AIと数学の証明：新しいアプローチ

数学の正式な証明を書くのって、フィットシートを折るより難しいことがあるよね。人間でもコンピュータでも、永遠に続くパズルみたいに感じることがある。最近、賢い人たちが「AIを使って助けてもらおうよ！」って思いついたんだ。彼らは国際数学オリンピックのIMO問題という特別な数学の問題を見てみた。

この数学の問題は、中くらいからめちゃくちゃ難しいやつまでいろいろあるよ。まるで、頭をひねって「足し算もできてるかも？」って思わせるような問題。チームは、数学の証明用のプログラミング言語であるLeanを使って正式な証明を書こうとしたんだ。AIを使ってこの難しい問題に取り組むことを目指して、彼らが見つけたことはとても興味深かったよ。

#数学の証明の挑戦

人間は正式な数学の証明を書くのが難しくて、コンピュータも特別得意ってわけじゃない。いわゆるアドバンスドなAIモデルでも苦戦することが多いんだ。miniF2Fデータセットは、自動定理証明のベンチマークとしてよく使われるけど、その中には20のIMO問題が含まれていて、半分以上に正式な証明がないんだ。なんでそんなことが問題かって？コンピュータが問題を解けるって言っても、ちゃんとした証明がないと、「冷凍ピザ温めるだけの素晴らしい料理家」って言ってるみたいなもんなんだ。

多くのAIモデル、特にGPT-4はこれらの数学問題を正しく証明するのが難しい。時にはうまくいくこともあるけど、難しい問題になると、まるで幼児が靴ひもを結ぼうとしてるみたいに、努力はするけど成功しないんだ。

#証明のプールを広げる

もっと正式な証明を増やすために、チームはminiF2Fデータセットの20のIMO問題のうち13のオリジナル証明を書くことにしたんだ。さらに最近の問題も少し追加して、証明の行数は合計5,150行にもなったよ。これはいくつかの小説よりも長いんだ！この大規模な努力によって、将来の研究者がこれらの問題を学んで実験しやすくなった。

彼らはそこにとどまらなかった。証明を小さなパーツに分けて、レマというものを作ったんだ。これらのレマは、数学の証明のビルディングブロックみたいなもんだよ。チームは約900のレマを作成し、約25,500行のLeanコードを書いた。これはたくさんの数学のビルディングブロックだね！これらのレマは扱いやすくて、AIモデルが学ぶための明確な道を提供している。

#AIの証明作成スキルの評価

これらのレマを生成した後、チームはGPT-4の証明作成スキルをテストすることにした。結末を言うと、うまくいかなかったよ。AIは正しい証明を書くのに苦戦して、これはその背後の高度な技術を考えると驚きだった。いろんなプロンプティング技術を使ったけど、ロボットは輝かなかったんだ。

面白いことに、GPT-4は新しいIMO問題よりも古い問題の方がうまくいったんだ。古い問題はちょっと優しくて、穏やかな夏の日みたいだったけど、新しい問題は嵐の夜のように厳しくて、進むのが大変だった。

#なぜAIは質の高いデータが必要なのか

機械学習モデルは、空腹な人みたいに質の高いデータを必要とする。良いデータをたくさん与えるほど、パフォーマンスが良くなる。多くの機械学習システムの成功は、質の高いトレーニングデータの豊富さに起因することが多いんだ。たとえば、ImageNetはコンピュータビジョンに大きく貢献したけど、数学に関しては、利用可能なリソースがかなり不足している。

miniF2Fデータセットには、多くの問題に対して質の高い証明が不足している。ほとんどのAIモデルは、学ぶためのしっかりした例がないから失敗するんだ。これは、自転車の乗り方を学ぼうとしても、誰かが乗っているのを見たことがないみたいなもの。モデルが数学の問題を解こうとして失敗すると、どこが間違っているのかを判断するのが難しいんだよ。

#数学オリンピック：難しい課題

国際数学オリンピックはユニークな挑戦を提供する。問題は試験日になって初めて明らかになるし、毎年難しくなっていく。だから、AIモデルが成果を上げたいなら、足元をしっかり見て未知の問題を扱う能力が必要なんだ。過去の問題を練習しても十分じゃない。毎年、生徒たちは意図的にトリッキーに作られた新たな課題に直面するんだから。

数学オリンピックに向けてAIを準備するには、厳格な評価方法を使う必要がある。新たに難しい問題セットに直面したときに、AIが学習を一般化できるかどうかをチェックしなきゃいけないんだ。金メダルを狙おうとして、適当な練習しかしてなかったら、空っぽで帰ることになるよ。

#現在の数学データセットの状況

miniF2Fデータセットは、学生がテストを受けるためのさまざまな数学定理で構成されている。244の定理の中で、20がIMOからのもので、その難易度はかなりばらつきがある。一行で証明できるものもあれば、何百行もかかるものもある。簡単な問題で成功しても、難しい問題での成功は保証されていない。だから、モデルが優れていると言っても、単なるパーセンテージだけを見てはいけないんだ。

このデータセットの現在のチャンピオン、LEGO-Proverは、IMO問題のうち一つしか証明できなかった。一方で、HTPSのような方法はもっと多くの問題を処理できるけど、簡略化されたり不適切に表現された問題文に苦しむことが多いんだ。短いジョギングを完走したからって、レースに勝てるとは言えないみたいなものだよ。

#証明の分解に対する新しいアプローチ

チームは、多くの問題に正式な証明が公開されていないことに気づいたんだ。そこで彼らはこれらの難しい問題に取り組んで、それらの正式な証明をLeanで共有した。各証明を小さなレマに分けることで、複雑な課題をより管理しやすくして、他の人がそれらを学びやすくしたんだ。

レマは難易度が異なり、さまざまなトピックをカバーしている。簡単でストレートなものもあれば、より深い思考を必要とするものもある。彼らは、Leanが自動的に証明できるような簡単な問題は避けて、本当の挑戦に集中したんだ。

#GPT-4のテスト：改善を期待して

GPT-4が改善できるかどうかを見るために、チームはレマの公式な証明を書くよう促した。詳細な指示を与え、GPT-4の非公式な証明と公式な証明を見比べたんだ。驚くべきことに、かなりのプロンプティングとフィードバックをした後でも、GPT-4は正確性に苦しんでいた。まるで、サンドイッチの作り方を何度も教えても、結局はサラダを出されるような感じだった。

ほとんどの場合、GPT-4は正しい答えを提供できなかった。チームはフィードバックを与えて間違いを修正させようとしたけど、まるで猫に持てるように教えているみたいだった。GPT-4と何度も対話したけど、10ラウンド後には見切りをつけることにしたよ。

#レマを詳しく見てみる

新しいデータセットの各レマには、Leanでの正式な証明があり、これがこれらの問題について学ぼうとする人には重要なんだ。チームは907のレマを構築し、難易度は簡単から複雑までさまざまだ。これらのビルディングブロックは、証明作成をよりよく理解しようとする人にとって不可欠で、より複雑な数学問題に取り組むための道を提供している。

たとえば、いくつかのレマは比較的簡単で、数の基本的な特性を証明することに関係している。他のものは、関数や数の関係についてクリティカルに考えることを求める。多くは分解してもまだ難しいけど、それが数学の美しさでもあるんだ。学ぶべき新しいことは常にあるからね。

#証明をアクセスしやすくする

チームが作成した正式な証明は、コミュニティと共有され、公式な証明を書くためにかかる労力をみんなが理解できるようにしている。これにより、オンラインで流通している非公式な証明の間違いを特定するのにも役立つ。チームは、正式な証明がどれだけ有益で詳細なものであるかを示したいと考えている。特に、より複雑なテーマを考えるときにね。

これらの証明を利用可能にすることで、彼らは数学の理解に貢献している。数学に詳しくない人も、正式な証明にかかわる労力を見て理解し、数学者たちはそれを使って非公式なアプローチを磨くことができるんだ。

#重要なポイント

このプロジェクトは、証明を正式にすることの難しさを明らかにし、高品質なデータがAIモデルのトレーニングに重要であることを強調している。たとえGPT-4がかなり苦戦したとしても、この作業は将来の進展のための基盤を築いたんだ。

チームは、豊富な正式な証明を提供し、レマを通じて取り組むことで、自動定理証明の分野での成功がもっと増えることを期待している。彼らは、数学の問題を高レベルで扱えるAIを構築するための長い旅の一歩だと考えているんだ。

#将来の方向性を探る

チームはGPT-4の挑戦に直面したけど、楽観的な気持ちを持ち続けている。データセットのレマを効果的に証明できるモデルを開発するという目標はまだ生きているんだ。たとえ不完全なものであっても、各試みはAIの数学における未来を形成する情報となる。

このプロジェクトは、複雑な証明を理解し、新しい方法でアイデアをつなげる、より強力なAIモデルの道を開く。数学の世界には挑戦が無限にあって、AIはそれをさらに押し広げる重要な役割を果たすことができるんだ。

#結論

要するに、Leanを使ってIMO問題の正式な証明を書く努力は、自動定理証明における将来の作業に大きな可能性を提供している。旅は複雑で予期しない障害があるけど、踏み出した一歩一歩が、AIが数学の世界でどう助けることができるのかをより深く理解することに近づけている。

研究者たちが方法を洗練し、モデルの能力を向上させたら、数学のコンペティションでの難しい問題に効果的に取り組むAIシステムを見られるかもしれない。もしくは、数学コミュニティの前で恥をかかないくらいまで近づくかもしれないね。誰が知ってる？いつか、数学オリンピックをバッチリこなせるAIが登場するかもしれないけど、それまでの間は、レマを一つずつ練習し続けるしかないね。