Zuverlässige Vorhersagen für Summen und Durchschnitte

Entscheidungen zu treffen bedeutet oft, mit Unsicherheiten umzugehen, besonders wenn zufällige Variablen im Spiel sind. Zu verstehen, wie diese zufälligen Variablen zusammenwirken, kann ganz schön knifflig sein. Eine Methode, die hier hilft, nennt sich konforme Vorhersage. Diese Methode gibt uns Vorhersagesätze, die eine eingebaute Zuverlässigkeit haben, was bedeutet, dass wir ihnen vertrauen können, dass sie die wahren Ergebnisse in einem bestimmten Prozentsatz der Fälle abdecken. Allerdings wurde die konforme Vorhersage bisher hauptsächlich für Einzelvorhersagen verwendet.

Dieser Artikel stellt neue Methoden in der konformen Vorhersage vor, die bei der Schätzung von Summen oder Durchschnitten unbekannter Werte helfen können. Wir zeigen auf, wie man zuverlässige Vorhersagen für Gruppen von verwandten Ergebnissen erstellen kann, statt nur für einzelne. Unser Ansatz baut auf der etablierten Theorie der konformen Vorhersage auf, erweitert sie aber, um den Fall abzudecken, wenn wir die Summe verschiedener Ergebnisse herausfinden wollen.

#Das Problem mit traditionellen Ansätzen

Die meisten bestehenden Methoden konzentrieren sich darauf, ein Ergebnis nach dem anderen vorherzusagen. In vielen realen Situationen sind wir jedoch oft daran interessiert, die Gesamtsumme oder den Durchschnitt mehrerer verwandter Vorhersagen zu kennen. Wenn wir beispielsweise eine Route durch ein Strassennetz planen, ist es nützlich, die Kosten jeder Strasse zu kennen, aber was wir wirklich wollen, ist die Gesamtkosten für die gesamte Route zu ermitteln.

Traditionelle Methoden sind nicht darauf ausgelegt, diese Summen direkt vorherzusagen, und sie auf Einzelevorhersagen anzuwenden, könnte nicht zu genauen Ergebnissen führen. Es gibt zwei Hauptgründe für diese Einschränkung. Erstens könnten die einzelnen Vorhersagen nicht leicht kombinierbar sein, um eine zuverlässige Gesamtvorhersage zu liefern. Zweitens garantiert die Zuverlässigkeit jeder Vorhersage nicht, dass die kombinierte Vorhersage ebenfalls zuverlässig ist.

Um diese Lücke zu schliessen, stellen wir eine neue Methode vor, mit der wir Vorhersagesätze für den Durchschnitt oder die Summe mehrerer verwandter Ergebnisse erstellen können. Diese Methode, die als Konforme Intervallarithmetik (CIA) bezeichnet wird, zielt darauf ab, Vorhersagen über Gruppen von Werten zuverlässiger zu machen.

#Wie die neue Methode funktioniert

Die Idee hinter der Konformen Intervallarithmetik ist einfach. Wir beginnen damit, Gruppen verwandter Ergebnisse zu betrachten und wie sie kombiniert werden können, um zuverlässige Vorhersagen zu erstellen.

1. Gruppen-Austauschbarkeit: Wir gehen davon aus, dass die Gruppen von Ergebnissen, an denen wir interessiert sind, sich so variieren können, dass jede Gruppe anderen ähnlich ist. Dadurch können wir sie im Vorhersageprozess fair behandeln.

2. Benutzung von Scores: Wir finden einen Score für jede Gruppe, basierend darauf, wie sehr die Vorhersagen von den tatsächlich beobachteten Werten abweichen. Dieser Score hilft uns zu verstehen, wie weit unsere Vorhersagen danebenliegen.

3. Erstellen von Vorhersagesätzen: Indem wir die besten Scores dieser Gruppen heranziehen, können wir Vorhersagesätze für die Gesamtsummen oder Durchschnitte erstellen.

4. Symmetrische Kalibrierung: Um sicherzustellen, dass unsere Vorhersagen zuverlässig sind, führen wir auch eine Technik namens symmetrische Kalibrierung ein. Das bedeutet, dass wir unsere Kalibrierungs- und Testproben fair behandeln und sicherstellen, dass sie austauschbar sind.

5. Umgang mit mehreren Fällen: Wir berücksichtigen auch Fälle, in denen sich die Gruppen von Vorhersagen überschneiden – was bedeutet, dass dieselben Ergebnisse in mehreren Vorhersagen erscheinen könnten. Hier stellen wir sicher, dass unsere Methode trotzdem zuverlässige Vorhersagen bietet, selbst wenn es Überschneidungen gibt.

6. Effizienzsteigerungen: Wir suchen auch nach Möglichkeiten, die Effizienz unserer Vorhersagen zu verbessern. Das könnte bedeuten, die Vorhersagen in Ebenen aufzuteilen oder andere Vorhersagetechniken zu nutzen, die unsere ergänzen.

#Anwendungen der Methode

Unser Ansatz hat mehrere praktische Anwendungen, die von zuverlässigeren Vorhersagen profitieren können.

#Gruppen-Durchschnittsvorhersage

Eine bedeutende Anwendung ist die Vorhersage von Durchschnittswerten für verschiedene Kategorien. Wenn wir zum Beispiel wissen wollen, wie viele Fahrräder an verschiedenen Tagen basierend auf verschiedenen Faktoren wie Wetter oder Saison gemietet werden, kann unsere Methode zuverlässige Schätzungen für jede Kategorie liefern.

#Wegkosten-Vorhersage

Unsere Methode ist auch nützlich zur Kostenschätzung in Routing-Problemen. Wenn wir beispielsweise ein Strassennetz navigieren, ist es wichtig zu wissen, wie viel die Nutzung verschiedener Strassen kostet. Anstatt nur die Kosten jeder Strasse einzeln vorherzusagen, können wir diese Vorhersagen kombinieren, um die Gesamtkosten einer Reise zwischen zwei Punkten abzuschätzen.

#Vergleich mit bestehenden Methoden

In unseren Studien haben wir unsere Methode mit traditionellen Ansätzen verglichen. Hier sind einige wichtige Punkte aus unseren Ergebnissen:

1. Zuverlässigkeit der Abdeckung: Unsere Methode stellt sicher, dass die Vorhersagesätze, die wir erstellen, eine sehr hohe Wahrscheinlichkeit haben, die tatsächlichen Durchschnitte oder Summen abzudecken. Das ist viel besser im Vergleich zu anderen Methoden, die oft bei der Zuverlässigkeit hinterherhinken.

2. Effizienz der Ergebnisse: Während wir zuverlässige Vorhersagen liefern, ist unsere Methode auch effizient. Die Grösse der Vorhersagesätze ist kleiner als bei traditionellen Methoden, was sie einfacher zu handhaben macht.

3. Leistung in überlappenden Szenarien: Wir haben unsere Methode in Szenarien getestet, in denen sich Gruppen von Vorhersagen überschneiden. Selbst in diesen Fällen zeigte unsere Methode eine starke Leistung und bleibt zuverlässig, während sie überlappende Daten verarbeitet.

#Experimente mit realen Datensätzen

Wir haben unsere Methoden auf verschiedene reale Datensätze angewendet, um ihre Leistung zu überprüfen. Hier sind ein paar Beispiele:

#Fahrradverleih-Datensatz

Wir haben Daten zu Fahrradverleih untersucht, um zu sehen, wie verschiedene Faktoren die Mietpreise beeinflussen. Mit unserer Methode konnten wir die durchschnittlichen Mietzahlen für verschiedene Kombinationen von Faktoren wie Saison und Wetter schätzen, was zeigt, wie unser Ansatz nützliche Einblicke liefern kann.

#Kriminalitätsdaten der Gemeinde

Mit demografischen Daten aus der Gemeinde haben wir die Kriminalitätsraten in verschiedenen Gebieten vorhergesagt. Unsere Methode trug dazu bei, zuverlässige Durchschnittswerte zu liefern, wodurch die lokalen Behörden die Kriminalitätstrends besser verstehen konnten.

#Gesundheitsausgaben-Daten

Wir haben Daten zu Gesundheitsausgaben genutzt, um die durchschnittlichen Ausgaben für medizinische Dienstleistungen vorherzusagen. Unsere Vorhersagen halfen dabei, die Ausgabenmuster unter verschiedenen demografischen Gruppen zu analysieren und beweisen die Vielseitigkeit unseres Ansatzes.

#Verkehrsdaten

Für die Vorhersage des Verkehrsflusses haben wir unsere Methode angewendet, um Strassennetze in zwei Städten zu analysieren. Unsere Methode sagte erfolgreich die Gesamtkosten für das Reisen entlang verschiedener Strecken vorher und berücksichtigte überlappende Kanten im Netzwerk, was in realen Verkehrssituationen häufig vorkommt.

#Fazit

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass unser neuer Ansatz mit der Konformen Intervallarithmetik das Potenzial von konformen Vorhersagemethoden erweitert. Indem wir Vorhersagen für Summen und Durchschnitte ermöglichen, bietet unsere Methode effektivere Werkzeuge für die Entscheidungsfindung in unsicheren Situationen.

Die Experimente zeigen, dass unsere Methode traditionelle Ansätze sowohl in Bezug auf Zuverlässigkeit als auch Effizienz übertrifft. Zukünftige Arbeiten könnten weitere Verfeinerungen dieses Ansatzes umfassen, neuartige Score-Funktionen erforschen und ihn auf noch breitere Szenarien anwenden, um die Vorhersageeffektivität zu verbessern.

Diese Arbeit stärkt nicht nur das Gebiet der Unsicherheitsquantifizierung, sondern eröffnet auch neue Möglichkeiten für die Anwendung statistischer Methoden in verschiedenen Bereichen, in denen Gruppen Ergebnisse von Interesse sind.