Estimation des modèles de facteurs tensoriels de haute dimension en économie

Nous remercions les participants de diverses universités et ateliers pour leurs commentaires et discussions utiles. Les erreurs restantes ne sont que de notre faute.

Les données tensoriels en haute dimension sont devenues de plus en plus importantes pour les chercheurs en économie et finance. Cet article se concentre sur comment estimer et tirer des conclusions à partir de modèles de facteurs tensoriels en haute dimension. Ces modèles peuvent avoir beaucoup de dimensions qui deviennent plus grandes. Nous nous intéressons particulièrement aux modèles avec une structure spécifique appelée décomposition tensorielle de type CP, qui permet des vecteurs de chargement flexibles.

Sur la base des données de covariance actuelles, nous suggérons une méthode qui fonctionne de manière étape par étape pour produire des estimations. Notre méthode est robuste face à la faible corrélation entre les données et aux connexions faibles entre les dimensions dans le bruit. Nous fournissons une base théorique montrant que nos estimations sont cohérentes et ont des distributions normales lorsque nous relaxons certaines hypothèses. Nous examinons également deux méthodes pour estimer combien de facteurs se trouvent dans le modèle et montrons que ces méthodes sont fiables. Nos découvertes sont soutenues par des simulations et des exemples du monde réel, démontrant les forces de notre méthode par rapport à celles déjà existantes.

#Modèles de Facteurs en Économie et Finance

Les modèles de facteurs sont un outil essentiel pour résumer et extraire des informations à partir de datasets en haute dimension en économie et finance. Les modèles de facteurs traditionnels gèrent de grandes séries de données qui contiennent à la fois des données individuelles et liées au temps qui augmentent avec le temps. Ces modèles permettent une vue simplifiée de variations significatives dans les données économiques.

Aujourd'hui, les chercheurs font face à des datasets multi-dimensionnels étendus. Par exemple, les données de volume d'import-export pour diverses catégories de produits entre les pays peuvent être représentées comme un tenseur tridimensionnel, avec des valeurs manquantes pour certaines catégories. De même, les données de sélection de portefeuille peuvent impliquer des prix d'actions et des caractéristiques d'entreprises au fil du temps, formant un tenseur bidimensionnel.

Malgré leur importance, les méthodes statistiques et les applications pour l'analyse tensorielle des facteurs en haute dimension sont encore en développement. Les modèles de facteurs tensoriels supposent généralement des structures de faible rang, les structures CP et Tucker étant les plus courantes. Des études récentes ont examiné diverses méthodes d'estimation et des extensions pour ces modèles.

#Concentration sur le Modèle de Facteurs Tensoriels CP

Cet article met l'accent sur la structure de faible rang CP en raison de sa simplicité et de son efficacité. Nous proposons une méthode d'estimation par projection itérative basée sur des données actuelles plutôt que sur des données passées. Les méthodes traditionnelles reposent souvent sur des données historiques pour faire des estimations. Cependant, ces méthodes peuvent être limitées dans des situations où les facteurs sont indépendants ou faiblement corrélés.

Notre étude vise à construire une solide théorie d'inférence, détaillant la cohérence et les taux de convergence. De plus, nous développons des méthodes pour estimer les facteurs latents et montrons que notre Processus d'estimation est cohérent.

#Concepts de Base et Préliminaires

Dans cette section, nous introduisons des termes importants et des opérations tensoriels de base qui sont centraux dans notre étude.

• Tenseurs : Ce sont des tableaux multi-dimensionnels qui peuvent stocker des points de données à travers diverses dimensions.
• Matricisation : Ce terme fait référence à la restructuration des tenseurs en matrices pour une manipulation mathématique plus facile.
• Vecteurs de Chargement : Ceux-ci déterminent comment différents facteurs se rapportent aux données dans le tenseur.

Une série temporelle à valeur tensorielle capturant les facteurs et les vecteurs de chargement centraux de notre modèle.

#Processus d'Estimation

Nous employons un processus d'estimation en deux étapes pour calculer les vecteurs de chargement et les facteurs latents. La première étape consiste à initialiser les estimations par une méthode appelée PCA composite aléatoire, suivie d'une étape de raffinement itératif pour améliorer la précision.

La covariance contemporaine est définie de manière à aider à l'estimation des vecteurs de chargement en minimisant la perte empirique. Cependant, ce problème d'optimisation est complexe et est susceptible d'avoir plusieurs solutions locales. Par conséquent, notre méthode utilise une approche en deux étapes pour éviter de se retrouver bloqué dans ces optima locaux.

#Analyse des Algorithmes d'Estimation

Une fois que nous avons nos estimations, nous les affinons à travers un processus itératif conçu pour améliorer la précision en fonction de la structure vectorielle des données. La projection d'orthogonalisation appliquée à travers différentes itérations computationnelles conduit à une réduction significative du bruit et à une estimation plus claire.

#Estimation du Nombre de Facteurs

En pratique, nous ne savons souvent pas combien de facteurs existent. Nous développons quelques méthodes basées sur le ratio des valeurs propres pour déterminer ce nombre.

Une méthode consiste à déplier la covariance échantillon en une matrice et à estimer les valeurs propres. La deuxième méthode utilise la covariance basée sur le produit interne.

#Performance des Méthodes d'Estimation

Nous réalisons des simulations pour tester comment nos méthodes proposées se comparent aux techniques existantes, comme les estimateurs basés sur l'autocovariance et l'analyse en composantes principales tensorielle. Nos simulations montrent que nos méthodes surpassent systématiquement ces alternatives, en particulier dans les cas où les données affichent une faible dépendance temporelle.

#Applications Réelles

Nous appliquons notre méthodologie à deux applications empiriques. La première application examine des portefeuilles triés par diverses caractéristiques sur de nombreuses années, tandis que la seconde étudie les flux commerciaux internationaux entre plusieurs pays.

En analysant les données, nous résumons les relations et les corrélations entre différentes caractéristiques et variables économiques. Nos résultats empiriques démontrent la pertinence pratique de notre méthode proposée.

#Conclusions

Modéliser des séries temporelles tensoriels en haute dimension prend de l'importance en raison de la disponibilité de datasets multidimensionnels. Cet article a présenté une approche ciblée aux modèles de facteurs tensoriels avec une structure de faible rang CP. En développant des procédures d'estimation itératives basées sur des données contemporaines, nous préservons la structure tensorielle sous-jacente.

Notre analyse théorique démontre que notre modèle estime avec succès les vecteurs de chargement et les facteurs pour des observations non corrélées. À travers des simulations et des applications du monde réel, nous soulignons les forces de notre approche par rapport aux méthodes existantes.

#Travaux Futurs et Extensions

Le sujet des modèles de facteurs tensoriels est encore en développement, et nous voyons un besoin d'exploration supplémentaire. De futures recherches pourraient étudier l'impact de différentes hypothèses structurelles et appliquer nos méthodes à différents types de datasets en économie et finance. De plus, comprendre comment étendre notre approche à des structures plus complexes, comme celles impliquant des dimensions supplémentaires ou différents types de dépendance, serait bénéfique.

#Résumé des Principaux Résultats

1. Modèles de Facteurs Tensoriels CP : Ces modèles offrent un moyen simplifié mais efficace d'analyser des datasets en haute dimension.
2. Méthodes d'Estimation : Nos méthodes d'estimation proposées basées sur des données de covariance contemporaines surpassent les approches traditionnelles.
3. Applications : Nos méthodes ont des applications pratiques dans l'analyse de portefeuilles financiers et des données commerciales internationales.
4. Garanties Théoriques : Nous établissons un solide soutien théorique pour nos estimateurs, garantissant cohérence et normalité.

#Remarques de Clôture

La capacité à modéliser et analyser efficacement des données tensoriels en haute dimension continuera d'être cruciale pour les chercheurs et les décideurs en économie et finance. Notre travail contribue à ce domaine en plein essor en fournissant de nouvelles méthodes et perspectives, ouvrant la voie à des analyses plus sophistiquées à l'avenir.