Estimando Estados com Filtros de Kalman

Filtros de Kalman são ferramentas usadas para estimar o estado de um sistema ao longo do tempo. Eles funcionam pegando medidas que normalmente são ruidosas e combinando com valores estimados de um modelo pra produzir um resultado mais preciso. Essa técnica é útil em várias áreas, incluindo robótica, finanças e análise de dados.

#Noções Básicas da Teoria da Estimação

A teoria da estimativa foca em prever valores ou parâmetros desconhecidos de um sistema com base em dados observados. Na prática, isso envolve interpretar dados e tomar decisões, que podem ser bem complicadas quando os dados são incertos.

Por exemplo, pense em rastrear o peso de uma pessoa ao longo de um ano. Digamos que o peso médio seja conhecido como 70 kg, mas as medições diárias podem variar por muitos fatores. O objetivo é estimar o peso médio levando em conta essas variações.

Nesse cenário:

• Dados observados se referem às medições diárias de peso.
• O parâmetro a ser estimado é o peso médio.
• O ruído aleatório conta os vários fatores que afetam as medições diárias.

#Filosofia Bayesiana

A estimativa pode ser vista de diferentes formas. Uma perspectiva é a abordagem frequentista, que trata parâmetros desconhecidos como valores fixos. Em contraste, a abordagem bayesiana vê esses parâmetros como variáveis aleatórias que podem ser estimadas usando informações anteriores.

Na estimativa bayesiana, ter conhecimento prévio sobre um parâmetro pode ser benéfico. Por exemplo, saber que o peso médio é em torno de 70 kg pode levar a uma melhor estimativa ao observar pesos diários.

Em um contexto Bayesiano, a relação entre os dados observados e as estimativas é definida por um conjunto de regras que ajudam a atualizar as crenças sobre o parâmetro sendo medido com base em novas evidências.

#Problemas de Estimação

Os problemas de estimativa geralmente giram em torno do objetivo de encontrar o melhor modelo usando os dados disponíveis. Existem vários tipos de situações de estimativa:

1. Filtragem: Isso envolve estimar um valor atual com base em observações passadas e presentes. O objetivo é reduzir o ruído dos dados.

2. Suavização: Isso envolve estimar valores com base em todas as observações, normalmente feito depois que todos os dados foram coletados.

3. Previsão: Nesse caso, o foco é prever valores futuros com base em dados atuais.

4. Interpolação: Isso envolve estimar valores em pontos específicos com base em dados existentes.

#Sistemas Dinâmicos

Um sistema dinâmico muda com o tempo, e essas mudanças podem ser descritas através de variáveis de estado, entradas de controle e observações.

Em um sistema dinâmico, as seguintes relações existem:

• A variável de estado representa a condição atual do sistema.
• As entradas de controle influenciam como o sistema evolui.
• As observações fornecem insights sobre o estado do sistema.

Modelando essas relações, conseguimos prever melhor como um sistema vai se comportar ao longo do tempo.

#O Filtro Bayesiano Recursivo

Usando observações e entradas de controle, o grau de crença no estado atual pode ser definido matematicamente. O filtro bayesiano recursivo usa os princípios da estimativa bayesiana para continuamente atualizar essa crença à medida que novos dados ficam disponíveis.

Aplicando regras da estatística bayesiana e a suposição de Markov (que afirma que o estado futuro de um processo depende apenas do seu estado atual, não dos estados passados), derivamos um filtro recursivo que refina progressivamente as estimativas de estado.

#Derivando o Filtro Bayesiano Recursivo

A formulação do filtro bayesiano recursivo é derivada através de uma série de passos sistemáticos que envolvem a aplicação de regras bayesianas e suposições sobre as transições de estado.

O filtro opera prevendo o estado atual com base em estimativas passadas e, em seguida, refinando essa previsão com novas observações. Isso dá uma maneira dinâmica de acompanhar o estado de um sistema.

#Caso de Crença Gaussiana

Quando o estado a ser estimado segue uma distribuição gaussiana, o Filtro de Kalman entra em cena. Esse filtro assume que tanto o estado previsto quanto as observações são normalmente distribuídos.

O filtro de Kalman calcula um estado previsto com base em informações anteriores e então corrige esse estado com novas medições.

#Noções Básicas do Filtro de Kalman (KF)

O filtro de Kalman usa vários símbolos para denotar valores específicos relacionados ao estado do sistema e suas previsões. escalares, vetores e matrizes representam valores médios e sua incerteza.

Em qualquer momento, o filtro acompanha a posição do robô e mede os dados que recebe dos sensores. Usando essa informação, ele constrói um modelo de movimento e um modelo de observação, que devem ser lineares.

#Passos do Filtro de Kalman

O filtro de Kalman consiste em duas etapas principais:

1. Etapa de Previsão: Isso envolve calcular o estado previsto com base no estado anterior e no modelo de movimento.

2. Etapa de Correção: Isso usa as novas observações para ajustar o estado previsto.

Alternando entre essas duas etapas, o filtro continuamente refina sua estimativa do estado do sistema.

#Filtro de Kalman 1D

O filtro de Kalman também pode ser simplificado em uma versão unidimensional onde a variável de estado é um único valor. Os princípios continuam os mesmos, mas as equações são mais simples, focando apenas em valores escalares.

#Componentes Chave do Filtro de Kalman 1D

• Média da Previsão: O valor esperado da etapa de previsão.
• Variância da Previsão: A incerteza associada ao estado previsto.
• Média da Correção: O valor esperado atualizado após incorporar novas medições.
• Variância da Correção: A incerteza associada ao estado corrigido.

#Características do Filtro de Kalman

O filtro de Kalman incorpora uma abordagem típica de filtragem bayesiana. Ele se baseia em previsões feitas a partir do estado anterior e as atualiza usando observações para melhorar a precisão.

O processo envolve calcular a diferença (inovação) entre o valor observado e o valor previsto. Dependendo da confiança nessas observações, a estimativa final pesa os valores previstos e observados de maneira diferente.

#Filtro de Kalman Estendido (EKF)

A maioria dos sistemas do mundo real são não-lineares, tornando o filtro de Kalman tradicional menos eficaz. O filtro de Kalman estendido entra em cena aqui, usando aproximações de primeira ordem para linearizar funções não-lineares.

Isso permite que o filtro de Kalman estendido aplique os mesmos princípios do filtro de Kalman, adaptando-se a modelos não-lineares para uma estimativa de estado mais precisa.

#Filtro de Kalman de Estado de Erro (ESKF)

O filtro de Kalman de estado de erro estima o erro na variável de estado em vez do estado em si diretamente. Focando no estado de erro linearizado, o ESKF fornece estimativas mais rápidas e precisas em comparação com o EKF tradicional.

O ESKF se baseia na distinção entre o verdadeiro estado do sistema e o estado nominal sem erros. Enquanto o EKF lineariza o estado real, o ESKF lineariza apenas o erro, melhorando a eficiência computacional.

#Filtro de Kalman Estendido Iterado (IEKF)

Em casos onde a linearização do EKF introduz erros, o filtro de Kalman estendido iterado refina a etapa de correção através de ajustes repetidos. Esse processo reduz erros de linearização e fornece uma estimativa mais precisa do estado.

#Filtro de Kalman de Estado de Erro Iterado (IESKF)

Semelhante ao IEKF, o filtro de Kalman de estado de erro iterado foca em refinar estimativas do estado de erro. Ele atualiza iterativamente o erro até convergir, resultando em melhor desempenho em comparação com seus equivalentes não iterativos.

#Conclusão

Filtros de Kalman, junto com suas variações como EKF, ESKF, IEKF e IESKF, são ferramentas poderosas para estimar o estado de sistemas dinâmicos ao longo do tempo. Combinando previsões com observações ruidosas, eles fornecem um método para estimativas de estado precisas que são amplamente aplicáveis em várias áreas. A evolução desses métodos de filtragem permitiu seu uso em sistemas cada vez mais complexos, tornando-os indispensáveis na tecnologia e na pesquisa.