Invariants de lien et algébres de Hecke de quiver
Exploration de l'interaction entre les algèbres de Hecke à quiver et l'homologie de Floer dans les maths modernes.
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Table des matières
- Qu'est-ce que les algèbres de Hecke de quiver ?
- L'homologie de Floer expliquée
- Les branches de Coulomb dans les théories de jauge
- Lien entre l'homologie de Floer et les algèbres de Hecke de quiver
- La catégorie KLRW
- Variantes cylindriques des catégories KLRW
- Catégories de Fukaya-Seidel
- Géométrie des branches de Coulomb
- Comptage de disques et relations KLRW
- Conclusion
- Source originale
Dans le monde des maths, les algèbres de Hecke de quiver jouent un rôle important dans les invariants de lien. Ces algèbres sont liées à la théorie de la représentation et ont été appliquées dans plein de domaines, y compris la physique. Cet article explore la relation entre les algèbres de Hecke de quiver et l'Homologie de Floer, surtout dans le contexte des Branches de Coulomb. On vise à expliquer ces concepts de manière accessible pour ceux qui n'ont pas de formation spécialisée.
Qu'est-ce que les algèbres de Hecke de quiver ?
Les algèbres de Hecke de quiver sont des structures algébriques qui viennent d'un graphe dirigé connu sous le nom de quiver. Chaque sommet du quiver peut se voir attribuer un nombre naturel, et les connexions (ou flèches) entre eux suggèrent des relations et des opérations. Ces algèbres généralisent les groupes classiques et ont des applications dans des domaines comme la topologie et la théorie de la représentation.
L'homologie de Floer expliquée
L'homologie de Floer est un type d'outil mathématique qui vient des études en géométrie symplectique. Elle offre un moyen d'analyser la topologie des variétés en étudiant les flux de gradients. En termes pratiques, ça signifie regarder les chemins sur ces variétés et comprendre leurs connexions.
Les branches de Coulomb dans les théories de jauge
Les branches de Coulomb apparaissent dans le contexte des théories de jauge, surtout en trois dimensions. Ces branches peuvent être décrites comme des espaces de modules, qui sont des espaces mathématiques représentant différents états d'un système sous certaines contraintes. La version multiplicative de ces espaces a été au centre des recherches récentes.
Lien entre l'homologie de Floer et les algèbres de Hecke de quiver
L'interaction entre l'homologie de Floer et les algèbres de Hecke de quiver est un domaine de recherche riche. En gros, il y a une forte connexion entre les représentations des algèbres de Hecke de quiver et la manière dont l'homologie de Floer se comporte dans les branches de Coulomb. Cette connexion a des implications significatives pour les invariants de lien.
La catégorie KLRW
La catégorie KLRW (Khovanov-Lauda-Rouquier-Wenzl) est cruciale pour comprendre la relation entre les quivers et l'homologie de Floer. Elle consiste en collections de points sur une ligne, représentant différentes structures algébriques. Les espaces de morphismes dans cette catégorie sont générés par des diagrammes qui montrent les relations entre ces points.
Variantes cylindriques des catégories KLRW
Les variantes cylindriques de la catégorie KLRW adaptent le concept à une configuration circulaire plutôt que linéaire. Cette transformation mène à de nouveaux invariants homologiques, enrichissant notre compréhension des théories d'homologie de lien.
Catégories de Fukaya-Seidel
Les catégories de Fukaya-Seidel sont une forme de structure mathématique qui émerge en géométrie symplectique. Elles offrent des aperçus sur le comportement des sous-variétés lagrangiennes à travers leurs interactions avec des courbes holomorphes. La construction de ces catégories dans le contexte des branches de Coulomb révèle de nouvelles connexions avec les algèbres de Hecke de quiver.
Géométrie des branches de Coulomb
Comprendre la géométrie des branches de Coulomb est essentiel pour explorer leurs propriétés mathématiques. Ces branches peuvent être visualisées en utilisant des systèmes de coordonnées spécifiques qui simplifient des relations complexes en formes plus gérables. La géométrie révèle des structures intriquées, mettant en lumière les connexions entre différentes disciplines mathématiques.
Comptage de disques et relations KLRW
Compter des figures géométriques spécifiques, comme des disques, est une partie vitale pour comprendre les relations entre l'homologie de Floer et les algèbres de Hecke de quiver. Ces comptages mènent à des relations KLRW, illustrant comment les structures algébriques se connectent avec des représentations géométriques.
Conclusion
La relation entre les algèbres de Hecke de quiver, l'homologie de Floer et les branches de Coulomb est un domaine de recherche dynamique. En explorant ces interactions, on gagne des aperçus plus profonds tant sur la théorie mathématique que sur ses applications en physique. En décomposant les complexités de ces concepts, on fait des avancées significatives vers la compréhension de la riche tapisserie des mathématiques modernes.
Titre: Quiver Hecke algebras from Floer homology in Couloumb branches
Résumé: Homology theories categorifying quantum group link invariants are known to be governed by the representation theory of quiver Hecke algebras, also called KLRW algebras. Here we show that certain cylindrical KLRW algebras, relevant in particular for cylindrical generalizations of link homology theories, can be realized by Lagrangian Floer homology in multiplicative Coulomb branches. This confirms a homological mirror symmetry prediction of the first author.
Auteurs: Mina Aganagic, Ivan Danilenko, Yixuan Li, Vivek Shende, Peng Zhou
Dernière mise à jour: 2024-06-06 00:00:00
Langue: English
Source URL: https://arxiv.org/abs/2406.04258
Source PDF: https://arxiv.org/pdf/2406.04258
Licence: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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