Parzialità nella Calcolabilità: Una Nuova Prospettiva

La parzialità è un problema comune nella computabilità che non possiamo ignorare. La domanda principale è se possiamo descrivere meglio i luoghi dove si verifica la parzialità-specificamente, dove avviene la non terminazione. Questa discussione si concentra su alcune classi di funzioni, che includono sia funzioni totali che funzioni finite i cui domini sono parti specifiche dei numeri naturali. Queste funzioni emergono naturalmente nel calcolo.

Possiamo sviluppare una teoria forte della computabilità per queste classi di funzioni, che include scoperte chiave dalla teoria tradizionale della computabilità, dove ogni funzione parzialmente calcolabile viene presa in considerazione. Per farlo, espandiamo l'idea dei numeri di Gödel, permettendo una gamma più ampia di numerazioni. Il metodo algoritmico principale in questo nuovo approccio è esaminare liste organizzate in ordine. Questo significa ridefinire il calcolo come semplicemente una forma di elencazione.

Oltre a creare una Teoria della computabilità per queste classi di funzioni, indaghiamo anche le nuove numerazioni, conosciute come numeri quasi-Gödel, da una prospettiva di numerazione. Queste nuove numerazioni sono complete, il che significa che possono identificare ogni classe di funzioni che rappresentano come un segmento della collezione numerata di Gödel di tutte le funzioni parzialmente calcolabili. Inoltre, studiamo la struttura delle numerazioni calcolabili per queste classi di funzioni, ottenendo risultati simili a quelli per le funzioni parzialmente calcolabili.

Un aspetto distintivo delle funzioni calcolabili è che spesso possono essere parzialmente definite. Non possiamo definire costruttivamente tutte le funzioni calcolabili totali, anche se possiamo descrivere costruttivamente insiemi più grandi che contengono determinate funzioni parzialmente calcolabili. Da una chiara descrizione di una classe di funzioni, possiamo indicizzare le funzioni al suo interno e stabilire un modo generale per calcolarle.

Storicamente, i primi sforzi nella teoria della computabilità si concentravano su schemi di funzioni che corrispondevano a funzioni totali, portando allo sviluppo di funzioni ricorsive generali. Tuttavia, lo studio si è rapidamente espanso per includere tutti questi schemi, risultando nella classificazione delle funzioni ricorsive parziali. Questo cambiamento ha permesso lo sviluppo di una teoria complessa e preziosa che è ampiamente riconosciuta oggi.

Nelle applicazioni pratiche, di solito ci interessa solo le funzioni calcolabili totali perché nessuno vuole un algoritmo che si blocca in un ciclo infinito. Questa preoccupazione spiega probabilmente perché le ricerche iniziali si concentrassero solo su funzioni ricorsive generali. Inoltre, in alcune parti della matematica ricorsiva, l'interesse rimane sulle funzioni calcolabili totali, in particolare quando si tratta dell'approssimazione efficace di oggetti infiniti con quelli finiti, come si vede in aree come l'analisi ricorsiva e la teoria dei domini.

Dato che ci concentriamo spesso più sulle funzioni totali che su quelle parziali, dobbiamo chiederci se abbiamo davvero bisogno di considerare tutte le funzioni parzialmente calcolabili per creare una teoria della computabilità soddisfacente. Oppure possiamo adottare un approccio più semplificato estendendo la collezione di funzioni calcolabili totali per includere solo specifiche funzioni parziali, vale a dire quelle i cui domini sono ben strutturati? Questo articolo ha lo scopo di dimostrare che è possibile concentrarsi esclusivamente su determinate funzioni finite, suggerendo che dobbiamo considerare solo funzioni calcolabili totali insieme a specifiche funzioni finite allineate con una parte specifica dei numeri naturali.

Le funzioni definite su segmenti iniziali di numeri naturali sembrano piuttosto rilevanti. Ogni funzione totale può essere approssimata efficacemente da una serie di tali funzioni di segmento iniziale, che viene sfruttata in vari contesti. Ad esempio, quando valutiamo una funzione definita da ricorsione primitiva per un argomento specifico, dobbiamo calcolare la restrizione della funzione al segmento iniziale determinato da quell'argomento. Allo stesso modo, le funzioni di segmento iniziale vengono utilizzate come campioni nei test di programma.

La classe di funzioni in esame è significativa non solo all'interno dei circoli di programmazione, ma anche in ambiti più ampi della scienza informatica. In contesti legati all'approssimazione efficace di oggetti infiniti da entità finite, le funzioni calcolabili totali fungono da identificatori per gli oggetti in fase di approssimazione. Questo uso può essere esteso in modo significativo alle funzioni di segmento iniziale. Ogni funzione corrisponde a una sequenza finita di oggetti finiti, indicando un certo livello di ambiguità; l'oggetto approssimato non è completamente definito ancora.

Da questa prospettiva, le funzioni di segmento iniziale agiscono come identificatori per i quartieri nello spazio topologico degli oggetti che sono approssimabili. Possiamo identificare una mappatura dalle funzioni che stiamo considerando all'insieme degli elementi calcolabili di un dominio algebrico in modo tale che le funzioni di segmento iniziale puntino agli elementi base del dominio, formando una base per la topologia di Scott.

Nella ricerca iniziale, ho collaborato con un altro studioso per indagare se dobbiamo considerare tutte le funzioni parzialmente calcolabili per sviluppare una teoria sufficiente di computabilità. Il nostro lavoro è iniziato con un modello di macchina di Turing modificato progettato per calcolare tutte le funzioni calcolabili totali e solo le funzioni di segmento iniziale con un dominio limitato. Abbiamo proposto una numerazione per questa classe di funzioni, anche se ci mancava una caratterizzazione di questa numerazione simile a quella nota per le numerazioni di Gödel.

Nonostante avessimo una funzione universale calcolabile associata a questa numerazione, non era contenuta nella corrispondente classe di funzioni. Tuttavia, il grafo della funzione universale può essere enumerato da una funzione calcolabile totale, ricollegandosi a un teorema chiave di Enumerazione per le numerazioni di Gödel. Inoltre, le numerazioni di Gödel rappresentano una struttura massima riguardo alla riducibilità tra tutte le numerazioni la cui funzione universale è calcolabile.

Si scopre che per qualsiasi enumerazione calcolabile dei grafi di una data famiglia di funzioni all'interno della nostra classe, esiste una funzione calcolabile totale che calcola un indice per quell'enumerazione. Ci riferiamo a numerazioni che soddisfano queste condizioni come numerazioni quasi-Gödel. Qualsiasi due di tali numerazioni possono essere dimostrate come isomorfiche in modo ricorsivo.

Inoltre, i teoremi essenziali noti dalla teoria tradizionale della computabilità possono essere trasferiti a questo nuovo tipo di numerazioni, senza richiedere alcun risultato classico della teoria della computabilità. Poiché ogni numerazione di Gödel è anche una numerazione quasi-Gödel, questo convalida che il nuovo concetto rappresenta un avanzamento sensato dell'idea di numerazione di Gödel.

Nella teoria tradizionale della computabilità, l'idea di enumerabilità calcolabile si è dimostrata importante. Ad esempio, il concetto di operatore ricorsivo parziale origina dalla nozione di cosa costituisce un insieme computabilmente enumerabile. Ne segue che, per definizione, l'enumerazione calcolabile ha un peso sostanziale nell'approccio alla teoria della computabilità che intendiamo sviluppare qui, poiché molte dimostrazioni coinvolgono la costruzione di enumerazioni per i grafi delle funzioni.

Nelle sezioni successive, dettaglieremo lo sviluppo della teoria della computabilità basata sulle numerazioni quasi-Gödel. Inizialmente, introdurremo la classe di funzioni in questione, che include sia funzioni calcolabili totali che certe funzioni di segmento iniziale definite da lunghezze date. Dimostreremo che queste classi possiedono numerazioni standard in relazione a una data numerazione di Gödel di tutte le funzioni parzialmente calcolabili. Le numerazioni standard che otteniamo sono specificamente numerazioni quasi-Gödel. Ci immergeremo anche in varie applicazioni di queste classi di funzioni.

Successivamente, mostraremo che una numerazione quasi-Gödel può essere ottenuta senza ricorrere alle numerazioni di Gödel. Presentando un modello di macchina che calcola esattamente le funzioni nella nostra classe, possiamo definire una numerazione corrispondente che si rivela essere una numerazione quasi-Gödel. Questo stabilisce che una teoria della computabilità può essere costruita sulle classi di funzioni che stiamo esaminando, senza richiedere alcuna conoscenza precedente della teoria che governa tutte le funzioni parzialmente calcolabili.

Man mano che procediamo, estrarremo risultati fondamentali dalla teoria della computabilità basati sulle proprietà delle numerazioni quasi-Gödel. Dimostreremo che diversi teoremi prominenti-come il teorema SMN, l'efficacia della sostituzione, un teorema di forma normale e il teorema di ricorsione-si applicano anche qui. Tuttavia, si osserva che le funzioni parziali di cui discutiamo possono essere estese a funzioni calcolabili totali, anche se l'estensione non può essere derivate efficacemente dall'indice della funzione parziale in questione. Inoltre, la lunghezza del suo dominio non può essere estratta dall'indice di una funzione di segmento iniziale.

Osserveremo che l'importanza del teorema SMN differisce dalla teoria classica, in particolare riguardo alla costruzione di funzioni indice. Qui, metodi alternativi sono necessari, poiché tali funzioni devono essere costruite in modi diversi.

Definiremo insiemi computabilmente enumerabili nel modo usuale, come insiemi vuoti o come l'insieme delle immagini di funzioni calcolabili totali. Questi possono anche essere caratterizzati dalle immagini delle funzioni che consideriamo, anche quando non sono necessariamente totali. Utilizzando una numerazione quasi-Gödel per la nostra classe di funzioni, possiamo enumerare simultaneamente questi insiemi. Da alcuni teoremi selezionati, sarà evidente che, in questo approccio, i risultati classici si applicano, tranne quelle formulazioni che si basano sulla caratterizzazione dei domini degli insiemi computabilmente enumerabili. A causa dei nostri controlli sui domini di considerazione, questa caratterizzazione diventa irrilevante. Tuttavia, nelle dimostrazioni tipiche, le costruzioni molto discusse che utilizzano questa caratterizzazione possono generalmente essere sostituite con altre. Inoltre, possiamo dimostrare che la nostra enumerazione generata dal computer degli insiemi computabilmente enumerabili corrisponde alla numerazione prodotta tramite numerazioni di Gödel. Questo sottolinea che l'approccio alla teoria della computabilità che presentiamo può effettivamente studiare insiemi computabilmente enumerabili proprio come i metodi tradizionali.

Man mano che approfondiamo l'esplorazione della teoria della computabilità per le classi di funzioni discusse, deriveremo risultati collegati al teorema di Rice, al teorema di Myhill e ad altri. Condurremo anche un'analisi teoria della numerazione delle numerazioni quasi-Gödel, indagando l'esistenza di supersets minimi di funzioni calcolabili totali in cui possono esistere numerazioni quasi-Gödel. Dimostreremo inoltre che tutte le numerazioni quasi-Gödel di una classe di funzioni sono computabilmente isomorfiche.

Successivamente, indagheremo il legame con la teoria dei domini, un campo che è stato stabilito per fornire un modo matematicamente soddisfacente per studiare funzionali calcolabili di tipi superiori. Dimostreremo che le funzioni di cui stiamo discutendo sono gli elementi calcolabili di un dominio algebrico efficacemente dato, che contiene tutte le funzioni totali di teoria dei numeri oltre alle funzioni di segmento iniziale di interesse.

Inoltre, illustreremo che si può stabilire una mappatura calcolabile dal nostro dominio ad altri domini efficacemente dati. Questo ci porta a concludere che ogni enumerazione ammissibile di elementi calcolabili in un dominio efficacemente dato può essere prodotta da una numerazione quasi-Gödel.

In conclusione, riassumeremo che le classi di funzioni che abbiamo esplorato consentono lo sviluppo di una teoria della computabilità ricca. Nonostante la complessità introdotta dalle funzioni parziali, abbiamo dimostrato che è possibile creare un quadro coerente che produce risultati soddisfacenti simili alla teoria della computabilità tradizionale, basato puramente sui concetti di enumerazione e numerazione quasi-Gödel.

#Classi di Funzioni

Per illustrare quanto segue, denotiamo uno schema di abbinamento computabile speciale uno-a-uno e onto. La funzione di abbinamento sarà estesa a una codifica n-tupla come di consueto. La decodifica della funzione sarà definita in modo simile per corrispondere. Gli insiemi di tutte le funzioni parziali, totali, parzialmente calcolabili e calcolabili totali saranno riferiti di conseguenza. Si presume che l'arità di queste funzioni e la dimensione dei prodotti cartesiani siano almeno 1, ma non discuteremo casi speciali in dettaglio.

Successivamente, consideriamo una numerazione di Gödel delle nostre classi. Se l'arità delle funzioni è chiara dal contesto o se non è importante, la denoteremo senza specificazione. Il valore ottenuto da una numerazione a un dato argomento sarà denotato in modo semplice.

Descriviamo un sottoinsieme delle nostre classi di funzioni come un segmento iniziale se ogni elemento nel sottoinsieme aderisci a un ordinamento specifico. La cardinalità di un tale sottoinsieme definirà la sua lunghezza e lunghezza dei bordi.

Come discusso in precedenza, il nostro focus principale è sulle funzioni i cui domini sono vuoti o segmenti iniziali. Questo focus ci porta a formulare un insieme chiaro di funzioni definite all'interno di questi parametri.

Tra gli insiemi computabilmente enumerabili infiniti, c'è un notevole sottoinsieme enumerabile. Per facilitare le nostre discussioni, definiremo alcuni costrutti che ci aiutano a gestire i nostri segmenti iniziali.

Continueremo ad esplorare come funzionano queste funzioni, guardando specificamente alle loro proprietà di enumerazione. Saranno impostate condizioni per garantire che trattiamo solo funzioni designate che soddisfano le nostre precedenti definizioni di numerazioni standard e speciali numerazioni standard.

Stabiliremo che qualsiasi funzione che soddisfi le condizioni specificate soddisferà anche i requisiti della nostra numerazione quasi-Gödel. Così, possiamo mostrare che esiste una funzione universale efficace che può essere calcolata per queste funzioni, portando a una comprensione più chiara della loro computabilità.

Pur riconoscendo i risultati significativi nella teoria tradizionale della computabilità, evidenziamo i modi unici in cui queste strutture quasifold possono servire nell'esame continuo delle funzioni calcolabili. I lanci delle forzature attraverso le lenti di enumerazione e strutture controllate servono come il cuore dello studio.

Successivamente, esploreremo gli aspetti di computabilità di costrutti specifici, riaffermando le qualità critiche delle numerazioni quasi-Gödel attraverso la reiterazione delle loro definizioni. Questo culminerà nell'instaurare un chiaro percorso connesso alle nostre precedenti ipotesi e scoperte, assicurando di rimanere ancorati nel principio delle mappature efficaci.

Attraverso questo sforzo, speriamo di rispondere alle domande persistenti riguardo se la computabilità classica possa resistere alla scrutazione delle nostre strutture appena definite e delle implicazioni che hanno per il futuro della teoria della computabilità. Ci aspettiamo che i risultati e le metodologie articulate aprano la strada a ulteriori esplorazioni nel regno della computabilità e della teoria delle funzioni.