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Stratégies avancées pour l'incertitude dans les systèmes de contrôle

De nouvelles méthodes améliorent la performance des systèmes de contrôle face aux incertitudes.

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Dans les systèmes de contrôle, on gère souvent de l’incertitude. Cette incertitude peut venir de diverses sources comme des perturbations inattendues, des erreurs de mesure, et des changements dans la dynamique du système au fil du temps. Ignorer ces incertitudes en concevant des politiques de contrôle peut mener à une mauvaise performance et même à des situations dangereuses.

Traditionnellement, on gère les incertitudes avec deux approches principales : le contrôle stochastique et le contrôle robuste. Le contrôle stochastique essaie de minimiser les coûts attendus en supposant que les perturbations suivent une distribution de probabilité connue. Cependant, c'est risqué car la vraie distribution peut ne pas correspondre à celle supposée. Le contrôle robuste, d’un autre côté, se concentre sur la minimisation des coûts dans le pire des cas face aux perturbations potentielles, offrant un filet de sécurité mais parfois en étant trop prudent.

Dernièrement, de nouvelles stratégies ont émergé pour mieux gérer ces incertitudes. L'une d'elles est le contrôle Regret-Optimal (RO). Ce méthode définit le "regret" comme la différence de performance entre une politique de contrôle qui utilise juste des infos passées et une autre qui a accès à des événements futurs. Les contrôleurs RO visent à minimiser ce regret, surtout dans des situations où les perturbations peuvent changer avec le temps.

Une autre approche est le contrôle Distributionally Robust (DR). Contrairement aux méthodes traditionnelles qui travaillent avec une seule distribution, le contrôle DR considère un ensemble de distributions possibles que les perturbations pourraient suivre. Ça permet plus de flexibilité et une meilleure gestion des incertitudes.

Contrôle Regret-Optimal

Le contrôle RO vise à développer un contrôleur qui soit causal et invariant dans le temps. Ça veut dire que le contrôleur utilise seulement les infos du passé et ne change pas avec le temps. L'objectif est de réduire le regret dans le pire des cas causé par les perturbations. L'idée est que si un contrôleur peut gérer efficacement les perturbations tout en minimisant le regret, il performera bien globalement.

Dans ce cadre, le contrôleur met à jour en continu ses actions en fonction des perturbations qu'il rencontre. La performance de ces contrôleurs a été étudiée dans diverses situations, comme des applications critiques pour la sécurité et des environnements dynamiques. Bien que les contrôleurs RO fassent un bon job pour imiter la performance de contrôleurs non causaux plus avancés dans des scénarios pessimistes, ils peuvent parfois être trop prudents face à des perturbations aléatoires.

Contrôle Distributionally Robust

Le contrôle DR prend une approche différente en considérant un ensemble de distributions possibles pour les perturbations au lieu de se fier à une seule. Ça veut dire que le contrôleur est conçu pour bien performer dans une variété de conditions. En prenant en compte un groupe de perturbations probables, au lieu d’une seule, les méthodes DR offrent un équilibre entre prudence et performance réelle.

Un aspect clé de cette approche est l'utilisation de métriques pour comprendre comment différentes distributions de perturbations se rapportent les unes aux autres. Les métriques courantes incluent la distance de variation totale, la divergence de Kullback-Leibler, et la distance de Wasserstein. Chacune de ces méthodes a ses avantages et défis. Par exemple, la distance de Wasserstein est particulièrement utile car elle peut gérer à la fois des distributions discrètes et continues.

L’objectif du contrôle DR est de créer un contrôleur qui peut maintenir une forte performance même face à diverses perturbations. Les méthodes alternatives pour mesurer comment les perturbations peuvent changer permettent aux concepteurs de créer des contrôleurs qui ne deviennent pas trop prudents, ce qui peut mener à une inefficacité.

Cadre Théorique

Cet article se concentre sur le contrôle distribué robuste en regret optimal (DR-RO) de Wasserstein-2 pour les systèmes linéaires. L'objectif est de créer un contrôleur qui minimise le regret attendu dans le pire des cas pour des perturbations qui varient dans le temps. On suppose que ces perturbations ont une certaine gamme de comportements possibles, définis par un ensemble d'ambiguïté.

Plus formellement, on veut trouver un contrôleur qui fonctionne bien au sein de cet ensemble de perturbations possibles. L'approche prend en compte la nature continue du temps, permettant une meilleure gestion des scénarios du monde réel. En comprenant comment les perturbations se comportent avec le temps, on peut développer des contrôleurs qui s'adaptent et performent efficacement.

Conception du Contrôleur

Un des aspects majeurs de notre approche est la conception d'un contrôleur qui fonctionne efficacement même dans des conditions critiques. On cherche un contrôleur LTI (Linear Time-Invariant) qui reste stable malgré la présence de perturbations. L’objectif est d’équilibrer Robustesse et performance, en s'assurant que le système reste stable et performe bien même face à des situations imprévues.

Pour atteindre ça, on introduit une méthode pour calculer efficacement le contrôleur optimal. Cette méthode se concentre sur le domaine de fréquence, ce qui simplifie les calculs et permet de mieux comprendre comment le contrôleur se comporte dans le temps.

Stabilité et Robustesse

Assurer la stabilité est crucial lors de la conception de systèmes de contrôle. Un contrôleur stable aide à maintenir le contrôle sur le système, même face à des perturbations. Dans notre contexte, ça veut dire que le contrôleur continue de bien fonctionner dans le temps, peu importe les perturbations qui se présentent.

Pour améliorer la robustesse, on s'assure que notre conception prend en compte des perturbations non indépendantes et identiquement distribuées (non-iid). Ça permet au contrôleur de s'adapter aux changements et de performer efficacement sous une variété de conditions.

Optimisation

Trouver le contrôleur optimal implique de résoudre un problème d'optimisation. En transformant notre problème en une formulation équivalente max-min, on peut efficacement déterminer les meilleurs paramètres du contrôleur. Cela implique d'analyser les compromis entre divers facteurs et de trouver une solution qui équilibre performance et robustesse.

Le problème d'optimisation peut être compliqué, surtout parce qu'il peut impliquer la résolution d'équations complexes. Cependant, on peut utiliser des techniques connues, y compris la méthode de Wiener-Hopf, pour simplifier ces calculs et déterminer les paramètres optimaux du contrôleur.

Méthodes Numériques

Pour calculer efficacement le contrôleur optimal, on propose un algorithme basé sur la méthode Frank-Wolfe. Cette approche se concentre sur la linéarisation du problème à chaque étape, ce qui facilite la recherche de solutions. L'algorithme affine itérativement les paramètres du contrôleur jusqu'à ce qu'il converge vers une solution optimale.

La stabilité de l'algorithme est cruciale pour une mise en œuvre pratique. On s'assure que le contrôleur qui en résulte reste stable, même lorsqu'on fait de petits ajustements aux paramètres. Cela permet des applications en temps réel où le contrôleur doit réagir rapidement aux changements de perturbations.

Approximation Rationnelle

En raison de la nature du contrôleur optimal, il manque souvent une représentation directe. Pour y remédier, on propose une méthode d'approximation rationnelle pour représenter le contrôleur sous une forme plus gérable, ce qui permet une mise en œuvre plus facile.

Cette approximation se concentre sur la représentation du contrôleur comme un rapport de deux fonctions polynomiales. Ce faisant, on peut calculer une représentation en espace d'état qui peut être appliquée dans des systèmes du monde réel. Cette transformation est essentielle pour appliquer les résultats théoriques de manière pratique.

Résultats Expérimentaux

Pour valider l’efficacité de nos méthodes proposées, on effectue des expériences numériques dans divers scénarios. On compare la performance du contrôleur DR-RO avec celle des méthodes traditionnelles, à la fois dans des simulations en domaine de fréquence et en temps réel.

Ces expériences montrent la robustesse du contrôleur DR-RO face à différents types de perturbations, y compris le bruit blanc et des scénarios pessimistes. Les résultats soulignent comment le contrôleur proposé maintient une performance supérieure dans diverses situations.

Conclusion

En résumé, notre travail démontre une nouvelle approche pour les systèmes de contrôle face aux incertitudes. En combinant des stratégies optimales en regret avec une robustesse distributionnelle, on fournit un cadre qui améliore la performance des contrôleurs face à des perturbations variées.

Grâce à une conception soignée, une optimisation, et une approximation rationnelle, cette recherche ouvre de nouvelles voies pour des applications pratiques dans les systèmes de contrôle. Les résultats montrent qu'en s'appuyant sur des méthodes robustes, on peut atteindre des politiques de contrôle efficaces et efficientes qui s'adaptent à des environnements changeants.

Ce travail prépare le terrain pour de futures recherches, particulièrement pour élargir les méthodes pour traiter des systèmes plus complexes et des situations partiellement observables. En intégrant l'adaptation dans les contrôleurs, on peut encore améliorer leur performance en apprenant des perturbations du monde réel.

Source originale

Titre: Infinite-Horizon Distributionally Robust Regret-Optimal Control

Résumé: We study the infinite-horizon distributionally robust (DR) control of linear systems with quadratic costs, where disturbances have unknown, possibly time-correlated distribution within a Wasserstein-2 ambiguity set. We aim to minimize the worst-case expected regret-the excess cost of a causal policy compared to a non-causal one with access to future disturbance. Though the optimal policy lacks a finite-order state-space realization (i.e., it is non-rational), it can be characterized by a finite-dimensional parameter. Leveraging this, we develop an efficient frequency-domain algorithm to compute this optimal control policy and present a convex optimization method to construct a near-optimal state-space controller that approximates the optimal non-rational controller in the $\mathit{H}_\infty$-norm. This approach avoids solving a computationally expensive semi-definite program (SDP) that scales with the time horizon in the finite-horizon setting.

Auteurs: Taylan Kargin, Joudi Hajar, Vikrant Malik, Babak Hassibi

Dernière mise à jour: 2024-06-11 00:00:00

Langue: English

Source URL: https://arxiv.org/abs/2406.07248

Source PDF: https://arxiv.org/pdf/2406.07248

Licence: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Changements: Ce résumé a été créé avec l'aide de l'IA et peut contenir des inexactitudes. Pour obtenir des informations précises, veuillez vous référer aux documents sources originaux dont les liens figurent ici.

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