Die Neubewertung der Stichprobengrösse in der Regressionsanalyse

In der Regressionsanalyse denken viele, dass eine gemeinsame Stichprobengrösse für valide Ergebnisse nötig ist. Seit Jahren sagen Lehrer und Forscher, dass man mindestens 30 Beobachtungen haben sollte, das sei der Standard. Aber dieser Gedanke ist vielleicht nicht immer richtig. Neuere Untersuchungen zeigen, dass wir über die benötigte Stichprobengrösse für Regressionsanalysen nachdenken sollten.

#Die Grundlagen der Regressionsanalyse

Die Regressionsanalyse ist ein Verfahren, um Beziehungen zwischen Variablen zu verstehen. Sie hilft Forschern herauszufinden, wie eine Variable eine andere beeinflusst. Ein Modell enthält normalerweise eine abhängige Variable, die erklärt werden soll, und eine oder mehrere unabhängige Variablen, die Faktoren sind, die die abhängige Variable beeinflussen könnten.

Bei dieser Methode schätzen Forscher die Parameter mit einer gängigen Technik, die als einfache kleinste Quadrate bekannt ist. Diese Technik minimiert die Summe der Unterschiede zwischen beobachteten und vorhergesagten Werten. Ziel ist es, die Vorhersagen so genau wie möglich zu machen.

Damit die Analyse effektiv funktioniert, sollten bestimmte Bedingungen erfüllt sein. Hauptsächlich wird angenommen, dass der Fehlerterm, der den Unterschied zwischen tatsächlichen und vorhergesagten Werten darstellt, oft einer Normalverteilung folgt. Wenn diese Annahme stimmt, verhalten sich die entsprechenden Statistiken auch gut und erlauben valide Schlussfolgerungen aus den Daten.

#Traditionelle Überzeugungen zur Stichprobengrösse

Traditionell wurde angenommen, dass, wenn der Fehlerterm normalverteilt ist oder eine ausreichend grosse Stichprobe verwendet wird, valide Schlussfolgerungen gezogen werden können. Die Richtlinie, mindestens 30 Beobachtungen zu benötigen, ist weit verbreitet. Man denkt, dass dies für die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes ausreichend ist, was bedeutet, dass mit zunehmender Stichprobengrösse die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer Normalverteilung ähnelt.

Diese Richtlinie wurde jedoch selten genau untersucht. Viele Leute akzeptieren sie einfach, ohne zu hinterfragen, ob sie wirklich in allen Szenarien gilt.

#Neue Erkenntnisse

Neuere Untersuchungen haben gezeigt, dass der ursprüngliche Glaube möglicherweise nicht ganz korrekt ist. Eine bemerkenswerte Schlussfolgerung aus neueren Studien ist, dass es nur notwendig ist, dass entweder die abhängige oder die unabhängige Variable symmetrisch ist, damit mit kleineren Stichprobengrössen valide Ergebnisse erzielt werden können. Das widerspricht dem früheren Rat, der darauf bestand, dass der Fehlerterm normalverteilt sein oder eine grössere Stichprobe für genaue Ergebnisse erforderlich sein müsse.

Wenn jedoch sowohl die abhängige als auch die unabhängige Variable schief sind, sind höhere Stichprobengrössen erforderlich, um korrekte Schlussfolgerungen zu ziehen. Die Ergebnisse deuten darauf hin, dass die traditionelle Faustregel manchmal zu wenigen Beobachtungen erlaubt, während sie in anderen Fällen zu vielen erfordern könnte.

#Die Bedeutung der Verteilungsmerkmale

Die Merkmale der analysierten Variablen-insbesondere Schiefe und Kurtosis-spielen eine wichtige Rolle bei der Bestimmung, wie viele Beobachtungen für zuverlässige Ergebnisse nötig sind. Schiefe bezieht sich auf die Asymmetrie der Verteilung der Werte, während Kurtosis die "Schwänzigkeit" oder das Vorhandensein von Ausreissern in den Daten anzeigt.

Wenn eine der Variablen symmetrisch ist, können valide Ergebnisse mit weniger als 30 Beobachtungen erzielt werden. Im Gegensatz dazu müssen, wenn beide Variablen eine hohe Schiefe aufweisen, die Forscher möglicherweise eine viel grössere Stichprobengrösse als die traditionellen 30 verwenden, um sicherzustellen, dass die in der Analyse verwendeten t-Werte korrekt zur t-Verteilung konvergieren.

#Durchführung von Simulationen

Um dieses Problem besser zu verstehen, haben Forscher umfangreiche Simulationsstudien durchgeführt. Sie haben verschiedene abhängige und unabhängige Variablen unter unterschiedlichen Verteilungen generiert und deren Ergebnisse getestet. Ziel war es zu sehen, wie Schiefe und Kurtosis die Konvergenz der t-Werte zur gewünschten Verteilung beeinflussten.

Insgesamt wurden Millionen von Regressionsmodellen getestet. Die Ergebnisse zeigten klare Muster: Wenn beide Variablen symmetrisch waren, traten auch mit einer kleinen Stichprobengrösse valide Ergebnisse auf. Wenn jedoch beide Variablen schief waren, stieg die erforderliche Stichprobengrösse manchmal dramatisch an.

#Bedenken hinsichtlich von Typ-I-Fehlern

Eine Besorgnis bezüglich der Validität der Regressionsanalyse sind die Typ-I-Fehler. Das bezieht sich auf das fälschliche Ablehnen einer Nullhypothese, obwohl sie tatsächlich wahr ist. Wenn die Verteilungsannahmen der linearen Regression nicht zutreffen-zum Beispiel, wenn t-Werte nicht zur t-Verteilung konvergieren-steigt das Risiko von Typ-I-Fehlern.

Die Ergebnisse zeigen, dass das Ausmass der Nicht-Konvergenz je nach Schiefe und Kurtosis der beteiligten Variablen variiert. In einigen Situationen mit platykurtischen Verteilungen blieben die Typ-I-Fehlerquoten niedriger, was eine konservativere Schätzung bietet.

Praktisch bedeutet das, wenn die Verteilungen einer der Variablen platykurtisch sind, werden die Typ-I-Fehlerquoten akzeptabel sein, selbst wenn die t-Werte nicht konvergieren. Das ist nicht so besorgniserregend, wie wenn die Typ-I-Fehlerquoten signifikant höher wären.

#Auswirkungen auf Forscher

Was bedeutet das alles für diejenigen, die Regressionsanalysen durchführen? Erstens müssen Forscher möglicherweise nicht so viele Beobachtungen haben, wie sie einst dachten, vorausgesetzt, die Verteilungen der Variablen sind vernünftig. Das öffnet Möglichkeiten für die Regressionsanalyse in Situationen, in denen Daten begrenzt oder schwer zu sammeln sind.

Dennoch ist Vorsicht wichtig. Forscher sollten immer die Power ihrer Analysen im Hinterkopf behalten und die potenziellen Risiken, die mit der Durchführung von Regressionen mit sehr wenigen Beobachtungen verbunden sind, nicht ignorieren. Die Bedingungen, unter denen diese Ergebnisse sicher angewendet werden können, sollten klar verstanden werden.

#Ergebnisse berichten

Im Rahmen der Analyse ist es ratsam, dass Forscher die Schiefe und Kurtosis ihrer Variablen berichten. Diese Informationen helfen ihnen, informierte Entscheidungen über die erforderliche Anzahl von Beobachtungen zu treffen. Wenn Variablen als symmetrisch oder platykurtisch befunden werden, können typischerweise weniger als 30 Beobachtungen zuverlässige Ergebnisse liefern.

Umgekehrt sollten Forscher, wenn die Verteilungen der Variablen stark schief sind, vielleicht bei traditionelleren Richtlinien bleiben, da die Validität der Regressionsanalyse sonst gefährdet sein könnte.

#Zukünftige Richtungen

Diese Diskussion zeigt, dass es einen Bedarf an zukünftiger Arbeit in diesem Bereich gibt. Weitere Forschungen könnten sich auf die Beziehung zwischen Schiefe und der Konvergenz der t-Werte zur t-Verteilung konzentrieren. Weitere Untersuchungen könnten helfen, was als vernünftige Untergrenze für Stichprobengrössen in der Regressionsanalyse zählt, insbesondere wenn mehrere unabhängige Variablen beteiligt sind.

Insgesamt deutet diese Analyse darauf hin, dass Forscher sich sicherer fühlen können, Regressionen mit weniger Beobachtungen durchzuführen, als zuvor angenommen, solange sie wachsam hinsichtlich der Merkmale ihrer Daten bleiben. Die Ergebnisse regen zu einem differenzierteren Verständnis der Anforderungen an die Stichprobengrösse an und deuten auf einen Wandel in unserer Sichtweise der Beziehung zwischen Stichprobengrösse und der Validität der Regressionsanalyse hin.