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応力とひずみに対する材料の反応

応力とひずみが変わると材料がどうなるか見てみよう。

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材料の応力とひずみ材料の応力とひずみ応力条件下での材料の挙動を分析する。
目次

材料の研究では、異なる条件下での挙動をよく見ます。材料にストレスや力を加えると、形や大きさが変わります。これらの変化を理解することは、建設や製造などの分野で材料を扱うエンジニアや科学者にとって重要です。

この記事では、ゴムや金属のような材料がストレスにどう反応するか、特にストレスが不定期に変わる場合について話します。特に「対数ひずみ」と呼ばれるひずみの一種と、それが材料のストレスとどう関連しているかに焦点を当てます。ストレスは変化に抵抗する内部の力で、ひずみは材料がどれだけ変形するかの測定です。

基本概念

材料を押したり引いたりすると、伸びたり圧縮したりします。伸びたり圧縮したりする量がひずみです。加えた力がストレスです。理想的な条件では、これらは関連があります。ストレスがどれだけか分かれば、どれだけひずみが起こるか予測できます。

異なる材料は、ストレスに対して違った挙動を示します。金属のような材料は、特定の限界までストレスが取り除かれると元の形に戻るリニアな関係がありますが、ゴムのような材料は大きく変形しても、力が取り除かれても変形したままです。

対数ひずみ

対数ひずみは、材料がストレスに応じてどう変化するかを表す方法です。材料の元々のサイズと、その変化を考慮に入れ、大きな変形が起こるときのより正確な見方を提供します。これは、ストレスがかかると線形に振る舞わない材料に特に役立ちます。

対数ひずみは、材料の最終的な長さと元の長さの比の自然対数を使って計算されます。この方法を使うことで、大きな変形に対してもひずみをより適切に記述できます。

ストレスとひずみの関係

ストレスとひずみの関係は、いつも単純ではありません。多くの場合、ストレスを増やすと、ひずみも増えますが、特に非線形材料では常にそうとは限りません。非線形材料は、ストレスに対してより複雑な反応を示すため、ストレスとひずみの関係は一定ではありません。

エンジニアや科学者にとって、さまざまなストレス条件下で材料がどう反応するかを正確に予測できる数学的モデルを見つけることが重要です。これが、ストレスとひずみの研究が重要になる理由で、いわゆる構成モデルにつながります。

構成モデル

構成モデルは、ストレスとひずみを関連付ける数学的な説明です。これらのモデルは、さまざまな条件下で材料がどう振る舞うかを予測するのに役立ちます。一般的な構成モデルの種類には以下があります。

線形弾性

線形弾性では、材料が予測可能な方法で振る舞います。ストレスが取り除かれると元の形に戻りますが、特定の限界を超えない限りは。このモデルは、多くの金属の小さな変形にうまく機能します。

超弾性

超弾性材料は、線形弾性材料よりもはるかに伸びることができ、ゴムのような材料を説明するのに使われます。これらのモデルは、大きな変形を考慮に入れ、ストレスが取り除かれたら元の形に戻ることができます。

粘弾性

粘弾性材料は、粘性と弾性の両方の特性を示します。つまり、変形してから回復しますが、回復には時間がかかります。多くのポリマーや生物材料がこのように振る舞います。

時間の役割

材料を扱うとき、時間はストレスへの反応に大きな役割を果たすことがあります。たとえば、ゴムバンドを素早く伸ばすとすぐに戻りますが、ゆっくり伸ばすと元の形に戻るまで時間がかかります。この時間依存の挙動は、多くの応用で重要です。特に、材料が時間とともに変わる条件にさらされるときに。

コロテーショナル微分

材料の研究では、数学者や科学者がストレスとひずみがどう相互作用するかを分析するためのさまざまな方法を開発してきました。その一つがコロテーショナル微分を使った方法です。これらの微分は、材料が回転または歪んだときに形がどう変わるかを理解するのに役立ちます。これらの変化を考慮することで、材料がストレスにどう反応するかをより正確に予測するモデルを作成できます。

材料の安定性

ストレス下での材料の安定性は重要な懸念です。材料が安定していないと、失敗して事故や構造的な故障を引き起こす可能性があります。科学者たちは、ストレスを受けたときに材料が安定している特定の条件を研究しています。この理解は、エンジニアが安全で信頼性のある構造を設計するのに役立ちます。

等方性材料の重要性

等方性という用語は、全方向で同じ特性を持つ材料を指します。ほとんどの金属は、テストされる方向に関係なく似たような機械的特性を示すため、等方性と見なされます。これにより、分析やモデル化が簡単になります。

研究と影響

材料科学の研究は、材料がさまざまなタイプのストレスやひずみにどう反応するかの理解を深めることに焦点を当てています。より良いモデルを開発することによって、研究者は特定の条件下でより良い性能を持つ材料を作ることができ、エンジニアリングや製造の安全で効率的な設計につながります。

結論

材料がストレスやひずみにどう反応するかを理解することは、エンジニアリングや材料科学の分野にとって重要です。対数ひずみや安定性のような概念を研究することで、研究者は材料の挙動を予測するモデルを開発できます。この知識は、さまざまな条件を時間をかけて耐えられる安全な構造や製品を設計するために不可欠です。

材料科学が進化し続けるにつれて、新しい方法やモデルが登場し、ストレスとひずみの複雑な相互作用についてより深い洞察を提供するでしょう。これにより、技術とエンジニアリングの進歩が可能になり、材料が未来の要求に応えることができるようになります。

オリジナルソース

タイトル: A constitutive condition for idealized isotropic Cauchy elasticity involving the logarithmic strain

概要: Following Hill and Leblond, the aim of our work is to show, for isotropic nonlinear elasticity, a relation between the corotational Zaremba-Jaumann objective derivative of the Cauchy stress $\sigma$, i.e. \begin{equation} \frac{{\rm D}^{\rm ZJ}}{{\rm D} t}[\sigma] = \frac{{\rm d}}{{\rm d}{t}}[\sigma] - W \, \sigma + \sigma \, W, \qquad W = {\rm skew}(\dot F \, F^{-1}) \end{equation} and a constitutive requirement involving the logarithmic strain tensor. Given the deformation tensor $F ={\rm D} \varphi$, the left Cauchy-Green tensor $B = F \, F^T$, and the strain-rate tensor $D = {\rm sym}(\dot F \, F^{-1})$, we show that \begin{equation} \label{eqCPSdef} \begin{alignedat}{2} \forall \,D\in{\rm Sym}(3) \! \setminus \! \{0\}: ~ \langle{\frac{{\rm D}^{\rm ZJ}}{{\rm D} t}[\sigma]},{D}\rangle > 0 \quad &\iff \quad \log B \longmapsto \widehat\sigma(\log B) \;\textrm{is strongly Hilbert-monotone} &\iff \quad {\rm sym} {\rm D}_{\log B} \widehat \sigma(\log B) \in{\rm Sym}^{++}_4(6) \quad \text{(TSTS-M$^{++}$)}, \end{alignedat} \tag{1} \end{equation} where ${\rm Sym}^{++}_4(6)$ denotes the set of positive definite, (minor and major) symmetric fourth order tensors. We call the first inequality ``corotational stability postulate'' (CSP), a novel concept, which implies the \textbf{T}rue-\textbf{S}tress \textbf{T}rue-\textbf{S}train strict Hilbert-\textbf{M}onotonicity (TSTS-M$^+$) for $B \mapsto \sigma(B) = \widehat \sigma(\log B)$, i.e. \begin{equation} \langle \widehat\sigma(\log B_1)-\widehat\sigma(\log B_2),{\log B_1-\log B_2} \rangle> 0 \qquad \forall \, B_1\neq B_2\in{\rm Sym}^{++}(3) \, . \end{equation} In this paper we expand on the ideas of Hill and Leblond, extending Leblonds calculus to the Cauchy elastic case.

著者: Marco Valerio d'Agostino, Sebastian Holthausen, Davide Bernardini, Adam Sky, Ionel-Dumitrel Ghiba, Robert J. Martin, Patrizio Neff

最終更新: Sep 3, 2024

言語: English

ソースURL: https://arxiv.org/abs/2409.01811

ソースPDF: https://arxiv.org/pdf/2409.01811

ライセンス: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

変更点: この要約はAIの助けを借りて作成されており、不正確な場合があります。正確な情報については、ここにリンクされている元のソース文書を参照してください。

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