Classificatori Innovativi Usando Distanze di Mahalanobis

La Distanza di Mahalanobis è uno strumento importante nella statistica per analizzare dati con più variabili. Viene utilizzata per misurare quanto un'osservazione è lontana da un gruppo o distribuzione. Ci sono tanti modi per usarla, come confrontare due gruppi, controllare quanto una misura è vicina a un gruppo di misure, e anche nei test per differenze tra gruppi.

In questo articolo, parliamo di un nuovo modo di classificare i dati usando le distanze di Mahalanobis. Il nostro metodo combina aspetti globali e locali di queste distanze per migliorare i risultati di Classificazione, specialmente quando le classi nei dati hanno forme complicate.

#Contesto sulla distanza di Mahalanobis

La distanza di Mahalanobis misura la distanza tra un punto e una distribuzione, tenendo conto delle correlazioni del set di dati. Se i dati seguono una distribuzione normale, questa misura può essere molto utile. Per i compiti di classificazione, in particolare quando si tratta di più di due gruppi, le distanze di Mahalanobis possono fornire informazioni preziose su quanto è probabile che un'osservazione appartenga a una classe specifica.

Ci sono diversi classificatori tradizionali, come le analisi discriminanti lineari e quadratiche, che assumono che i dati siano distribuiti normalmente. Tuttavia, questi classificatori possono avere difficoltà quando i dati non soddisfano questa assunzione. Il nostro approccio mira a risolvere queste carenze introducendo un metodo di classificazione più flessibile basato sulle distanze di Mahalanobis.

#Classificatori proposti

Introduciamo due classificatori basati sulle distanze di Mahalanobis: un Classificatore Globale e un Classificatore Locale.

#Classificatore globale di distanza di Mahalanobis

Il primo classificatore si basa sulla distanza di Mahalanobis convenzionale. Questo metodo funziona bene quando le classi hanno una forma più o meno ellittica. Ad esempio, se abbiamo due classi in un dataset che sono più o meno ovali, il nostro classificatore globale può utilizzare le distanze di Mahalanobis per determinare la probabilità che un'osservazione appartenga a una delle due classi.

Questo classificatore si basa sulla creazione di un modello che stima le probabilità che un'osservazione appartenga a ciascuna classe. Lo fa analizzando quanto è lontana l'osservazione dai centri delle classi, confrontando questo con quanto sono disperse le classi.

#Classificatore locale di distanza di Mahalanobis

Il secondo classificatore adotta un approccio diverso quando si tratta di distanze di Mahalanobis. Riconosciamo che quando i dati non sono ellittici o hanno più picchi (multimodali), l'approccio globale potrebbe non funzionare bene.

Quindi, proponiamo di utilizzare una versione locale della distanza di Mahalanobis, che considera le distanze in un contesto più localizzato. Questo significa che invece di guardare all'intero dataset per calcolare le distanze, ci concentriamo sulle osservazioni che sono vicine a un dato punto. Questa prospettiva locale ci consente di catturare meglio le sfumature della distribuzione dei dati.

#Come funzionano i classificatori

#Meccanica del classificatore globale

1. Calcolo della distanza: Per ciascuna osservazione, viene calcolata la sua distanza di Mahalanobis da ciascuna classe.
2. Stima della probabilità: Queste distanze vengono poi utilizzate in un modello che stima la probabilità che l'osservazione appartenga a ciascuna classe.
3. Classificazione: L'osservazione viene quindi assegnata alla classe con la probabilità stimata più alta.

#Meccanica del classificatore locale

1. Calcolo della distanza locale: Simile all'approccio globale, ma il calcolo della distanza si concentra sulle osservazioni circostanti vicine al punto di interesse.
2. Ponderazione: Viene applicata una funzione di ponderazione per dare più importanza alle osservazioni vicine quando si calcolano le distanze.
3. Stima della probabilità: Le probabilità vengono stimate in base a queste distanze locali, consentendo una classificazione più raffinata.
4. Classificazione: Come con il metodo globale, l'osservazione viene assegnata alla classe con la probabilità più alta.

#Valutazione dei classificatori proposti

Per determinare quanto bene funzionano i nostri classificatori, li abbiamo testati su dataset simulati e dati reali. Abbiamo confrontato le loro prestazioni con diversi altri metodi di classificazione popolari.

#Risultati dai dataset simulati

Per i nostri test, abbiamo creato diversi dataset simulati che variavano nelle loro forme e distribuzioni:

1. Distribuzioni ellittiche: In scenari in cui le classi erano ellittiche, il nostro classificatore globale ha funzionato eccezionalmente bene, spesso superando i classificatori tradizionali.
2. Distribuzioni multimodali: Nei casi in cui le classi non erano uniformemente modellate o avevano più picchi, il classificatore locale ha eccelso. È stato in grado di gestire meglio le distribuzioni complesse rispetto al classificatore globale e ad altri metodi standard.

#Risultati dai dataset reali

Abbiamo applicato i nostri classificatori a una varietà di benchmark del mondo reale. I risultati sono stati promettenti:

• In molti casi, sia il classificatore globale che quello locale hanno mostrato tassi di misclassificazione più bassi rispetto ai metodi consolidati.
• Il classificatore locale ha mostrato vantaggi notevoli nei dataset con classi sovrapposte o forme complesse.

#Applicazione dei classificatori

I classificatori basati sulle distanze di Mahalanobis possono essere applicati in vari campi:

1. Diagnosi medica: Possono aiutare a classificare i pazienti in base agli indicatori di salute, consentendo diagnosi e pianificazione dei trattamenti migliori.
2. Finanza: Nella valutazione del credito, possono aiutare a classificare i richiedenti in base ai livelli di rischio, migliorando il processo decisionale.
3. Marketing: Le aziende possono categorizzare i clienti secondo il loro comportamento di acquisto, aiutando nelle strategie di marketing mirate.

#Conclusione

In sintesi, abbiamo sviluppato due classificatori basati sulle distanze di Mahalanobis. Il classificatore globale è efficace per distribuzioni ellittiche, mentre il classificatore locale eccelle in situazioni più complesse con classi non ellittiche o multimodali.

Attraverso vari test, abbiamo dimostrato che questi classificatori possono superare i metodi tradizionali in numerosi scenari. La loro flessibilità e capacità di adattarsi alla natura dei dati li rendono strumenti preziosi nell'analisi dei dati e nei compiti di classificazione in diversi settori.

I nostri risultati suggeriscono che incorporare sia prospettive globali che locali quando si analizzano le distanze può migliorare significativamente l'accuratezza della classificazione, specialmente negli ambienti complessi dei dati ad alta dimensione.