最小表面を編む：数学的なクラフト

かぎ針編みと数学って、多くの人が一緒に考えることじゃないかもしれないけど、実は結構数学的なんだよね。いろんな形を作れるのは、異なる編み方を使ったり、特定の場所で編み目の数を変えたりすることでできるんだ。簡単に編める形もあれば、めっちゃ複雑なものもあるよ。例えば、クラインボトルや結び目に関連する形は、厳密な形がないから自由に作れるんだ。けど、球体や円盤みたいな特定の形は、きちんとした指示が必要で、そのためには基本的な数学を理解する必要があるんだ。

数学や科学からのモデルを編んだりするのは、そんな新しいことじゃないけど、やる人はあまり多くないんだ。スコットランドの化学者アレクサンダー・クラム・ブラウンが、1世紀以上前に自分の概念を説明するために表面を編んでたんだ。1970年代には、マイルズ・リードが数学的な表面を編むことについて書いて、メビウススカーフやクラインボトルみたいなパターンにインスピレーションを与えたんだ。ダイナ・タイミナは1997年にかぎ針編みの双曲面を紹介して、今の「双曲編み」につながるブームを引き起こしたんだ。彼女の仕事の後、ヒンケ・オシンガやベルント・クラウスコプフみたいな人たちがローレンツ多様体のバージョンを編む方法を紹介したんだ。

編むときは、平らな面や曲がった面を作ることができて、いろいろな方法で操作できるんだ。双曲平面みたいな特定のモデルには、正確な指示が必要だよ。双曲平面は特別な曲がった形をしていて、簡単なパターンに従って、ラウンドで簡単に編み目を足せるんだ。

ローレンツ多様体みたいにもっと複雑な表面は、もっと詳細な計画が必要だよ。ラウンドで作業するけど、いつ編み目を足したり引いたりするかを注意深く管理する必要があるんだ。いろんな種類の編み方が異なる高さを作り出すから、複雑な形を作る柔軟性があるんだ。この話では、特にボーの最小面について、簡単なかぎ針編みの指示でできる最小表面を詳しく見ていくよ。

#最小表面って何？

最小表面は、ワイヤーの上に張った石鹸膜の形みたいに考えることができるよ。ワイヤーフレームを石鹸水に浸すと、そのフレームの中で可能な限り最小の面積を持つ表面ができるんだ。数学での最小表面は、局所的に面積を最小にする形として定義されていて、自分自身と交差したりするけど、常に一番小さい面積を保証するわけじゃないんだ。

最小表面の研究は多くの理論から始まったよ。1761年、ジョセフ＝ルイ・ラグランジュが閉じた境界の最小面積を持つ表面を探していたんだけど、具体的な例を提供するのが難しかったんだ。ジョセフ・プラトーが1873年に現れて、異なるワイヤーの形を使って作られた石鹸膜についての発見を共有し、テーマについての明確なイメージを提供して、純粋数学を超えた関心を広める手助けをしたんだ。これが「プラトーの問題」として知られるもの、つまり与えられた境界に基づいて最小表面を見つける探求につながったんだ。

19世紀になるまで、最小表面として知られていたのは、レオンハルト・オイラーが発見したカテノイドと、ジャン・バプティスト・ミュスニエが説明したヘリコイドの2つだけだったんだ。ミュスニエはカテノイドがラグランジュの条件を満たすことを指摘して、最小表面方程式に関する几何学的な洞察を提供したんだ。

1866年にカール・ヴァイエルシュトラスが最小表面を見つけるための一般的な方法を紹介し、特定の種類の関数を使って構築することを可能にしたんだ。アルフレッド・エンネパーもほぼ同時期に独自に最小表面を記述する方法を開発したんだ。これらの方法はボーの表面を含む最小表面を作るための基礎を提供するんだ。

#ボーの最小表面を編む

ボーの最小表面は、一種類の編み方だけで作れるからユニークなんだ。このおかげで、ラウンドで編み目を加えたり引いたりするのが明確で、均等に間隔を空けた見た目になるんだ。最初の大事なステップは、これらの表面の円の周囲を計算することだよ。

ボーの表面を話す前に、シンプルな平面円盤を編む方法を見てみよう。編み目がどれくらいの高さと幅かを知っておく必要があるよ。平面の円盤の半径は、作るラウンドの数に対応するんだ。平面での円の半径の周囲は、基本的な公式を使って計算できるよ。

また、これらのモデルを作るときに、扱っている特定のモデルのタイプに基づいて寸法を計算したいかもしれないことも考慮する必要があるよ。中には編みやすい表面もあれば、ボーの最小表面みたいに簡単な指示で作れるものもあるんだ。

#エンネパー面

エンネパー面は、最小表面の面白い例なんだ。対称性があって、鞍みたいな形をしてるけど、成長するにつれて自分自身と交差することがあるんだ。最初に交差するポイントは特に編みにくくて、特別な注意が必要だよ。

エンネパー面を編むには、マジックループ、シングルかぎ針編み、スリップステッチ、編み目を増やす基本的な技術が必要なんだ。あまり伸びない糸と、少し小さめのかぎ針を使うと、しっかりしたモデルが作れることが多いよ。

#リッチモンドの表面

次はリッチモンドの表面、これは似てるけど自分自身と交差するポイントが違うんだ。独特な形を持ってて、一方の端が平面みたいに伸びるけど、真ん中は自分自身と交差することがあるんだ。リッチモンドの表面を編むには、これらの交差している部分を管理しながら、編み目の配置に注意を払う必要があるよ。

この表面を編むことに決めたら、技術を適応する準備をしておくといいよ。小さなラウンドから始めて、モデルを対称的に成長させることができるんだ。作業しながら、編み目の位置を監視できるから、適切に配置しないと隙間ができたり、不均一な部分ができたりすることがあるから注意して。

#ボーの最小表面

ボーの最小表面は、直線で分けられた等しい部分があるから目立つ存在なんだ。このおかげで、初期の設定を越えれば、編み目をあまり動かさずに編みやすくなるんだ。

ボーの表面を編むには、エンネパー面と同じように始めるよ。マジックループを使って最初の数ラウンドを作るとき、編み目の追加方法に注意を払うんだ。対称的なモデルだから、決まったルーチンに従うことで、よりストレートな編み方ができるよ。

要するに、この数学的な表面を編むことは、アートと科学を組み合わせたものなんだ。創造性が構造的な思考と出会うことを示してるんだ。形の基本やその背後にある数学を理解することで、誰でも美しい複雑なアイデアの表現を作ることができるんだ。