量子場理論と計算

量子拡張教会-チューリングのテーゼは、量子力学が何が計算できるかについての理解をどう変えるかを見ているんだ。このアイデアは一般相対性理論なんかで話題になってきたけど、量子電磁力学（QED）みたいな量子場理論ではあんまり語られてないんだ。僕たちは、QEDのユニークな特徴、例えば粒子の生成と消滅がこのテーゼにどうフィットするかを示すモデルを作ってるよ。

#教会-チューリングのテーゼ

教会-チューリングのテーゼは、解決できる問題は全てチューリングマシンで計算できるって提案してる。これは計算のシンプルなモデルなんだ。このアイデアは後に発展して、物理系が行う効率的な計算はチューリングマシンでも効果的に計算できるってことになった。効率的ってのは、これらの計算が合理的な時間内にできるってこと、だいたい多項式時間で測られるんだ。

このテーゼはショアのアルゴリズムが発見されるまでは一般的に受け入れられてた。ショアのアルゴリズムは、量子コンピュータが普通のコンピュータよりも大きな数をかなり早く因数分解できることを示してる。これってつまり、量子コンピュータではすぐに解決できるけど、古典的なチューリングマシンだと時間がかかる問題があるってことなんだ。これが量子拡張教会-チューリングのテーゼの形成につながって、効率的な計算は量子チューリングマシンでも効果的にできるって主張されるようになった。

#量子場理論と一般相対性理論

物理学では、拡張教会-チューリングのテーゼに問題があることがわかると、新しい方法で量子拡張教会-チューリングのテーゼに挑戦しようとしたんだ。その中の一つの有望な方法は一般相対性理論、特に時間の遅れという概念から見つけられた。

一般相対性理論では、大きな物体、例えばブラックホールの近くでは時間が遅くなるんだ。これによって、ブラックホールの外にいる誰かが計算を始めてから事象の地平線を越えて、チューリングマシンでは永遠にかかる計算結果を短い時間で見ることができるかもしれない。この状況は、チューリングマシンでは計算できない結果をもたらす可能性があって、教会-チューリングのテーゼに違反することになる。でも、一部の人は、宇宙の境界との何らかのコミュニケーションを要求するように教会-チューリングのテーゼを変更することで、ブラックホールが抜け穴になるのを防げるって提案してる。

一般相対性理論を使って量子拡張教会-チューリングのテーゼについて考えるのと同じように、量子場理論の特性が通常の量子コンピュータに対して計算上のアドバンテージをもたらすかどうかを見ていくよ。

#量子電磁力学における計算メカニズム

量子場理論は、自然を理解するための最高の方法の一つを提供してるし、多くの実験によって検証されてる。素粒子物理学の標準モデルは量子場理論の一種で、強い力、弱い力、電磁力を説明してるけど、重力は含まれてない。量子コンピュータの探求は、物理学の深い法則を理解する手助けになるけど、量子場理論のいくつかの特徴は通常の量子力学には存在しないんだ。

重要な特徴は、粒子の生成と消滅の概念だ。これによって、量子場理論は計算中に新しい粒子（または新しい計算要素）を生成できるんだ。一見すると、これは問題を並列に解決するために新しいチューリングマシンを作り出す非決定論的チューリングマシンみたいに見えるかもしれない。しかし、もし粒子生成のこの振る舞いが本当に量子場理論に存在するなら、量子拡張教会-チューリングのテーゼに挑戦するかもしれない。でも、これはそうは見えないし、粒子生成はおそらく通常の量子コンピュータにすでにある量子並列性の別のバージョンなんじゃないかと思う。

最もシンプルな量子場理論の一つは量子電磁力学（QED）で、電磁相互作用に焦点を当て、強い力や弱い力、重力は無視してる。QEDは、フェルミオン場とゲージボソンがどのように相互作用するかを説明してる。僕たちはQEDを使って計算モデルを作り、QEDの相互作用を反映した計算ゲートのセットを作るよ。このモデルでは、光子のスピンをキュービット（量子情報の基本単位）として扱うから、新しい光子を生成する時に新しいキュービットも生成することになる。

量子場理論は、状態のミックスだけじゃなく、粒子数のミックスも可能にするんだ。これを異なる光子状態を通じて示せるよ。一つの演算子は水平偏光の光子を生成して、別の演算子は垂直偏光の光子を生成する。簡単に言うと、量子コンピュータでは状態を簡単に表現できるけど、粒子数の重ね合わせを使うのは量子場理論特有のものなんだ。

#QEDのコンピュータの例

QEDでの任意の状態の詳細な相互作用や時間発展を計算するのはかなり難しいんだ。だから、QEDの相互作用を模倣したゲートに基づくもっとシンプルなモデルを使うよ。時間発展演算子はハミルトニアンを使って計算される。

摂動理論を使えば、QEDに存在するさまざまな種類の相互作用が見えてくる。例えば、一つの相互作用は2キュービットゲートのように見えて、超伝導アーキテクチャで使われるようなものだ。だから、こんなゲートもQEDの計算モデルに含めるよ。

2キュービットゲートに加えて、少ない入力からより多くのキュービットを生成できる相互作用もあるから、粒子生成を利用できるモデルになる。これらの相互作用はファインマン・ダイアグラムを通じて示すことができる。これは粒子の相互作用を視覚的に表現したものなんだ。

これらのゲートを回路図で考えると、新しいキュービットを生成する能力がこのモデルを標準の量子コンピュータと区別して、これらの新しいゲートが計算上のアドバンテージをもたらすかどうかの疑問が浮かんでくる。

#キュートリット量子コンピュータの同等性

この疑問に答えるために、私たちが構築したモデルは、より多くのキュートリット（キュービットよりも多くの状態を保持できる）を使った量子コンピュータでもシミュレートできることを示すよ。量子電磁力学の各スピンは3つの状態を表すことができる：2つの一般的な状態と、粒子が存在しないことを示す第3の状態だ。

私たちの状態をキュートリットの観点から再表現することで、粒子数の重ね合わせももっと簡単に扱える。私たちのモデルは多項式の制限された時間しか許可してないから、これらのゲートを使って生成できる粒子の数は限られてる。

このゲートは2キュートリットや4キュートリットのゲートに翻訳できて、従来のゲートを使って効果的にシミュレートできる。だから、粒子生成のゲートは量子拡張教会-チューリングのテーゼに挑戦することはできないだろう。

キュートリット状態が重ね合わせでモデル内の粒子数に対応することを理解することで、粒子生成が量子並列性の別のバージョンとして機能しているだけみたいだ。これが示唆するのは、量子場理論の定義的な側面である粒子生成は、量子拡張教会-チューリングのテーゼに挑戦する可能性は低いってことなんだ。

#指数的に小さなマルチキュービット操作

粒子生成は量子拡張教会-チューリングのテーゼに影響を与えないかもしれないけど、量子場理論の他の特徴はそうじゃないかもしれない。例えば、非常に弱い他の相互作用を通じて量子コンピュータに対してアドバンテージを持つ方法があるかもしれないんだ。

ゲートセットの限界を調べると、以前に話したゲートは効率的にシミュレートできるけど、量子電磁力学にはシステムのサイズとともに成長する相互作用があって、シミュレートが難しくなることもあるんだ。

これらの相互作用はかなり小さいかもしれないから、”指数的に抑制されたマルチキュービットゲート”として定義できる新しいタイプのゲートが存在するかもしれない。この演算子は従来のゲートでは実現するのが難しいかもしれないけど、近似はできるかもしれない。

量子コンピュータの性質を調査すると、これらの新しいゲートにアクセスすることで大きな利点が得られる可能性があることがわかる。例えば、量子コンピュータの速さはもはやエンタングルメントや重ね合わせだけから来るわけじゃなく、小さなゲートの正確な制御から来るんだ。これらの新しいゲートにアクセスすることで計算能力が向上するかもしれない。

これらのゲートを通じて利点が得られたとしても、量子拡張教会-チューリングのテーゼに挑戦するためには、これらがQEDや標準モデルのようなフレームワークに組み込まれる必要がある。きちんと調整された操作によって迅速なアルゴリズムが見つかっているので、これらの新しいゲートの潜在性は探求する価値があるんだ。

#結論と今後の方向性

この探求の中で、量子場理論の力を見つめるための計算モデルを作った。粒子生成ってのが量子場理論の重要な特徴だけど、私たちのモデルが他の量子コンピュータを使って効率的にシミュレートできるから、量子拡張教会-チューリングのテーゼに挑戦しないだろうってことを示したよ。

粒子生成が速い計算をもたらさないかもしれないけど、量子場理論の他の特徴、例えば弱いマルチキュービットの相互作用はまだ利点を提供する可能性があるんだ。

次のステップは、新しい種類の演算子が既知の問題で利点を提供するかどうかを確認するか、従来のゲートがその代わりに使えるかどうかを調べることだ。これらの演算子は調整可能なパラメータがたくさんあるから、標準ゲートでは到達できない状態空間の領域に達するかもしれない。

どんな利点が確認されても、それらのゲートは量子場理論のシステムに実際に適用できる必要があるから、量子拡張教会-チューリングのテーゼに挑戦することができるっていう主張ができるんだ。小さな調整された操作を通じた迅速なアルゴリズムについての発見を考えると、これらの新しいゲートは今後の研究において面白い領域なんだ。