KI und mathematische Beweise: Ein neuer Ansatz

Formale mathematische Beweise zu schreiben kann so knifflig sein wie zu versuchen, ein Spannbetttuch zu falten. Egal, ob du ein Mensch oder ein Computer bist, es fühlt sich an wie ein endloses Puzzle. Neulich haben einige kluge Köpfe gedacht: „Hey, warum nutzen wir nicht KI, um uns zu helfen?“ Sie haben sich ein besonderes Matheproblem angesehen, die IMO-Probleme von den Internationalen Mathematik-Olympiade.

Diese Matheprobleme reichen von moderat bis mega hart. Du weisst schon, die Art von Problemen, bei denen du dir den Kopf kratzen und dich fragen musst, ob du überhaupt rechnen kannst. Das Team wollte Formale Beweise mit einem Tool namens Lean schreiben, das eine Programmiersprache für mathematische Beweise ist. Sie wollten einige dieser kniffligen Probleme mit KI angehen, und was sie gefunden haben, war ziemlich faszinierend.

#Die Herausforderung der mathematischen Beweise

Menschen haben es schwer damit, formale mathematische Beweise zu schreiben, und Computer sind da auch nicht gerade die Zauberer. Selbst einige der sogenannten fortgeschrittenen KI-Modelle kämpfen damit. Der miniF2F-Datensatz, der oft als Benchmark für automatisiertes Theorem-Proving verwendet wird, enthält 20 IMO-Probleme, aber es fehlen formale Beweise für über die Hälfte davon. Warum ist das so wichtig? Nun, wenn ein Computer behauptet, er könne ein Problem lösen, aber keinen ordentlichen Beweis dafür hat, ist das wie zu sagen, du bist ein fantastischer Koch, aber machst nur gefrorene Pizzen warm.

Viele KI-Modelle, wie GPT-4, haben Schwierigkeiten, diese Matheprobleme richtig zu beweisen. Manchmal haben sie vielleicht Glück, aber wenn es um die schwierigeren Probleme geht, ist es wie zuzusehen, wie ein Kleinkind versucht, seine Schuhe zu binden – viel Mühe, aber nicht viel Erfolg.

#Den Pool der Beweise erweitern

Um mehr formale Beweise zu bekommen, hat das Team beschlossen, originale Beweise für 13 der 20 IMO-Probleme im miniF2F-Datensatz zu schreiben, plus ein paar zusätzliche aus den letzten Jahren. Insgesamt sind das 5.150 Zeilen Beweis – sogar länger als manche Romane! Dieser massive Aufwand erleichtert es zukünftigen Forschern, diese Probleme zu lernen und zu experimentieren.

Aber sie haben nicht dort aufgehört. Sie haben auch diese Beweise in kleinere Stücke zerlegt, die Lemmas genannt werden. Denk an diese Lemmas wie an die Bausteine von mathematischen Beweisen. Das Team hat etwa 900 Lemmas mit rund 25.500 Zeilen Lean-Code erstellt. Das sind ganz schön viele Mathe-Bausteine! Diese Lemmas sind leichter zu handhaben und bieten einen klareren Weg für KI-Modelle, um zu lernen.

#Die Beweis-Schreibfähigkeiten der KI bewerten

Nachdem sie diese Lemmas generiert hatten, beschlossen sie, die Beweis-Schreibfähigkeiten von GPT-4 daran zu testen. Spoiler-Alarm: Es lief nicht so gut, wie sie gehofft hatten. Die KI hatte Schwierigkeiten, korrekte Beweise zu schreiben, was überraschend war, wenn man all die fette Technik dahinter betrachtet. Sie verwendeten verschiedene Aufforderungstechniken, einschliesslich Zero-Shot-Prompting (einfach drauflos fragen) und Chain-of-Thought-Reasoning (Schritt für Schritt anleiten). Aber trotzdem glänzte der Roboter nicht.

Was sogar noch interessanter war, war, dass GPT-4 bei älteren IMO-Problemen besser abschnitt als bei den neueren. Die älteren Probleme schienen ein bisschen freundlicher zu sein, wie ein ruhiger Sommertag, während die neueren mehr wie eine stürmische Nacht waren – herausfordernd und schwierig zu navigieren.

#Warum KI hochwertige Daten braucht

Maschinenlernmodelle, wie ein hungriger Mensch, brauchen hochwertige Daten, um zu gedeihen. Je mehr gute Daten du ihnen gibst, desto besser performen sie. Der Erfolg vieler Maschinenlernsysteme kann oft auf eine Fülle von qualitativ hochwertigen Trainingsdaten zurückgeführt werden. Zum Beispiel hat ImageNet eine grosse Rolle in der Computer Vision gespielt. Aber wenn es um Mathe geht, sind die verfügbaren Ressourcen ziemlich rar.

Der miniF2F-Datensatz hat nicht genug qualitativ hochwertige Beweise für viele seiner Probleme. Die meisten KI-Modelle scheitern, weil sie keine soliden Beispiele zum Lernen haben. Es ist, als würde man versuchen, Fahrradfahren zu lernen, ohne jemals jemanden gesehen zu haben, der es zuerst macht. Wenn ein Modell versucht, ein Matheproblem zu lösen und scheitert, ist es schwer zu sagen, wo es schiefgelaufen ist, da es keinen guten Referenzpunkt gibt.

#Die Mathematik-Olympiade: Ein harter Brocken

Die Internationale Mathematik-Olympiade stellt eine einzigartige Herausforderung dar. Die Probleme werden erst am Prüfungstag enthüllt und werden jedes Jahr schwieriger. Wenn ein KI-Modell also Eindruck machen will, muss es wendig und in der Lage sein, mit Unbekanntem umzugehen. Das Üben mit vergangenen Problemen reicht nicht aus, denn jedes Jahr stehen die Schüler vor neuen Herausforderungen, die absichtlich knifflig sind.

Um eine KI auf die Mathematik-Olympiade vorzubereiten, müssen Forscher strenge Evaluierungsmethoden anwenden. Sie müssen prüfen, ob die KI ihr Lernen verallgemeinern kann, wenn sie mit einem neuen, schwierigeren Satz von Problemen konfrontiert wird. Wenn du versuchst, eine Goldmedaille zu gewinnen und nur mit ein paar Spielereien geübt hast, könntest du ohne Medaille nach Hause gehen.

#Aktueller Stand der Mathe-Datensätze

Der miniF2F-Datensatz besteht aus verschiedenen mathematischen Theoremen, die die Schüler geprüft werden. Unter den 244 Theoremen stammen 20 von der IMO, und deren Schwierigkeit variiert erheblich. Einige erfordern einen Beweis in einer Zeile, während andere Hunderte von Zeilen brauchen. Erfolg bei einfacheren Problemen garantiert keinen Erfolg bei den schwierigeren. Wenn ein Modell also behauptet, gut zu sein, ist es wichtig, über blosse Prozentsätze hinaus zu schauen.

Der aktuelle Champion dieses Datensatzes, LEGO-Prover, konnte nur eines der IMO-Probleme beweisen. In der Zwischenzeit können Methoden wie HTPS mehr Probleme handhaben, haben aber oft Schwierigkeiten mit Problemstellungen, die entweder vereinfacht oder falsch formuliert sind. Es ist, als würde man sagen, man könne ein Rennen gewinnen, nur weil man einen kurzen Jogginglauf geschafft hat.

#Ein neuer Ansatz zur Zerlegung von Beweisen

Das Team stellte fest, dass für viele Probleme keine formalen Beweise öffentlich verfügbar waren. Also haben sie sich diesen kniffligen Problemen angenommen und ihre formalen Beweise in Lean geteilt. Sie haben jeden Beweis in kleinere Lemmas zerlegt. Dieser Prozess machte komplexe Herausforderungen überschaubarer, sodass andere sie studieren und daraus lernen konnten.

Die Lemmas reichen in der Schwierigkeit und decken eine Vielzahl von Themen ab. Während einige einfach und geradlinig sind, erfordern andere tiefere Überlegungen. Sie haben sogar einfache Probleme vermieden, die Lean automatisch beweisen kann. Stattdessen konzentrierten sie sich auf echte Herausforderungen, bei denen Köpfe – menschlich oder KI – gefragt sind.

#GPT-4 testen: Auf Verbesserung hoffen

Um zu sehen, ob GPT-4 sich verbessern könnte, forderte das Team es auf, formale Beweise für ihre Lemmas zu schreiben. Sie gaben detaillierte Anweisungen und überprüften die informellen Beweise von GPT-4 neben den formalen. Überraschenderweise hatte GPT-4 auch nach umfassenden Aufforderungen und Feedback Schwierigkeiten mit der Genauigkeit. Es war, als würde man jemandem immer wieder sagen, wie man ein Sandwich macht, und sie servieren dir trotzdem einen Salat.

In den meisten Fällen konnte GPT-4 einfach nicht die richtigen Antworten liefern. Das Team gab Feedback und bat es, Fehler zu korrigieren, aber es fühlte sich an, als würde man versuchen, einer Katze das Apportieren beizubringen. Sie interagierten mehrere Male mit GPT-4, aber nach zehn Runden beschlossen sie, ihre Verluste zu begrenzen.

#Ein näherer Blick auf Lemmas

Jedes der Lemmas im neuen Datensatz hat einen formalen Beweis in Lean, der entscheidend für jeden ist, der über diese Probleme lernen möchte. Das Team konstruierte 907 Lemmas mit Schwierigkeitsgraden von einfach bis komplex. Diese Bausteine sind entscheidend für jeden, der die Beweisführung besser verstehen möchte, da sie einen Weg bieten, um komplexere mathematische Probleme anzugehen.

Einige Lemmas sind relativ einfach und beinhalten den Beweis grundlegender Eigenschaften von Zahlen. Andere fordern den Lösenden heraus, kritisch über Funktionen und Beziehungen zwischen Zahlen nachzudenken. Viele sind auch dann noch schwierig, wenn sie zerlegt sind, aber das ist die Schönheit der Mathematik – es gibt immer etwas Neues zu lernen.

#Die Beweise zugänglich machen

Die formalen Beweise, die das Team erstellt hat, wurden mit der Gemeinschaft geteilt, um allen zu helfen, die Arbeit zu verstehen, die in die Erstellung eines formalen Beweises steckt. Diese können auch helfen, Fehler in informellen Beweisen, die online zirkulieren, zu identifizieren. Das Team möchte zeigen, wie vorteilhaft und detailliert formale Beweise sein können, insbesondere wenn man sich kompliziertere Themen ansieht.

Indem sie diese Beweise zugänglich machen, tragen sie zu einem breiteren Verständnis von Mathe bei. Nicht-Mathematiker können den Aufwand sehen, der mit formalen Beweisen verbunden ist, und Mathematiker können sie nutzen, um ihre informellen Ansätze zu verfeinern.

#Wichtige Erkenntnisse

Das Projekt hilft, die Schwierigkeiten bei der Formalisierung von Beweisen deutlich zu machen, und betont die Bedeutung hochqualitativer Daten beim Training von KI-Modellen. Auch wenn GPT-4 erheblich gestruggelt hat, hat diese Arbeit den Grundstein für zukünftige Fortschritte gelegt.

Das Team hofft, dass sie durch die Bereitstellung einer Fülle von formalen Beweisen und die Arbeit an den Lemmas mehr Erfolge im Bereich des automatisierten Theorem-Proving fördern können. Sie sehen dies als einen Schritt nach vorn auf dem langen Weg, KI zu entwickeln, die in der Lage ist, anspruchsvolle Matheprobleme wie die bei der Mathematik-Olympiade zu bewältigen.

#Zukünftige Richtungen erkunden

Obwohl das Team mit GPT-4 Herausforderungen hatte, bleiben sie optimistisch. Ihr Ziel, ein Modell zu entwickeln, das die Lemmas in ihrem Datensatz effektiv beweisen kann, lebt weiter. Jeder Versuch, auch wenn er unvollkommen ist, dient dazu, die Zukunft der KI in der Mathematik zu informieren.

Das Projekt eröffnet auch Möglichkeiten für robustere KI-Modelle, die komplexe Beweise verstehen und Ideen auf neue Weise verbinden können. Es mangelt nicht an Herausforderungen in der Welt der Mathematik, und KI kann eine entscheidende Rolle dabei spielen, diese Grenzen weiter zu pushen.

#Fazit

Zusammenfassend bietet der Versuch, formale Beweise für IMO-Probleme mit Lean zu schreiben, grosses Potenzial für zukünftige Arbeiten im automatisierten Theorem-Proving. Obwohl die Reise komplex ist und unerwartete Hindernisse mit sich bringt, bringt uns jeder Schritt näher zu einem tieferen Verständnis dafür, wie KI in der Welt der Mathematik helfen kann.

Wenn die Forscher weiterhin ihre Methoden verfeinern und die Fähigkeiten der Modelle verbessern, könnten wir bald KI-Systeme sehen, die die herausfordernden Probleme in Mathewettbewerben effektiv angehen können – oder zumindest so nah dran sind, dass sie sich nicht vor der Mathematik-Community blamieren. Wer weiss? Eines Tages könnten wir eine KI haben, die die Mathematik-Olympiade rockt, aber bis dahin müssen wir einfach weiter an diesen Beweisen arbeiten, ein Lemma nach dem anderen.