Fortschritte in numerischen Methoden für Klimamodellierung

Mit dem Wandel der Computertechnologie müssen neue Wege gefunden werden, um Probleme zu lösen und die neuen Geräte effektiv zu nutzen. Zum Beispiel gab es in den 1990er Jahren einen Wechsel von Supercomputern, die auf eine einzige Art von Speicher angewiesen waren, zu Systemen, die viele kleinere Computer zusammenarbeiten liessen. Diese Veränderung machte die Kommunikation zwischen den kleineren Computern langsamer, was die Simulationen globaler Wetterbedingungen beeinträchtigte. Deshalb gingen Wissenschaftler von Methoden ab, die globale Kommunikation benötigten, hin zu solchen, die nur den Austausch mit nahen Computern benötigten.

Kürzlich hat es einen weiteren grossen Wandel im Design von Supercomputern gegeben, der hauptsächlich durch den Bedarf an maschinellem Lernen (ML) und künstlicher Intelligenz (KI) vorangetrieben wurde. Neue Chips, die speziell für KI und tiefes Lernen entwickelt wurden, wie die in den NVIDIA-GPU-Familien Volta, Turing und Ampere, sind nun am Start. Da KI bestimmt, wie Computer gebaut werden, müssen Entwickler, die Numerische Methoden erstellen wollen, Algorithmen finden, die gut auf dieser neuen Art von Hardware funktionieren.

Der Aufstieg von KI hat zur Schaffung von Softwarebibliotheken geführt, die für KI-Algorithmen, einschliesslich neuronaler Netze, konzipiert sind. In diesem Papier besprechen wir neue numerische Methoden, die Tensor-Netzwerke nutzen, um grosse Datenmengen mit Begriffen zu verwalten, die denen in der Mathematik ähnlich sind und als Singularwertzerlegung bekannt sind, jedoch auf mehr dimensionale Räume ausgeweitet wurden.

Ein weiterer wichtiger Grund für die Entwicklung neuer Algorithmen ist die Notwendigkeit schnellerer und präziserer Simulationen des globalen Klimas. Moderne globale Simulationen arbeiten oft mit Auflösungen von 6 km bis 10 km im Ozean und in der Atmosphäre, und die fortschrittlichsten Simulationen können bis zu 3 km heruntergehen. Diese Simulationen benötigen Millionen von horizontalen Zellen und bis zu 128 Schichten in der Vertikalen. Die Klimaforschung erfordert auch lange Simulationen, um zu verstehen, wie das Klima sich im Laufe der Zeit verhält und wie es sich natürlich verändert. All diese Bedürfnisse führen zu dem, was als „Fluch der Dimensionalität“ bekannt ist, bei dem Modellierungskampagnen viele Monate auf grossen Supercomputern in Anspruch nehmen können.

Tensor-Netzwerke (TNs) bieten einen neuen Ansatz, um diesen Fluch der Dimensionalität anzugehen und können die spezialisierten KI-Hardware nutzen. TNs sind eine komplexere Version davon, wie wir Matrizen in kleinere Teile zerlegen, aber auf höhere Dimensionen angewandt. Das bedeutet, wir können grosse Datensätze leichter verarbeiten, indem wir sie in kleinere, handlichere Stücke zerlegen. Eine beliebte TN-Methode nennt sich Tensor Train (TT), bei der grosse Datensätze als eine Serie von kleineren, miteinander verbundenen Tensoren dargestellt werden, die eine Art Zug bilden. Dieser Ansatz ermöglicht eine effiziente Datenmanipulation und kann die Kosten für Berechnungen reduzieren.

Jüngste Erfolge mit TN-Methoden haben deren Potenzial zur Modellierung von Fluiden gezeigt, beispielsweise bei der Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen in verschiedenen Szenarien. Erhebliche Beschleunigungen wurden bei Simulationen von Fluidverhalten erreicht, was beweist, dass dieser tensorbasierte Ansatz echte Vorteile hat. Bis jetzt hat jedoch niemand diese Methoden zur Modellierung von Ozean- oder atmosphärischen Zirkulationen angewandt. Wenn es gelingt, geophysikalische Fluid-Simulationen mithilfe von TN zu optimieren und zu vereinfachen, könnte das unsere Art und Weise, wie wir Wetter und Klima studieren, drastisch verändern und es Forschern ermöglichen, höhere Auflösungen zu nutzen und grössere Datensätze zu untersuchen.

Damit jede neue numerische Technik, die auf Wetter- und Ozeanmodell-Simulationen abzielt, akzeptiert wird, muss sie mehrere Verifizierungsschritte durchlaufen. Die Shallow Water Equations (SWEs) dienen als vereinfachter Ausgangspunkt zur Modellierung des Fluidflusses und beinhalten die wesentlichen Dynamiken von atmosphärischen und ozeanischen Bewegungen, wie die Corioliskraft und die Auswirkungen von Druckänderungen. Sie ermöglichen auch eine schnelle Code-Entwicklung, die es erlaubt, bei der Modellentwicklung mit genauen Lösungen zu testen, was bei komplexeren Modellen schwer zu bewerkstelligen ist.

Dieses Papier betrachtet die Vorteile der Verwendung von Tensor-Netzwerken bei der Modellierung der SWEs in verschiedenen Testfällen. Wir konzentrieren uns speziell darauf, die Tensor-Train-Methoden auf hochordentliche finite Volumenmethoden zur Lösung der SWEs anzuwenden. Das Papier ist in Abschnitte unterteilt, in denen wir zunächst die SWEs und die numerischen Methoden überprüfen, dann die Grundlagen der Tensorzerlegung behandeln, darüber diskutieren, wie wir das finite Volumenschema im Tensorformat anwenden können, und schliesslich die Ergebnisse aus mehreren Testfällen berichten.

#Steuerungsgleichungen und die numerische Methode

In diesem Abschnitt blicken wir auf die Shallow Water Equations (SWEs) und die finite Volumenmethode zurück, die wir zur Lösung verwenden werden. Dabei konzentrieren wir uns auf die wesentlichen Teile, die nötig sind, um eine traditionelle finite Volumenimplementierung aufzustellen, und legen damit die Grundlage für unsere Tensor-Train-Methode.

#Shallow Water Equations

Wir werden sowohl die linearen als auch die nichtlinearen Formen der SWEs mit einem flachen Boden untersuchen. Diese Gleichungen müssen so gelöst werden, dass wichtige Variablen wie die Bewegung der Wasserschicht und Druckfaktoren erhalten bleiben.

Im linearen Szenario lösen wir die Gleichungen direkt und konzentrieren uns auf die Oberflächenhebung und die Bewegung des Wassers in zwei Richtungen.

Bei den nichtlinearen Gleichungen beinhaltet der Ansatz Begriffe, die mit der Dicke der Wasserschicht über einer flachen Oberfläche verbunden sind.

#Hochordentliche finite Volumenmethode

Um es zu vereinfachen, betrachten wir einen zweidimensionalen Fall, in dem wir eine hochordentliche finite Volumenmethode anwenden können. Die Hauptidee hier ist, die Erhaltungsgesetze zu behandeln, die beschreiben, wie sich eine erhaltene Grösse über Zeit und Raum verändert.

Diese Methode beinhaltet die Berechnung von Durchschnittswerten über Zellen in einem definierten Raster. Jede Zelle wird basierend auf den definierten Durchschnittswerten berechnet, was zu einem Rahmen zur Lösung dieser Gleichungen auf strukturierte Weise führt.

Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen, können wir verschiedene Rekonstruktionsmethoden verwenden. Zum Beispiel können wir zwischen aufwärts-biased Methoden oder WENO (Weighted Essentially Non-Oscillatory) Methoden wählen, die helfen, Probleme wie Diskontinuitäten in den Lösungen anzugehen.

#Hochordentliche Rekonstruktion

Wir werden Rekonstruktionsmethoden verwenden, um Lösungen an verschiedenen Punkten in unserem Modell zu schätzen. Aufwindmethoden basieren auf einem linearen Ansatz zur Findung dieser Lösungen. Im Gegensatz dazu sind WENO-Methoden darauf ausgelegt, Schwankungen in den Daten sanfter zu handhaben und die Stabilität der numerischen Lösungen zu gewährleisten.

Um ein höheres Verständnis dafür zu bekommen, wie Rekonstruktion funktioniert, beginnen wir damit, die Daten zuerst zu durchschnittlichen und dann die Schätzungen zu verfeinern, um sicherzustellen, dass unsere Berechnungen genau sind, während wir zwischen verschiedenen Dimensionen wechseln.

#Finite Volumenmethode für die Shallow Water Equations

Dieser Abschnitt beschreibt, wie wir die SWEs mithilfe der finite Volumenmethode auf einem strukturierten Mesh implementieren. Die Flussvektoren, die für die Berechnung von Änderungen im System entscheidend sind, werden unter Verwendung einer numerischen Integrationstechnik ausgewertet.

#Tensor Train Zerlegung

In diesem Teil führen wir das Konzept der Tensornotation und wie Tensoroperationstechniken funktionieren ein.

#Tensor Train

Tensorzüge bieten einen Weg, die Darstellung von hochdimensionalen Daten zu vereinfachen, indem sie in kleinere, verbundene Teile, die Kernen genannt werden, zerlegt werden. Diese Darstellung ist effizient, besonders beim Umgang mit grossen Datensätzen, da sie die Berechnungskomplexität reduziert.

#TT-Rundung

Um unsere Tensor-Darstellung zu optimieren, können wir einen Rundungsprozess anwenden, der hilft, unsere Darstellung kompakt zu halten, ohne Genauigkeit zu verlieren. Das bedeutet, wir können die Rechenressourcen effektiv verwalten, was es einfacher macht, mit grösseren Datensätzen zu arbeiten.

#TT-Kreuzinterpolation

Diese Technik ermöglicht es uns, eine Tensor-Darstellung zu erstellen, ohne die gesamte Datenmenge zuerst explizit aufbauen zu müssen. Das ist besonders nützlich, wenn wir mit grossen Datenmengen arbeiten, bei denen übliche Operationen unhandlich werden könnten.

#Tensorisierung des finite Volumen-Schemas

In diesem Abschnitt diskutieren wir, wie wir Tensorformate auf die finite Volumenmethode für die Shallow Water Equations anwenden und die beiden Ideen miteinander verknüpfen können.

#Tensor Train finite Volumen (TT-FV) Methode

Das Ziel ist es, die vollständige Tensorversion der SWEs mit dem Tensor-Train-Format zu integrieren. Indem wir die standardmässigen Tensorbegriffe durch ihre entsprechenden TT-Formen ersetzen, können wir Berechnungen effizienter durchführen.

#Berechnung der Flüsse im Tensor-Train-Format

Für lineare SWEs können physikalische Flussbegriffe direkt unter Verwendung von Tensor-Methoden berechnet werden. Für nichtlineare Fälle müssen spezifische Begriffe ausgewertet werden, was möglicherweise Annäherungen zur Vereinfachung der Berechnungen erfordert.

#Hochordentliche Rekonstruktion im Tensor-Train-Format

Diese Diskussion kehrt zu den Rekonstruktionsmethoden zurück und wendet sie im TT-Format an. Wir untersuchen sowohl lineare als auch nichtlineare Ansätze zur Rekonstruktion von Daten und wie sich das auf die Gesamtleistung unserer Modelle auswirkt.

#Numerische Ergebnisse

In diesem Abschnitt untersuchen wir die Effektivität der Tensor-Train-finite Volumenmethode in verschiedenen Testfällen und beobachten, wie gut unser Modell in praktischen Szenarien funktioniert.

Wir verwenden eine Vielzahl von Situationen, um die Leistung unserer numerischen Methoden zu testen und zu zeigen, wie gut die Tensor-Train-Methoden im Vergleich zu traditionellen Ansätzen funktionieren.

#Küsten-Kelvin-Welle

Ein Test umfasst die Simulation von Küsten-Kelvin-Wellen und beobachtet unter welchen Bedingungen sie sich korrekt verhalten und wie das Modell ihre Bewegung vorhersagt.

#Inertial-Schwerewelle

Ein weiteres Beispiel behandelt Inertial-Schwerewellen, die eine entscheidende Rolle im ozeanischen Verhalten spielen. Die Leistung des Modells in diesem Szenario hilft, die Vielseitigkeit des Modells zu demonstrieren.

#Barotrope Tide

Ein dritter Fall untersucht barotrope Gezeiten, die einen anderen Ansatz erfordern, aufgrund der unterschiedlichen Bedingungen der Landschaft. Die Reaktion des Modells in dieser Situation ist entscheidend für die Beurteilung seiner Robustheit.

#Hergestellte Lösung

Zuletzt betrachten wir eine hergestellte Lösung, bei der wir eine analytische Lösung ableiten können, um alle Teile des Modells gründlich zu bewerten. Dies hilft sicherzustellen, dass die numerischen Methoden wie beabsichtigt funktionieren und ermöglicht uns, erforderliche Anpassungen vorzunehmen.

#Fazit

Durch diese Studie haben wir gezeigt, wie hochordentliche numerische Methoden für die Shallow Water Equations entwickelt werden können. Durch die Implementierung von Tensor-Train-Techniken haben wir bedeutende Verbesserungen in Geschwindigkeit und Effizienz ohne Verlust an Genauigkeit demonstriert.

Die Ergebnisse zeigen, dass Tensor-Methoden komplexe Gleichungen effektiv lösen können, was zu schnelleren Simulationen und besserem Ressourcenmanagement führt. Dies eröffnet die Möglichkeit für zukünftige Tests in praktischen Szenarien, mit der Hoffnung, diese Methoden auf anspruchsvollere geophysikalische Probleme anzuwenden.

In Zukunft bietet diese Forschung eine solide Grundlage, um die Möglichkeiten von Hochleistungsrechnern zu nutzen, und ebnet den Weg für Fortschritte in der Wetter- und Klimamodellierung. Die vielversprechenden Ergebnisse, die wir erzielt haben, ermutigen zu einer weiteren Erforschung von Tensor-Methoden in komplexeren und dynamischeren Systemen.