Valutare la Convergenza nell'Inferenza Variazionale Stocastica del Gradiente Naturale

L'inferenza variazionale con gradiente naturale stocastico (NGVI) è un metodo molto usato per inferire il posteriore nei modelli probabilistici. Anche se è popolare in diverse applicazioni, ci sono poche informazioni sulle sue prestazioni, soprattutto su quanto velocemente converge alla soluzione vera in un contesto stocastico. Presentiamo evidenze per colmare questa lacuna concentrandoci sui tassi di convergenza del NGVI stocastico, specialmente quando si tratta di verosimiglianze coniugate più semplici.

#Contesto

Nell'inferenza variazionale, di solito vogliamo approssimare la distribuzione posteriore di alcune variabili latenti date le osservazioni. Questo si fa ottimizzando un limite inferiore sulla prova, noto come evidence lower bound (ELBO). Il processo implica mettere un prior sulle variabili latenti e trovare una famiglia variazionale che possa catturare la complessità del posteriore.

L'inferenza variazionale con gradiente naturale (NGVI) migliora l'inferenza variazionale standard usando il gradiente naturale invece del solito gradiente. Questo dovrebbe fornire una direzione di ricerca più efficiente nello spazio dei parametri.

#Verosimiglianze Coniugate e NGVI Stocastico

Per le verosimiglianze coniugate, abbiamo stabilito il primo tasso di convergenza non asintotico per il NGVI stocastico. In questi casi, la complessità della convergenza non è peggiore di quella del gradiente discendente stocastico, un metodo di ottimizzazione comunemente usato. Sostenendo che i tassi probabilmente hanno dipendenze costanti migliori, portando a una convergenza più veloce nella pratica.

D'altra parte, le cose diventano più complesse con le verosimiglianze non coniugate. Qui, il NGVI stocastico tende a ottimizzare un obiettivo non convesso in modo implicito. Questo complica la prova di un tasso di convergenza globale, poiché potrebbe richiedere nuovi importanti approfondimenti sull'ottimizzazione dell'ELBO con gradienti naturali.

#L'Evidence Lower Bound

Nell'inferenza variazionale, miriamo a ottimizzare l'evidence lower bound (ELBO) per approssimare la vera distribuzione posteriore. Questo comporta minimizzare la divergenza di Kullback-Leibler tra la distribuzione variazionale e il vero posteriore. L'ELBO stesso serve come misura di quanto bene la nostra famiglia variazionale approssimi il posteriore.

#Gradiente Naturale Discendente

Rispetto al gradiente discendente standard, il gradiente naturale discendente aggiusta gli aggiornamenti basandosi sulla geometria dello spazio dei parametri. Questo si fa tenendo conto della matrice di informazione di Fisher. Il gradiente naturale segue quindi un percorso più informato verso i parametri ottimali.

#Connessione con il Mirror Descent

Il gradiente naturale discendente può essere visto anche attraverso il prisma del mirror descent, una generalizzazione dell'approccio tipico del gradiente discendente. Questa connessione ci consente di utilizzare intuizioni dal framework del mirror descent per analizzare il gradiente naturale discendente in un ambiente stocastico.

#Implementazione in Ambienti Stocastici

Implementare il NGVI stocastico comporta diverse sfide. Bisogna assicurarsi che gli aggiornamenti rimangano all'interno del dominio dei parametri, poiché aggiornamenti impropri possono portare a divergenza o fallimenti nella convergenza. Stabiliamo condizioni sotto le quali possono essere mantenuti aggiornamenti validi, che sono critiche per il funzionamento del metodo nella pratica.

#Estimatori di Gradiente Stocastico Comuni

Due importanti stimatori di gradiente stocastico vengono messi in evidenza. Uno utilizza il trucco della riparametrizzazione, mentre l'altro usa gradienti specifici derivati dalle proprietà del modello. Comprendendo i loro comportamenti, possiamo garantire che gli aggiornamenti rimangano validi e che la convergenza possa essere raggiunta.

#Convergenza del NGVI Stocastico

Lavori precedenti suggeriscono che il NGVI converge rapidamente per le verosimiglianze coniugate. Tuttavia, stabilire un tasso di convergenza per il NGVI stocastico non è stato semplice. Approfittando degli sviluppi recenti nel mirror descent stocastico, miriamo a derivare un tasso di convergenza che valga anche quando si lavora con gradienti stocastici.

#Osservazioni sul Tasso di Convergenza

Il tasso di convergenza che deriviamo rivela due caratteristiche importanti: interpola tra ambienti deterministici e stocastici e non si basa sulla distanza dall'inizializzazione al vero posteriore. Questo indica che i gradienti stocastici possono portare a miglioramenti sostanziali nell'ottimizzazione, indipendentemente dalle stime iniziali.

#Simulazioni Numeriche

Nei nostri esperimenti, abbiamo applicato il NGVI stocastico a vari dataset, tra cui una regressione lineare bayesiana sul dataset Bike e una regressione logistica sul dataset Mushroom. I risultati hanno costantemente mostrato che il NGVI stocastico ha superato il tradizionale gradiente discendente stocastico.

#Regressione Lineare Bayesiana

Negli esperimenti di regressione lineare bayesiana, abbiamo ottimizzato il negativo dell'ELBO usando sia il gradiente discendente stocastico che il NGVI stocastico. I risultati indicavano che, mentre entrambi i metodi avevano tassi di convergenza simili, il NGVI stocastico mostrava prestazioni superiori nelle prime iterazioni, suggerendo che potrebbe avere un fattore costante migliore nella pratica.

#Verosimiglianze Non Coniugate

Nelle comparazioni che coinvolgono verosimiglianze non coniugate, mentre il NGVI stocastico ha comunque superato il gradiente discendente stocastico, la differenza nelle prestazioni era meno pronunciata. Tuttavia, il NGVI stocastico era generalmente più facile da sintonizzare nella pratica, indicando prestazioni più fluide attraverso le variazioni nelle dimensioni dei passi.

#Conclusioni

I risultati di questo lavoro forniscono un quadro più chiaro del comportamento del NGVI stocastico in vari contesti. Abbiamo stabilito tassi di convergenza importanti per le verosimiglianze coniugate, notando allo stesso tempo le sfide che sorgono con le verosimiglianze non coniugate. Le evidenze empiriche supportano le affermazioni fatte riguardo alla velocità e all'efficienza del NGVI stocastico, portando potenzialmente a applicazioni più ampie di questo metodo in studi futuri.

#Direzioni Future

Ulteriori ricerche sono necessarie per esplorare le implicazioni della non-convessità nel NGVI stocastico e per identificare nuove proprietà dell'ELBO che possono portare a tassi di convergenza migliorati. Questo potrebbe aprire opportunità per applicazioni più robuste in un'ampia varietà di modelli probabilistici.