Das Spiel des Lebens auf Penrose-Fliesen

Das Spiel des Lebens ist ein einfaches, aber faszinierendes mathematisches Spiel, das von John Conway erfunden wurde. Es spielt auf einem Gitter aus Quadraten, wobei jedes Quadrat entweder lebendig oder tot sein kann. Das Spiel entwickelt sich im Laufe der Zeit basierend auf einem Satz einfacher Regeln. Was dieses Spiel interessant macht, ist die Komplexität, die aus diesen einfachen Regeln entsteht.

#Die Grundlagen des Spiels

Im Spiel des Lebens interagiert jedes Quadrat mit seinen acht Nachbarn (den Quadraten, die es berühren, einschliesslich der Diagonalen). Die Regeln, wie sich die Quadrate ändern (von lebendig zu tot oder umgekehrt), sind wie folgt:

1. Ein lebendes Quadrat bleibt lebendig, wenn es zwei oder drei lebende Nachbarn hat.
2. Ein lebendes Quadrat stirbt, wenn es weniger als zwei oder mehr als drei lebende Nachbarn hat.
3. Ein totes Quadrat wird lebendig, wenn es genau drei lebende Nachbarn hat.

Diese Regeln führen zu verschiedenen Mustern, die über die Zeit wachsen, aussterben oder stabil bleiben können. Einige Muster können sich über das Gitter bewegen, während andere zwischen den Zuständen oszillieren.

#Penrose-Kachelung erkunden

Die Penrose-Kachelung ist eine besondere Art von Muster, das sich nicht wiederholen lässt – das bedeutet, es passt nicht in ein regelmässiges Gitter. Sie wurde nach dem Mathematiker Roger Penrose benannt. Es gibt viele Arten von Penrose-Kachelungen, aber in dieser Diskussion konzentrieren wir uns auf den Robinson-Dreieckstyp.

In dieser Art der Kachelung passen die Formen so zusammen, dass ein nicht wiederholendes Muster über eine Fläche entsteht. Dies führt zu verschiedenen Nachbarschaften für Quadrate, die entscheidend dafür sind, wie das Spiel des Lebens auf dieser Art von Kachelung funktioniert.

#Die Verbindung zwischen dem Spiel des Lebens und Penrose-Kachelung

Wenn wir das Spiel des Lebens auf der Robinson-Dreieck-Penrose-Kachelung spielen, kombinieren wir zwei interessante mathematische Konzepte. Dies schafft eine einzigartige Reihe von Interaktionen und Verhaltensweisen, die sich von dem traditionellen quadratischen Raster unterscheiden.

Im Robinson-Dreieck passen die Kacheln so zusammen, dass sie im Vergleich zu einem Standardgitter unterschiedliche Nachbarschaften bilden. Diese Nachbarschaften bestimmen, wie die Quadrate sich gegenseitig unter den Regeln des Spiels des Lebens beeinflussen. Jede Anordnung von Kacheln führt zu unterschiedlichen möglichen Ergebnissen im Spiel.

#Stabile Muster verstehen

Ein stabiles Muster im Spiel des Lebens ist ein Muster, das sich im Laufe der Zeit nicht ändert. Es bleibt stabil, ohne dass lebende Quadrate sterben oder lebendig werden. Es gibt bekannte Beispiele für stabile Muster, wie ein quadratisches Block- oder ein Wannen-Muster. Auf der Robinson-Dreieck-Penrose-Kachelung haben wir versucht, alle möglichen stabilen Muster zu klassifizieren, die aus vier lebenden Quadraten bestehen.

#Der Klassifizierungsprozess

Um diese stabilen Muster aus vier Zellen zu klassifizieren, analysieren wir die Nachbarschaften, die aus der Robinson-Dreiecks-Kachelung entstehen. Jedes lebende Quadrat in einem stabilen Muster muss bestimmte Bedingungen basierend auf seinen Nachbarn erfüllen. Wenn ein Quadrat zu viele oder zu wenige lebende Nachbarn hat, könnte dies einen Wechsel in der nächsten Generation bewirken.

Wir berücksichtigen mögliche Anordnungen von vier lebenden Quadraten und prüfen, ob sie den Regeln des Spiels standhalten können. Indem wir uns auf verschiedene Gruppierungen der Quadratpositionen konzentrieren, können wir systematisch Konfigurationen ausschliessen, die wahrscheinlich in der nächsten Generation wechseln.

#Innen- und Aussen-Vorläufige Gruppen

In unserer Analyse kategorisieren wir die lebenden Quadrate in das, was wir Innen- und Aussen-Vorläufige Gruppen nennen. Die Innen-Vorläufige Gruppe umfasst Kacheln, die denselben Mittelpunkt teilen, während die Aussen-Vorläufige Gruppe Kacheln umfasst, die sich am Rand der Nachbarschaft treffen.

#Instabile Konfigurationen entfernen

Mit unserer Klassifizierungsmethode entfernen wir alle Anordnungen, die zu Geburten (ein totes Quadrat wird lebendig) oder Todesfällen (ein lebendes Quadrat stirbt) in der nächsten Generation führen würden. Diese Analyse hilft uns, Anordnungen zu identifizieren, die als stabile Muster gelten. Nachdem wir verschiedene Konfigurationen durchgegangen und instabile Muster gefiltert haben, gelangen wir zu einer vollständigen Liste der stabilen Muster aus vier Zellen für diese spezielle Kachelung.

#Gleiter und Oszillatoren erkunden

Nachdem wir stabile Muster identifiziert haben, tauchen zwei natürliche Fragen auf: Gibt es Gleiter in dieser Penrose-Version des Spiels des Lebens? Können wir Oszillatoren klassifizieren, Muster, die sich über Generationen wiederholen?

Ein Gleiter ist eine spezielle Art von Muster, das sich über das Gitter bewegt. Während eine Rhombus-Version der Penrose-Kachelung Gleiter-Muster gezeigt hat, prüfen wir, ob der Robinson-Dreieckstyp ähnliches Verhalten zulässt. Das gleiche gilt für Oszillatoren; wir suchen nach Mustern, die nach einer bestimmten Anzahl von Generationen zu ihrer ursprünglichen Konfiguration zurückkehren.

Während unserer Untersuchung entdeckten wir einen neuen Oszillator mit einer Periode von 14, was bedeutet, dass er alle 14 Generationen in denselben Zustand zurückkehrt. Diese Entdeckung wirft weitere Fragen über das Potenzial für mehr Oszillatoren auf und ob ein Klassifizierungsschema auch auf sie anwendbar sein könnte.

#Fazit

Die Erkundung des Spiels des Lebens auf der Robinson-Dreieck-Penrose-Kachelung offenbart viel über das Zusammenspiel zwischen einfachen Regeln und komplexem Verhalten. Durch die Klassifizierung stabiler Muster, Gleiter und Oszillatoren enthüllen wir das reiche Geflecht von Ergebnissen, die aus mathematischen Mustern entstehen. Diese Mischung von Konzepten bereichert nicht nur unser Verständnis von zellulären Automaten, sondern öffnet auch Türen für weitere Forschungen in diesem Bereich der Mathematik.