Entendiendo Diferentes Tipos de Distancia en Matemáticas

Cuando hablamos de lo lejos que están las cosas, generalmente pensamos en medir distancias, ¿verdad? Es bastante fácil en la vida diaria. Ya sabes, como averiguar cuán lejos está tu pizzería favorita o cuán lejos vive tu amigo. En el mundo de las matemáticas, esta idea se complica un poco, especialmente cuando metemos diferentes formas de medir esas distancias.

#¿Qué es la distancia, en realidad?

La distancia, en matemáticas, tiene diferentes nombres dependiendo de cómo la midas. Probablemente has oído hablar de la “Distancia de Manhattan” cuando hablamos de calles en una cuadrícula, donde solo puedes moverte en líneas rectas hacia arriba y hacia abajo, o de lado a lado. Piensa en ello como si fueras un taxi en una ciudad construida en forma de cuadrícula. No puedes atravesar las manzanas; necesitas rodearlas.

Luego está la "Distancia Euclidiana", que es solo una forma elegante de decir la línea recta entre dos puntos. Es lo que usarías si fueras un pájaro volando de un lugar a otro.

Y finalmente, hay algo llamado "Distancia de Chebyshev". Esta es realmente divertida. Se trata de cuán lejos estás si puedes moverte en cualquier dirección, pero quieres saber la distancia máxima que tienes que mover en un solo paso. Imagina que estás jugando en un tablero de ajedrez y quieres saber cuán lejos está la reina de otra pieza.

#Hora de ponerse elegante: Presentando la distancia de Minkowski

Ahora, hablemos de un término elegante, la “distancia de Minkowski”. Este es un tipo de distancia que se puede adaptar según lo que necesites. Puede tomar las formas de las que ya hemos hablado (las distancias de Manhattan, Euclidiana y Chebyshev), pero también puede ser otras cosas dependiendo de un número (lo llamaremos p).

Así que, dependiendo del número que elijas, la distancia de Minkowski puede cambiar su sabor. Si eliges p = 1, se convierte en distancia de Manhattan. Para p = 2, es pura distancia euclidiana. Y si vas con p = infinito, obtienes distancia de Chebyshev.

#¿Por qué importan las diferentes distancias?

Te preguntarás, ¿por qué deberíamos preocuparnos por estos diferentes tipos de distancias? Bueno, en el mundo de los datos y el aprendizaje automático-donde las computadoras aprenden y toman decisiones basadas en datos-estas distancias ayudan a darle sentido a todos esos datos. Ayudan a determinar cuán similares o diferentes son las cosas entre sí.

Por ejemplo, si quieres averiguar cuán similares son dos imágenes, puedes usar estas distancias para calcular cuán lejos están los píxeles en las imágenes. Cuanto más cerca estén, más similares son las imágenes, ¿cierto?

#Jugando con formas en el espacio

Volvamos a las formas por un momento. Imagina un espacio con todo tipo de formas interesantes. Cuando miras cómo funcionan las distancias en diferentes formas, necesitas pensar en cosas como círculos y cuadrados, o incluso formas más complicadas como elipses.

En 2D, si tomas un círculo definido por cualquiera de estas distancias, se vería diferente dependiendo del tipo de distancia que estés usando. El p que elijas puede cambiar cuán “grueso” o “delgado” se ve el círculo.

Así que, cuando hablamos de la "2-bola" (que es solo un término elegante para un círculo), toma diferentes formas dependiendo de si estás usando distancias de Manhattan, Euclidiana o Chebyshev.

#Funciones squigonometricas: Un nombre divertido

Para ayudarnos a trabajar con estas distancias, tenemos algo llamado funciones squigonometricas. ¡Sí, squigonometricas! Imagínalo como seno y coseno, pero con un giro. Estas ayudan a definir esas formas en nuestro mundo de distancias, especialmente cuando tratamos con círculos.

Piensa en ellas como una herramienta para ayudarnos a navegar a través de las formas y entender sus propiedades. Estas funciones nos permiten parametrizar-o descomponer-los círculos en trozos manejables, haciéndolos más fáciles de trabajar.

#¿Cuál es el trato con el área y la longitud?

Cuando se trata de medir áreas y longitudes, también descubrirás que el tipo de distancia que usas importa aquí.

En un espacio 2D, si quieres medir el área de un círculo o la longitud de una curva, el tipo de distancia cambiará el resultado. Esto es especialmente cierto si estás comparando diferentes formas. Por ejemplo, si tienes un círculo y un cuadrado del mismo área, averiguar la longitud depende de cómo estás midiendo la distancia.

Ahora, si nos enfocamos en el primer cuadrante de un círculo, puedes pensar en él como la porción de un pastel. El área y la longitud de la curva pueden cambiar según qué medida decidas usar.

#Una porción de diversión: La regla del rectángulo

Imagina que tienes un rectángulo. El área de ese rectángulo no cambia, sin importar qué método de distancia uses. Siempre es la misma, ¡lo cual es genial! Pero cuando tratas con curvas, las cosas pueden complicarse.

Puedes pensar en una curva como una línea ondulada en lugar de una recta, y cuando intentas medirla, el tipo de distancia que selecciones cambiará cómo calculas esa longitud. Puede ser un poco loco, como tratar de medir cuán larga es una serpiente usando diferentes métodos.

#Explorando dimensiones altas: ¿Qué está pasando?

Ahora, si piensas que el área y la longitud son interesantes en 2D, ¡espera hasta que oigas sobre 3D! Cuando entras en el mundo de 3D (piensa en cubos y esferas), los conceptos de distancia siguen siendo válidos, pero se vuelven aún más complejos.

Por ejemplo, si tienes una bola en 3D, el volumen no depende de cómo midas las distancias, ¡pero la superficie sí! Ahí es donde las cosas pueden volverse confusas. Es como comparar manzanas y naranjas.

#Muestreo: Una forma divertida de jugar con puntos

El muestreo es una forma genial de generar puntos dentro de una forma dada, ¡así que puedes explorar sus propiedades! Imagina que estás usando un programa de computadora para elegir puntos aleatoriamente dentro de un círculo o en la superficie. La idea es obtener una buena mezcla de puntos que represente bien esa forma.

Puedes hacer esto usando diferentes métodos y, por supuesto, qué tipo de distancia elijas afectará qué tan bien llenes ese círculo o cuántos puntos obtengas en la superficie.

#La gran confusión: La paradoja de Borel-Kolmogorov

Aquí es donde se pone un poco desconcertante. Hay un pequeño obstáculo del que los científicos y matemáticos a menudo hablan llamado la paradoja de Borel-Kolmogorov. Es una forma elegante de decir que cuando tomas muestras de formas, el resultado a veces puede ser sorprendente.

Imagina que estás muestreando de una distribución uniforme sobre una esfera. Pensarías que todo es igual, ¿verdad? Bueno, cuando llegas a los bordes, la realidad se complica. La distribución que obtienes en los extremos puede variar de lo que esperas en el centro.

Cuando comienzas a restringir tu distribución a ciertas partes, como una línea que va de arriba a abajo de la esfera, podrías descubrir que los valores no son tan equilibrados como pensabas. Es como pensar que puedes cortar un pastel de manera uniforme, ¡pero resulta que algunas porciones son mucho más grandes que otras!

#Resumiendo

Así que, ya sea que estés tratando de medir distancias, comparar formas o muestrearlas, el mundo de las métricas (esa es solo una palabra elegante para medición de distancias) es un lugar fascinante. Cada método, ya sea la distancia de Minkowski o algo más, agrega un sabor a las matemáticas que científicos, ingenieros e incluso amantes de la pizza pueden disfrutar.

Al mantenerlo simple y usar herramientas divertidas como funciones squigonometricas, puedes navegar por este mundo complejo con facilidad. Recuerda, las matemáticas no tienen que ser aterradoras. ¡Pueden ser como un rompecabezas divertido esperando a ser resuelto!