平均化によるコルモゴロフ-アルノルドネットワークの改善

コルモゴロフ・アーノルドネットワーク（KAN）のニューロンの動き方は、シンプルな加算ルールに基づいてるんだ。この方法は、複数の変数を一度に扱うための主な手段として加算を提案する特定の定理にインスパイアされてる。この話では、KANが実世界のタスクでより便利になる別のアプローチを探してるんだ。私たちの調査では、さまざまな機械学習タスクに対してKANニューロンでデータを組み合わせる方法をテストしてる。

私たちの研究では、標準のKANと比べて、加算方法を平均に変えることでパフォーマンスが大幅に改善されることがわかった。この小さな変更は、入力が活性化関数に適した範囲内に保たれることで、トレーニングの安定性を維持するのに役立つんだ。この安定性は、機械学習モデルの効果的な学習にとって重要だよ。

加算の使用は一見簡単そうだけど、それを支持する定理は限られた構造に基づいていて、具体的には2層といくつかのノードだけなんだ。でも、KANでは元のモデルよりも多くの層とノードを持てるから、ここで疑問が生まれる。実際にKANにとって加算はまだ最良の方法なのか？

これに答えるために、どの方法がKANニューロンに最適かを調べる研究を行った。さまざまな分類タスクで入力を組み合わせるための異なる関数をテストしたんだ。その結果、加算は高次元データ、つまり多数の特徴がある場合には最良の選択肢ではないことがわかった。加算は入力値を次の活性化関数の限界を超えて押し出す可能性があって、トレーニングに問題を引き起こし、新しいデータに対するモデルの一般化能力を低下させる。改善策として、ニューロンの関数で加算の代わりに平均を使用することをお勧めするよ。平均は活性化関数のための正しい限界内に入力を維持しつつ、以前の定理とも一致するんだ。

私たちの研究では、KANでトレーニング可能な活性化関数を使う際に、入力をその限界内に保つことに関する問題も調べた。Layer Normalizationのような一般的な解決策では、この問題が効果的に解決できないことがわかった。

#コルモゴロフ・アーノルド表現定理の理解

この定理は、複数の入力を持つ任意の連続関数が、加算と共に単純な関数を使って表現できると述べている。ここでの主なポイントは、加算が複数の入力を組み合わせるための核心的な操作であるということ。

#コルモゴロフ・アーノルドネットワークとは？

KANでは、入力と出力が1次元に整理された関数のアレンジメントから層が形成される。このセットアップは、入力と隠れ層に対して活性化関数が適用される2層のニューラルネットワークに似た計算グラフをもたらす。ただし、この単純なネットワークを使って滑らかな遷移を持つ適切な関数を見つけるのは難しいことがある。この問題を解決するために、ネットワークを幅広く深く成長させるアイデアが拡張されて、従来のニューラルネットワークに似た構造が作られたんだ。

#私たちの研究と結果

私たちの研究では、10の異なるデータセットに対して、加算、最小、最大、乗算、平均、標準偏差、分散、中央値、ノルムと、入力を組み合わせるための9つの異なる方法をテストした。2層のKANセットアップを使用して、これらの方法のユニークな組み合わせを多く調べることができた。各データセットはすべての組み合わせを通過し、そのパフォーマンスをランク付けした。

研究の最初の部分では、異なる方法のパフォーマンスを詳しく見た。最も良い2つの方法は、平均と標準偏差で、どちらもトップ10のランキングで複数回現れた。平均は最良の選択肢として際立っていて、他の方法はさまざまな結果を示した。私たちは、平均に注目することにしたんだ。平均方法は、前述の基礎となる定理とよく合致してて、基本的に入力の組み合わせの処理方法を変更するものなんだ。

私たちの理論は、平均法が加算よりも良く機能するのは、入力値を活性化関数の正しい限界内に保つことができるからで、予測できない結果を防ぐのに役立つというもの。一般にKANは値が-1.0から+1.0の間に収まることを期待している。値がこの範囲を超えると、モデルの活性化方法に問題が生じることがある。平均法はニューロンからの出力値を低下させ、期待される範囲内に留まりやすくするんだ。

トレーニング中、私たちは両方の方法を使ってニューロンの値が期待される限界内に留まる頻度を比較した。特徴の数が増えるにつれて、通常のKANは値を範囲内に保つのが難しくなることがわかった。Layer Normalizationを使うとニューロンの出力を中心に保つのに役立つけど、要求された範囲に従うことを保証するわけではない。平均法を使うと、20個以上の特徴を持つデータセットでもニューロンが正しい値を維持できたし、少ない特徴でも限界内に99％以上の確率で留まってたんだ。

#さまざまな方法の実験

研究の第二部では、どのKANのバージョンが良いかを比較するために、3つのKANをテストした。最初は加算の標準KAN。2つ目は中間層にLayer Normalizationを含むもの。3つ目は加算を平均に置き換えたバージョン。各バージョンを20回の独立したトレーニングセッションでデータセットごとに実行し、テスト結果の精度を統計的に分析した。

結果は、平均を使用することで、標準KANと比べてすべてのデータセットで精度が向上したことを示している。実際、平均法は7つのデータセットで標準KANを上回った。平均法はまた、結果の変動が少なく、より安定していた。

Layer Normalizationを加えることで通常のKANの精度が4回向上したけど、それでも平均を使用したバージョンの方が良かったんだ。

#関連研究

以前の研究では、KANが典型的な多層パーセプトロン（MLP）よりも少ないパラメータでデータにフィットする際に優れていることが確立されている。多くの研究が、画像処理、時系列予測、表データの分析、さらにはエンジニアリング設計やDNAシーケンス予測などの複雑なタスクでのKANの効果を確認している。しかし、一部の研究では、ノイズに対して敏感で、ノイズが導入されるとパフォーマンスが悪化する懸念も示されている。また、KANがMLPを上回らなかった例もあり、KANには強みがある一方でいくつかの弱点もあることを示している。

研究者たちは、標準KANセットアップのバリエーションや改善についても調査を始めていて、グラフベースの構造や畳み込み型、トランスフォーマーベースのデザインなどのオプションを探求している。これらの改善のいくつかは、一般化を助けるためにKANの層にドロップアウト方法を導入している。他の研究では、活性化関数に対する異なるアプローチ、例えばウェーブレットや正弦関数の使用を探求している。特に、加算の代わりに平均を使うという私たちのアイデアは、これらの新しいモデルにも簡単に適用できるよ。

まとめると、KANニューロンの加算を平均に置き換えることでトレーニングの安定性が大幅に向上し、活性化関数のための効果的な範囲内に入力を保つことができるから、実用的なアプリケーションにとって強力な候補になるって提案してる。このアイデアは確立された理論と一致していて、KANがさまざまなタスクでより良いパフォーマンスを発揮できるようにすることを目指しているんだ。