Avancées dans le prix des options VIX avec le modèle Heston-Hawkes

Le trading de volatilité a pris de l'importance en finance, surtout dans des domaines comme la gestion des risques, la stratégie d'investissement et l'analyse de marché. L'indice VIX, créé par le Chicago Board Options Exchange en 1993, représente les attentes du marché en matière de volatilité sur les 30 jours suivants. Le VIX est dérivé des options sur l'indice S&P 100. En 2003, un nouvel indice, représentant les options sur le S&P 500, a été introduit, permettant aux traders d'évaluer plus efficacement la volatilité attendue du marché. Depuis, divers indices de volatilité ont émergé, répondant à des besoins spécifiques dans le trading de volatilité.

La popularité croissante des dérivés de volatilité a conduit à une augmentation des recherches visant à développer des modèles de volatilité stochastique efficaces pour le pricing de ces dérivés. Ces modèles incluent souvent des Sauts pour mieux capturer le comportement du marché. Différentes approches ont été adoptées, comme l'utilisation de modèles de diffusion à tendance régressive ou l'incorporation de sauts de Poisson pour capturer des changements soudains de volatilité. Cependant, les modèles traditionnels manquent souvent de capacité à prendre en compte le regroupement de la volatilité, où des périodes de forte volatilité sont suivies par plus de forte volatilité.

#Modèle de Volatilité Stochastique Heston-Hawkes

Pour répondre à ces limitations, on présente une formule de pricing semi-analytiques pour les options call VIX en utilisant un modèle Heston modifié qui intègre un processus Hawkes. Le modèle Heston-Hawkes combine de manière unique les caractéristiques du modèle Heston classique avec la nature auto-excitante du processus Hawkes, ce qui lui permet de mieux refléter le phénomène de regroupement de la volatilité dans les marchés financiers. Ce modèle suppose que la volatilité peut sauter soudainement, mais ces occurrences sont liées : l’occurrence d’un saut augmente la probabilité de futurs sauts.

Dans le modèle Heston-Hawkes, on utilise un Processus stochastique pour la volatilité qui inclut à la fois un processus de retour à la moyenne régulier et un processus Hawkes, influencé par des occurrences de sauts passés. Le modèle utilise des structures mathématiques spécifiques qui nous permettent de dériver des relations utiles entre la volatilité, l'intensité des sauts et les caractéristiques de l'actif sous-jacent.

#Pricing des Options VIX

L'objectif central est d'arriver à une formule pour le pricing des options call VIX européennes. Le prix de ces options dépend de la volatilité future attendue de l'actif sous-jacent, qui est capturée dans l'indice VIX. Cela implique d'appliquer des techniques d'analyse de Fourier pour dériver une expression qui relie le processus de volatilité aux prix des options.

Pour obtenir un pricing précis, il est essentiel de s'assurer que le modèle est sans arbitrage. Cela signifie qu'il ne devrait pas y avoir d'opportunités pour les traders de réaliser des profits garantis sans risque. On établit que le modèle Heston-Hawkes est effectivement sans arbitrage et on identifie des mesures appropriées pour la probabilité neutre au risque qui est nécessaire pour le pricing.

#Étapes Clés Dans la Dérivation de la Formule de Pricing

1. Caractérisation du Modèle : Définir le processus de volatilité stochastique à travers une combinaison de retour à la moyenne et de sauts auto-excitants. On décrit comment ces processus interagissent et définit les conditions qui doivent être satisfaites pour un pricing significatif.

2. Établissement des Mesures Neutres au Risque : Prouver la nature sans arbitrage du modèle implique de trouver une mesure neutre au risque appropriée. C'est une étape importante car cela garantit qu'on peut fiablement price les options. On définit les mesures nécessaires et on confirme leur existence.

3. Fonction Caractéristique Conjointe : Calculer la fonction caractéristique conjointe pour le processus de variance et l’intensité du processus Hawkes. Cette fonction est essentielle pour passer du modèle théorique au pricing pratique.

4. Obtention de l'Expression de l'Indice VIX : Dériver une expression explicite pour l'indice VIX sous le nouveau modèle. Cette expression montre comment l'indice VIX est lié à la variance et l'intensité des sauts.

5. Formule Finale de Pricing : Combiner tous les résultats précédents pour formuler l'expression finale de pricing des options call VIX. Cette formule fournira aux traders une méthode pour dériver les prix en fonction des conditions de marché actuelles et des attentes.

#Discussion des Résultats

La formule dérivée permet des applications pratiques dans le trading et la gestion des risques. Les traders peuvent estimer la juste valeur des options VIX en utilisant les données de marché actuelles. En comprenant le comportement de la volatilité dans le contexte du modèle Heston-Hawkes, ils peuvent prendre des décisions plus éclairées sur les stratégies de couverture et spéculatives.

#Conclusion

En résumé, le développement d'une formule de pricing semi-analytique pour les options VIX sous le modèle de volatilité stochastique Heston-Hawkes représente un avancement significatif en finance. En abordant les complexités du regroupement de la volatilité et de la dynamique des sauts, ce modèle équipe les traders de meilleurs outils pour gérer les risques associés à la volatilité du marché. De futures recherches pourraient affiner encore ces modèles, en incorporant d'autres caractéristiques du marché ou en explorant les implications de différentes stratégies de trading.