Einführung des Temperierten Raum-Zeit Fractional Negativen Binomialprozesses

In diesem Paper schauen wir uns ein neues mathematisches Modell an, das temperierte Raum-Zeit-fraktionale negative Binomial-Prozess (TSTFNBP) heisst. Dieses Modell entsteht durch die Kombination eines spezifischen Zählprozesses mit einem anderen Prozess, der managt, wie die Zeit ihn beeinflusst. Unser Ziel ist es, die Merkmale dieses neuen Modells zu untersuchen und zu sehen, wie es sich zu anderen mathematischen Gleichungen verhält, die in verschiedenen Bereichen häufig verwendet werden.

#Hintergrund

Mathematische Modelle wie der Poisson-Prozess werden oft verwendet, um Ereignisse zu beschreiben, die zufällig über die Zeit auftreten. In der Finanzen, Versicherung und anderen Bereichen helfen diese Modelle, zu verstehen, wie Ereignisse passieren und Vorhersagen zu treffen. Forscher waren besonders an einer Variante interessiert, die fraktionale Poisson-Prozesse (FPP) genannt wird, die uns ein besseres Verständnis von Situationen gibt, in denen Ereignisse über die Zeit verteilt sind.

Der negative Binomial-Prozess (NB) ist ein weiteres wichtiges Modell. Es ist nützlich, wenn die Daten mehr Variation zeigen als erwartet. Es baut auf dem Konzept des Poisson-Prozesses auf, fügt aber eine Wendung hinzu, um diese zusätzliche Variabilität zu berücksichtigen. Neuere Forschungen haben verschiedene Arten von FPPs und deren Verbindungen zu anderen mathematischen Prozessen untersucht, was die Diskussion und Anwendung dieser Modelle bereichert hat.

#Was ist der TSTFNBP?

Das TSTFNBP-Modell, das wir hier vorstellen, wird durch die Anwendung einer Technik namens Subordination auf ein FPP erstellt. Das bedeutet, dass wir das FPP basierend auf einem anderen Prozess namens temperierter Mittag-Leffler-Subordinator anpassen, der dabei hilft, zeitliche Veränderungen zu managen.

Der TSTFNBP hat besondere Merkmale, die Forscher interessant finden. Zum Beispiel zeigt es etwas, das man Überdispersion nennt, was bedeutet, dass es mehr Variabilität in den Daten gibt, als man typischerweise erwarten würde. Ausserdem untersuchen wir, wie sich dieses Modell über längere Zeiträume verhält und was das in praktischen Anwendungen bedeutet.

#Eigenschaften des TSTFNBP

#Verteilungsmerkmale

Wir schauen uns die Verteilung des TSTFNBP an. Dabei betrachten wir, wie wahrscheinlich verschiedene Ergebnisse im Kontext des Modells sind. Der Prozess hat seine eigene Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, die uns hilft, diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Ausserdem zeigen wir auf, wie sich dieser neue Prozess zu bestehenden Modellen verhält. Insbesondere zeigen wir, dass der TSTFNBP ähnlich wird wie frühere Modelle wie der fraktionale negative Binomialprozess (FNBP), wenn bestimmte Parameter spezifische Werte annehmen.

#Erstes Durchgangszeit

In unserer Studie widmen wir uns einem Konzept namens erster Durchgangszeit, das den ersten Moment beschreibt, in dem ein Ereignis ein bestimmtes Niveau erreicht. Dies ist ein wichtiger Aspekt, um zu verstehen, wie sich der TSTFNBP über die Zeit verhält. Indem wir das untersuchen, können wir das Timing und die Wahrscheinlichkeit von bedeutenden Ereignissen in verschiedenen Anwendungen besser erfassen.

#Asymptotisches Verhalten

Wir untersuchen auch das Verhalten des TSTFNBP auf lange Sicht. Das bedeutet, dass wir uns anschauen, wie sich die Eigenschaften des Modells im Laufe der Zeit ändern. Insbesondere analysieren wir die Momente, die mathematische Ausdrücke sind, die wichtige Merkmale der Verteilung beschreiben, wie Mittelwert und Varianz.

Wir stellen fest, dass das Modell vorhersehbare Eigenschaften hat, die im Laufe der Zeit auftauchen. Das hilft, genauere Vorhersagen über zukünftige Ereignisse basierend auf vergangenen Verhaltensweisen zu treffen.

#Langfristige Abhängigkeit

Ein interessantes Merkmal des TSTFNBP ist die Eigenschaft der langfristigen Abhängigkeit (LRD). Das bedeutet, dass die Korrelation zwischen Ereignissen immer noch erheblich sein kann, selbst wenn diese Ereignisse zeitlich weit auseinander liegen. Das ist wichtig, um viele reale Prozesse zu verstehen, bei denen vergangene Ereignisse zukünftige beeinflussen.

In unserem Paper erklären wir, wie man bestimmen kann, ob der TSTFNBP diese Eigenschaft zeigt und was das in der Praxis bedeutet. Die Beziehung zwischen Ereignissen ist ein wesentlicher Teil des Aufbaus zuverlässiger Modelle für verschiedene Anwendungen.

#Praktische Anwendungen

Der TSTFNBP hat viele potenzielle Anwendungen in verschiedenen Bereichen. In der Finanzwelt kann er zum Beispiel helfen, das Verhalten von Aktienpreisen oder Markttrends über die Zeit zu modellieren. In der Versicherung kann er verwendet werden, um Risiken zu analysieren und Auszahlungen basierend auf historischen Schadensdaten vorherzusagen.

Ausserdem könnte das Modell wertvoll im Studium von Infektionskrankheiten sein, wo das Verständnis des Musters der Krankheitsverbreitung bei der Planung von Reaktionen im öffentlichen Gesundheitswesen hilft. Es hat auch Auswirkungen auf die Zuverlässigkeitsengineering, wo die Vorhersage von Ausfällen in Systemen entscheidend ist.

#Fazit

In dieser Arbeit stellen wir ein neues mathematisches Modell vor, das unser Verständnis von stochastischen Prozessen erweitert. Der temperierte Raum-Zeit-fraktionale negative Binomial-Prozess bietet einen reichen Rahmen für die Untersuchung zufälliger Ereignisse, die über die Zeit auftreten, insbesondere in Kontexten mit erheblicher Variabilität.

Indem wir seine verteilungsmässigen Eigenschaften erkunden, sein Verhalten auf lange Sicht verstehen und seine Anwendungen identifizieren, tragen wir zu einem wachsenden Forschungsfeld bei, das Fachleuten hilft, komplexe Prozesse in verschiedenen Bereichen besser zu analysieren und vorherzusagen. Dieses Modell erweitert nicht nur das theoretische Wissen, sondern bietet auch vielversprechende praktische Anwendungen zum Verständnis realer Phänomene.

Insgesamt bietet der TSTFNBP spannende Möglichkeiten für zukünftige Forschung und Anwendungen und überbrückt weiter die Kluft zwischen Theorie und realen Szenarien.