Testing robusto nei modelli a variabili strumentali

Il modello lineare a variabili strumentali (IV) è importante nella ricerca, soprattutto quando si cerca di capire le relazioni di causa ed effetto da dati che non sono generati attraverso esperimenti controllati. Questo metodo viene spesso utilizzato in vari campi, come l'economia e le scienze della salute, per esaminare gli impatti di fattori come l'istruzione sui guadagni lavorativi o i trattamenti medici sugli esiti dei pazienti. La principale sfida con questo modello è il problema dell'endogeneità, che si verifica quando la variabile principale di interesse è collegata al termine di errore nel modello, portando a risultati distorti. Per affrontare questo, i ricercatori utilizzano variabili strumentali che dovrebbero essere collegate alla variabile principale ma non influenzate dal termine di errore.

Tuttavia, può essere complicato trovare strumenti adatti che soddisfino questi criteri. Spesso, gli strumenti scelti dai ricercatori non mostrano una connessione abbastanza forte, una situazione nota come Strumenti deboli. Quando gli strumenti sono deboli, i metodi tradizionali di stima possono portare a conclusioni errate. Per questo motivo, i test che valutano la forza di questi strumenti sono essenziali.

Nella pratica, i ricercatori seguono spesso una procedura in due fasi. Prima controllano la forza degli strumenti. Se gli strumenti sono considerati forti, applicano l'estimatore dei minimi quadrati in due fasi (2SLS) per ulteriori analisi. Se gli strumenti sono deboli, si raccomandano test alternativi robusti.

Un altro problema sorge quando i dati contengono Outlier o osservazioni insolite. Anche solo un outlier può influenzare significativamente i risultati, portando i ricercatori a conclusioni potenzialmente fuorvianti. Anche se pulire i dati per rimuovere gli outlier è un'opzione, può creare problemi aggiuntivi, specialmente se il processo di rimozione non viene adeguatamente considerato nell'analisi. Questo perché l'analisi post-pulizia può portare a sottovalutare la variabilità, producendo risultati inaffidabili.

Invece, è preferibile utilizzare metodi statistici robusti che possano resistere all'influenza degli outlier senza dover pulire i dati prima. Vari studi hanno indicato che gli estimatori IV standard e i test, come l'estimatore 2SLS e i test tradizionali che lo accompagnano, non sono forti quando affrontano outlier. Anche così, un approccio completo che affronti gli outlier nel contesto di strumenti deboli non è stato ancora stabilito.

In questo articolo, proponiamo un nuovo framework che consente procedure di testing resistenti agli effetti degli outlier e degli strumenti deboli all'interno del modello a variabili strumentali. Ci concentriamo su sviluppare versioni robuste dei test standard che sono comunemente usati in questo contesto.

#Il Modello delle Variabili Strumentali

Nella nostra indagine, assumiamo che i dati siano basati su un modello di regressione lineare a variabili strumentali. Questo modello è costituito da due equazioni chiave: l'equazione strutturale e l'equazione di prima fase. L'obiettivo è derivare l'influenza di una certa variabile esplicativa su un risultato di interesse mentre si controlla per altre variabili attraverso l'uso di strumenti.

Siamo fondamentalmente interessati a testare la relazione tra l'outcome e la variabile esplicativa usando questi strumenti. Questo richiede che gli strumenti siano correlati all'outcome ma non abbiano una connessione diretta con il termine di errore nel modello.

Quando si affronta la relazione tra i parametri del modello, i ricercatori utilizzano il modello di forma ridotta, che viene creato sostituendo l'equazione strutturale nell'equazione di prima fase. Questo processo consente ai ricercatori di concentrarsi sulla connessione tra gli strumenti e l'outcome tenendo conto di eventuali variabili aggiuntive incluse nell'analisi.

Per un testing efficace, dobbiamo assicurarci che gli stimatori utilizzati nel modello di forma ridotta possano fornire risultati affidabili, soprattutto quando gli strumenti sono deboli. Un passo chiave in questo tipo di analisi è l'uso di Test robusti che possano gestire la potenziale presenza di outlier nei dati. Attraverso il nostro framework, mostreremo come costruire versioni robuste dei test standard che mantengono la loro efficacia anche quando si confrontano con strumenti deboli e outlier.

#Inferenza Robusta

Nel nostro framework, utilizziamo un metodo generale per stabilire procedure di testing robuste agli strumenti deboli. Questo inizia con l'uso di M-estimators, che aiutano a costruire statistiche di test che mantengono la loro affidabilità in varie condizioni. I test classici, come il test di Anderson-Rubin (AR), il test K e il test di rapporto di verosimiglianza condizionale (CLR), possono essere derivati da questi M-estimators.

Per determinare se una statistica è resistente all'influenza degli outlier, analizziamo la sua funzione di influenza. La funzione di influenza misura quanto un piccolo cambiamento nei dati può influenzare la stima. Se la funzione di influenza di una statistica non è limitata, significa che anche una lieve contaminazione può portare a un bias significativo nei risultati.

Quando osserviamo le funzioni di influenza degli estimatori tradizionali utilizzati in questi test, scopriamo che non sono limitate, il che significa che gli outlier possono distorcere i risultati. Per affrontare questo, introduciamo alternative robuste che forniscono inferenze più stabili.

#Il Test di Rapporto di Verosimiglianza Condizionale Robusto

Per sviluppare un test CLR robusto, partiamo da M-estimators che mantengono funzioni di influenza limitate. Questo assicura che il test possa ridurre l'impatto degli outlier mentre rimane sufficientemente sensibile per rilevare segnali significativi nei dati.

Mostriamo esplicitamente come derivare la versione robusta del test CLR basata su questi M-estimators. Concentrandoci su questa statistica CLR robusta e confrontandola con la sua controparte classica, possiamo valutare le sue prestazioni in vari scenari, comprese situazioni con contaminazione nei dati.

#Studio di Simulazione

Per valutare l'efficacia del nostro test CLR robusto, conduciamo diversi scenari di simulazione. Confrontiamo il test CLR robusto con il test CLR classico in diversi ambienti: uno senza contaminazione, due scenari contenenti singoli outlier e una situazione con contaminazione distribuzionale negli errori.

1. Scenario Baseline: Questo scenario funge da nostro controllo in cui i dati seguono norme previste senza alcun outlier. Sia i test robusti che quelli classici funzionano come previsto senza differenze significative.

2. Singolo Outlier nella Variabile: In questo scenario, introduciamo un grande outlier in una delle variabili. Il test CLR robusto mostra resilienza, mantenendo la sua potenza, mentre il test CLR classico inizia a perdere efficacia a causa dell'influenza dell'outlier che porta a stime di varianza gonfiate.

3. Outlier Multipli: Qui, introduciamo diversi outlier in più variabili. Il test CLR robusto continua a funzionare bene, mostrando solo una leggera perdita di potenza, mentre il test classico vacilla, faticando a mantenere livelli di significatività accurati.

4. Termini di Errore Contaminati: In questo scenario finale, modifichiamo i termini di errore in modo da introdurre valori estremi. Il test CLR robusto supera il test classico, dimostrando che può efficacemente ridurre l'influenza di valori estremi e fornire stime di varianza più affidabili.

I risultati di queste simulazioni confermano che il nostro test CLR robusto funziona bene in varie condizioni, rivelandosi uno strumento prezioso nell'inferenza robusta per i modelli a variabili strumentali.

#Esempi Empirici

Per mostrare l'applicazione pratica del nostro test CLR robusto, rivediamo tre studi del mondo reale che hanno precedentemente affrontato questioni relative a outlier e strumenti deboli.

1. Studio sulla Segregazione e Qualità del Governo: Questa ricerca ha trovato un legame tra segregazione etnica e una diminuzione della qualità del governo. Ha utilizzato uno strumento per misurare la segregazione tenendo conto delle osservazioni influenti. Applicando il test CLR robusto, possiamo valutare meglio l'affidabilità delle scoperte e assicurarci che gli outlier non distorcano indebitamente i risultati.

2. Segregazione Razziale e Povertà: Questo studio mirava a capire l'impatto della segregazione razziale sulla povertà. Un outlier all'interno dei dati si è dimostrato gonfiare la percezione della forza dello strumento. Il nostro test CLR robusto aiuta a valutare gli effetti tenendo conto dell'outlier, migliorando così la robustezza delle conclusioni tratte.

3. Istruzione e Guadagni: Infine, analizziamo come l'istruzione influisce sui guadagni nel mercato del lavoro usando il trimestre di nascita come Variabile strumentale. Il test CLR robusto viene impiegato per valutare l'affidabilità dei risultati dati i potenziali problemi con strumenti deboli e outlier. Il test offre un insieme di fiducia più stretto, indicando prestazioni robuste nonostante le difficoltà.

#Conclusione

In questo articolo, abbiamo articolato un framework per costruire procedure di testing che non solo sono robuste contro strumenti deboli, ma anche resistenti agli outlier nel contesto dei modelli a variabili strumentali. I test classici come AR, K e CLR si sono dimostrati avere vulnerabilità sostanziali sotto contaminazione, spingendo così allo sviluppo di un test CLR robusto basato su M-estimators.

Attraverso una serie di simulazioni, abbiamo dimostrato l'efficacia del nostro test CLR robusto e fornito spunti su come può essere utilizzato efficacemente nella ricerca empirica del mondo reale per ottenere risultati più affidabili e validi.