unterschied zwischen Werten in der gesamten Kernelmatrix betrachten. Das Ensemble der Kernelwerte repräsentiert eine Sammlung von Werten, die wir berücksichtigen müssen, wenn wir zwischen zwei spezifischen Einträgen der Kernelmatrix unterscheiden.

Durch die Verwendung statistischer Masse wie der Interquartilsdifferenz können wir die Streuung der Kernelwerte besser darstellen und damit die erforderliche Anzahl von Shots für eine genaue Schätzung ableiten.

#Konzentrationsvermeidung

Der zweite Faktor, den wir ansprechen, ist die Konzentrationsvermeidung, bei der wir die Wahrscheinlichkeit erhöhen wollen, ein korrektes Messresultat zu erzielen, indem wir die Anzahl der durchgeführten Shots erhöhen. Dies ist besonders relevant für Fidelity-Quantenkernel, bei denen der Messprozess leicht zu Fehlern durch Konzentrationseffekte führen kann.

Unser Ziel ist es, sicherzustellen, dass der tatsächlich gemessene Wert korrekt von dem konzentrierten Wert unterschieden wird, indem wir die Anzahl der Schaltkreis-Durchläufe entsprechend anpassen.

#Geräuschbehaftete Berechnung und Fehlerkorrektur

Alle besprochenen Überlegungen haben geräuschlose Quanten-Schaltkreise angenommen, aber in der Realität sind Quantenberechnungen oft von Geräuschen betroffen. Wir schlagen einen einfachen Weg vor, um den Einfluss von Geräuschen auf unsere Schätzungen zu analysieren.

Wenn Geräusche auftreten, kann der endgültige Zustand des Quanten-Systems von dem erwarteten abweichen. Infolgedessen kann die Erfolgsquote bei der Erreichung genauer Kernelwerte sinken. Um dem entgegenzuwirken, erweitern wir unsere vorherigen Überlegungen, um auch Geräusche zu berücksichtigen, und schlagen Wege vor, um die Auswirkungen dieses Geräuschs zu bewerten.

Bei der Verwendung von geräuschbehafteten Schaltkreisen bleibt unsere Analyse gültig, aber nun müssen wir die Wahrscheinlichkeit von Fehlern berücksichtigen, die während der Ausführung des Schaltkreises auftreten. Dies ermöglicht ein umfassenderes Verständnis davon, wie viele Shots notwendig sind, um zuverlässige Ergebnisse zu erzielen, selbst in Anwesenheit von Geräuschen.

#Fazit und zukünftige Richtungen

Durch unsere Forschung haben wir eine Methode zur Schätzung der erforderlichen Anzahl an Shots für eine erfolgreiche Quantenkernel-Schätzung vorgeschlagen. Wir haben kritische Effekte identifiziert – die Streuung der Kernelwerte und die Konzentrationsvermeidung – die bei der Bestimmung dieser Zahl berücksichtigt werden müssen.

Unsere Ergebnisse heben die Wichtigkeit hervor, nicht nur die Leistungsfähigkeit von Quantenkernelmethoden in maschinellen Lernaufgaben zu fokussieren, sondern auch die Ressourcenimplikationen ihrer Nutzung zu betrachten. Zukünftige Forschung könnte darin bestehen, die spezifischen Eigenschaften von Quantenkernels zu verstehen, die Konzentrationsprobleme mildern, sowie andere potenzielle Quantenkernelfamilien zu erkunden.

Die Suche nach praktischen quantenmässigen Vorteilen in Quantenkernelmethoden wird ein wichtiges Forschungsgebiet bleiben, während die Wissenschaftler bestrebt sind, effektive Lösungen zu entwickeln, die klassische Methoden übertreffen und gleichzeitig den Ressourcenverbrauch im Blick behalten.