ペンローズタイル上のライフゲーム

ライフゲームはジョン・コンウェイが作ったシンプルだけど魅力的な数学ゲームだよ。正方形のグリッドの上で行われて、各正方形は生きているか死んでいるかのどっちか。ゲームは一連の簡単なルールに基づいて進化していくんだ。このゲームが面白いのは、これらのシンプルなルールから生まれる複雑さなんだよね。

#ゲームの基本

ライフゲームでは、各正方形は周りの8つの隣接する正方形（触れている正方形、対角線も含む）と相互作用する。正方形が状態を変えるルール（生きているから死ぬ、またはその逆）は以下の通りだ：

1. 生きている正方形は、2つか3つの生きている隣接正方形があれば生き続ける。
2. 生きている正方形は、隣接する生きている正方形が2つ未満または3つ以上の場合、死ぬ。
3. 死んでいる正方形は、ちょうど3つの生きている隣接正方形があれば生き返る。

このルールによって、成長したり、消えたり、安定したりするいろんなパターンが生まれる。あるパターンはグリッドを横切って動くこともあれば、他のパターンは状態を揺れ動かすこともあるんだ。

#ペンローズタイルの探索

ペンローズタイルは、繰り返すことのできない特別なパターンで、通常のグリッドには収まらないんだ。数学者ロジャー・ペンローズにちなんで名付けられた。いろんな種類のペンローズタイルがあるけど、ここではロビンソン三角形型に注目するね。

このタイルでは、形が互いに合わさって、平面全体に繰り返さないパターンができる。これが、ライフゲームがこのタイプのタイルでどのように振る舞うかにとって重要な正方形の周辺を生み出すんだ。

#ライフゲームとペンローズタイルの関係

ロビンソン三角形ペンローズタイルでライフゲームをプレイすると、2つの面白い数学の概念が合わさるんだ。これが、伝統的な正方形の格子とは異なるユニークな相互作用や挙動を生む。

ロビンソン三角形では、タイルが組み合わさることで、標準のグリッドとは異なる周辺ができる。これらの周辺が、ライフゲームのルールのもとで正方形がお互いにどう影響し合うかを決めるんだ。タイルの配置ごとに、ゲームでのさまざまな結果が生まれるんだね。

#スティルライフの理解

ライフゲームのスティルライフは、時間が経っても変わらないパターンのことだ。生きている正方形が死んだり生き返ったりせずに安定している。スティルライフには、四角いブロックやバスタブ型など、よく知られた例がある。ロビンソン三角形ペンローズタイルでは、4つの生きている正方形からなるすべてのスティルライフを分類しようとしたんだ。

#分類のプロセス

この4つのセルからなるスティルライフを分類するために、まずロビンソン三角形タイルから生まれる周辺を分析する。スティルライフの各生きた正方形は、隣接する正方形に基づいて特定の条件を満たす必要がある。例えば、ある正方形に生きている隣接正方形が多すぎたり少なすぎたりすると、次の世代で変化が起こるかもしれないんだ。

4つの生きている正方形の可能な配置を考慮して、それがゲームのルールを乗り越えられるかどうかをチェックする。正方形の位置の異なるグループに焦点を当てることで、次の世代で変わる可能性のある構成を系統的に排除できるんだ。

#内部と外部の頂点グループ

分析の中で、生きている正方形を内部と外部の頂点グループに分類する。内部の頂点グループは、同じ中心点を共有するタイルが含まれ、外部の頂点グループは、周辺の端で出会うタイルが含まれる。

#不安定な構成の除去

分類法を使って、次の世代で出生（死んでいる正方形が生き返ること）や死亡（生きている正方形が死ぬこと）に繋がるアレンジを排除する。これにより、スティルライフとして認定される配置に絞り込むことができるんだ。いろんな構成を見て、不安定なパターンを排除した結果、特定のタイルにおける4セルのスティルライフの完全なリストにたどり着いたんだ。

#グライダーとオシレーターの探索

スティルライフを特定した後、自然に出てくる二つの質問がある：このペンローズ版ライフゲームにグライダーは存在するのか？オシレーター、つまり世代を超えて繰り返すパターンを分類できる？

グライダーは、グリッドを横切って動く特定のタイプのパターンなんだ。ロムバス型のペンローズタイルでグライダーパターンが示されたけど、ロビンソン三角形型でも同じ振る舞いができるかチェックする。オシレーターに関しても同じ考えが適用されて、世代を経て元の構成に戻るパターンを探すんだ。

調査中に、周期が14の新しいオシレーターを発見したんだ。これは14世代ごとに同じ状態に戻るってこと。これによって、他のオシレーターの可能性や、分類方法が適用できるかどうかを考えるさらなる疑問が生まれるんだ。

#結論

ロビンソン三角形ペンローズタイル上のライフゲームの探求は、シンプルなルールと複雑な振る舞いの間の相互作用について多くを明らかにしている。スティルライフ、グライダー、オシレーターを分類することで、数学的パターンから生まれる豊かな結果のタペストリーが明らかになる。これらの概念の組み合わせは、セルオートマトンへの理解を深めるだけでなく、この数学の分野でのさらなる研究の扉を開けるんだ。