Fortschritte bei der Preisgestaltung von VIX-Optionen mit dem Heston-Hawkes-Modell

Der Handel mit Volatilität hat in der Finanzwelt an Bedeutung gewonnen, besonders in Bereichen wie Risikomanagement, Investitionsstrategien und Marktanalysen. Der VIX-Index, der 1993 von der Chicago Board Options Exchange eingeführt wurde, spiegelt die Erwartungen des Marktes bezüglich der Volatilität in den nächsten 30 Tagen wider. Der VIX ergibt sich aus Optionen auf den S&P 100 Index. 2003 wurde ein neuer Index eingeführt, der Optionen auf den S&P 500 abbildet, wodurch Händler die erwartete Marktvolatilität besser einschätzen können. Seitdem sind verschiedene Volatilitätsindizes entstanden, die spezifische Bedürfnisse im Volatilitätshandel bedienen.

Der Anstieg der Beliebtheit von Volatilitätsderivaten hat zu mehr Forschung geführt, die darauf abzielt, effektive stochastische Volatilitätsmodelle zur Preisgestaltung dieser Derivate zu entwickeln. Diese Modelle beinhalten oft Sprünge, um das Marktverhalten besser zu erfassen. Unterschiedliche Ansätze wurden verfolgt, wie zum Beispiel die Verwendung von mittelwert-revertierenden Diffusionsmodellen oder die Einbeziehung von Poisson-Sprüngen, um plötzliche Volatilitätsänderungen zu erfassen. Traditionelle Modelle haben jedoch oft Schwierigkeiten, das Clustering von Volatilität zu berücksichtigen, bei dem Phasen hoher Volatilität von weiteren Phasen hoher Volatilität gefolgt werden.

#Heston-Hawkes Stochastisches Volatilitätsmodell

Um diese Einschränkungen zu beheben, präsentieren wir eine semi-analytische Preisformel für VIX-Call-Optionen unter Verwendung eines modifizierten Heston-Modells, das einen Hawkes-Prozess integriert. Das Heston-Hawkes-Modell kombiniert auf einzigartige Weise die Merkmale des klassischen Heston-Modells mit der selbstanregenden Natur des Hawkes-Prozesses und spiegelt damit das Phänomen des Volatilitätsclustering in Finanzmärkten besser wider. Dieses Modell geht davon aus, dass die Volatilität plötzlich springen kann, wobei diese Vorkommen miteinander verknüpft sind: Das Auftreten eines Sprungs erhöht die Wahrscheinlichkeit zukünftiger Sprünge.

Im Heston-Hawkes-Modell nutzen wir einen stochastischen Prozess für die Volatilität, der sowohl einen regulären mittelwert-revertierenden Prozess als auch einen Hawkes-Prozess umfasst, der von vergangenen Sprungereignissen beeinflusst wird. Das Modell verwendet spezifische mathematische Strukturen, die es uns ermöglichen, nützliche Beziehungen zwischen der Volatilität, der Intensität der Sprünge und den Eigenschaften des Basiswerts abzuleiten.

#Preisgestaltung von VIX-Optionen

Das zentrale Ziel ist es, eine Formel zur Preisgestaltung europäischer VIX-Call-Optionen zu entwickeln. Der Preis dieser Optionen hängt von der erwarteten zukünftigen Volatilität des Basiswerts ab, die im VIX-Index erfasst wird. Dies beinhaltet die Anwendung von Techniken der Fourier-Analyse, um einen Ausdruck abzuleiten, der den Volatilitätsprozess mit den Preisen der Optionen verbindet.

Um eine genaue Preisgestaltung zu erreichen, ist es entscheidend, sicherzustellen, dass das Modell arbitragefrei ist. Das bedeutet, dass es keine Möglichkeiten für Händler geben sollte, garantierte Gewinne ohne Risiko zu erzielen. Wir zeigen, dass das Heston-Hawkes-Modell tatsächlich arbitragefrei ist und identifizieren geeignete Masse für die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit, die für die Preisgestaltung notwendig ist.

#Wichtige Schritte zur Ableitung der Preisformel

1. Modell charakterisieren: Den stochastischen Volatilitätsprozess durch eine Kombination aus Mittelwert-Reversion und selbstanregenden Sprüngen definieren. Wir skizzieren, wie diese Prozesse interagieren und definieren die Bedingungen, die erfüllt sein müssen, um eine sinnvolle Preisgestaltung zu ermöglichen.

2. Risikoneutrale Masse etablieren: Die Arbitragefreiheit des Modells nachweisen, indem ein geeignetes risikoneutrales Mass gefunden wird. Dies ist ein wesentlicher Schritt, da es garantiert, dass wir die Optionen zuverlässig bepreisen können. Wir definieren die notwendigen Masse und bestätigen deren Existenz.

3. Gemeinsame charakteristische Funktion: Die gemeinsame charakteristische Funktion für den Varianzprozess und die Intensität des Hawkes-Prozesses berechnen. Diese Funktion ist wichtig, um vom theoretischen Modell zur praktischen Preisgestaltung überzugehen.

4. VIX-Index-Ausdruck erhalten: Einen expliziten Ausdruck für den VIX-Index unter dem neuen Modell ableiten. Dieser Ausdruck zeigt, wie der VIX-Index mit der Varianz und der Intensität der Sprünge zusammenhängt.

5. Finale Preisformel: Alle vorherigen Ergebnisse kombinieren, um den finalen Preis-Ausdruck für die VIX-Call-Optionen zu formulieren. Diese Formel gibt Händlern eine Methode an die Hand, um Preise basierend auf den aktuellen Marktbedingungen und Erwartungen abzuleiten.

#Diskussion der Ergebnisse

Die abgeleitete Formel ermöglicht praktische Anwendungen im Handel und Risikomanagement. Händler können den fairen Wert von VIX-Optionen schätzen, indem sie aktuelle Marktdaten nutzen. Durch das Verständnis des Verhaltens von Volatilität im Kontext des Heston-Hawkes-Modells können sie informiertere Entscheidungen über Hedging- und Spekulationsstrategien treffen.

#Fazit

Zusammenfassend stellt die Entwicklung einer semi-analytischen Preisformel für VIX-Optionen unter dem Heston-Hawkes stochastischen Volatilitätsmodell einen bedeutenden Fortschritt in der Finanzwelt dar. Indem die Komplexitäten des Volatilitätsclustering und der Sprungdynamik angesprochen werden, stattet dieses Modell Händler mit besseren Werkzeugen aus, um die mit der Marktvolatilität verbundenen Risiken zu managen. Zukünftige Forschungen könnten diese Modelle weiter verfeinern, zusätzliche Marktmerkmale integrieren oder die Auswirkungen verschiedener Handelsstrategien erkunden.