Uma Maneira Melhor de Planejar para a Incerteza

Planejamento discreto baseado em escolha estocástica envolve tomar decisões em situações incertas. Essas decisões geralmente giram em torno de quais opções apresentar aos clientes e como esses clientes vão escolher entre essas opções. O processo é sequencial e envolve um planejador (como uma empresa) e um grupo de clientes. O planejador primeiro escolhe uma seleção de opções (como produtos ou serviços) para apresentar aos clientes, que então escolhem com base em suas preferências. Esse problema pode aparecer em vários contextos, como escolher uma mistura de produtos para vender, projetar uma linha de produtos ou decidir onde instalar instalações.

Um desafio significativo nessa área é que as empresas muitas vezes não conseguem ver completamente o que os clientes querem, levando a incertezas. Estudos anteriores abordaram principalmente tipos específicos dessas incertezas, criando modelos de decisão personalizados. No entanto, esses modelos podem ser limitados e não se aplicam facilmente a outras situações.

Neste artigo, propomos uma estrutura geral para lidar com esses problemas de planejamento sequencial, abrangendo uma gama mais ampla de incertezas. Introduzimos um método adaptável de programação linear inteira mista e uma abordagem de decomposição para facilitar soluções mais rápidas. Apresentamos evidências de que nossa estrutura pode gerar soluções eficazes para vários problemas, ilustradas por meio de aplicações como otimização de sortimento restrito e desafios de localização de instalações.

#Descrição do Problema

O problema de planejamento discreto (DPP) é relacionado à tomada de decisão onde um planejador deve selecionar um grupo a partir de um conjunto finito de opções. É relevante em roteamento de veículos, agendamento de máquinas, localização de instalações e planejamento de sortimento, entre outros. Este artigo se concentra em um subconjunto de DPP chamado DPP baseado em escolha, que analisa um processo onde um planejador e um grupo de clientes interagem. O planejador seleciona opções para apresentar aos clientes, que então fazem suas escolhas com base em preferências específicas.

O DPP baseado em escolha é amplamente utilizado em vários domínios, incluindo otimização de sortimento, design de linha de produtos e planejamento de localização de instalações. O principal problema é entender e antecipar as escolhas dos clientes. Em muitos casos, a abordagem baseada em utilidade é usada para modelar escolhas, onde a utilidade representa a satisfação que um cliente obtém de uma opção específica. Frequentemente, assume-se que essa utilidade é conhecida pelo planejador, levando os clientes a escolher a opção com a maior utilidade.

Embora essa suposição ofereça uma maneira simplificada de formular DPP como vários programas de programação linear inteira mista (MILPs), pode ser excessivamente simplista. A realidade é que as utilidades dos clientes raramente são totalmente conhecidas. Essa falta de informação introduz um nível de incerteza que complica a tomada de decisões.

Para lidar com esse problema, discutimos uma estrutura geral baseada em modelos de maximização de utilidade aleatória (RUM), onde o planejador só conhece a distribuição de probabilidade das utilidades de cada alternativa. Para os clientes que enfrentam um conjunto de opções, suas escolhas são baseadas nas utilidades realizadas, criando uma situação em que as decisões dos clientes têm uma natureza probabilística.

#DPP Estocástico Baseado em Escolha

No DPP estocástico baseado em escolha, a incerteza desempenha um papel substancial na abordagem de desafios de otimização de sortimento. A abordagem comum na literatura existente assume estruturas de incerteza específicas e frequentemente leva a algoritmos personalizados que são inflexíveis para outros cenários. Por exemplo, o modelo logit multinomial amplamente utilizado assume que as distribuições de utilidade seguem uma distribuição Gumbel, o que facilita alguns métodos de solução eficientes. No entanto, se essa distribuição mudar, por exemplo, para uma distribuição Normal, torna-se desafiador abordar essas novas situações usando metodologias existentes.

Diante desse contexto, é essencial desenvolver uma estratégia mais adaptável para o DPP estocástico baseado em escolha. Nossa abordagem combina um modelo unificado que aborda ambos os tipos de incertezas-idiossincrática e intrínseca-nos permitindo ilustrar sua aplicabilidade com vários exemplos de problemas.

#Estrutura de Modelagem

Nossa estrutura de modelagem para DPP estocástico baseado em escolha enfatiza uma abordagem unificada que não se limita a configurações específicas. Apresentamos três aplicações, focando na otimização convencional de sortimento, localização de instalações sob demanda geográfica e localização de instalações com estratégias de precificação.

#Aplicação 1: Otimização de Sortimento Restringido

Na primeira aplicação, consideramos um cenário de varejo onde uma empresa deve decidir quais produtos incluir em sua oferta. O objetivo aqui é maximizar a receita esperada enquanto se adere a um limite no número de produtos apresentados aos clientes. A utilidade de cada produto compreende dois componentes aleatórios: uma utilidade intrínseca comum a todos os clientes e uma utilidade idiossincrática refletindo preferências únicas dos clientes.

Modelamos a situação de escolha usando utilidade aleatória, focando em como a decisão do planejador impacta as escolhas dos clientes, que, por sua vez, informa o cálculo da receita esperada.

#Aplicação 2: Localização de Instalações com Demanda Distribuída Geograficamente

A segunda aplicação envolve um problema de localização de instalações onde os clientes estão espalhados de maneira desigual por uma área geográfica. Cada cliente tem um orçamento específico e busca minimizar custos ao escolher sua instalação preferida, que pode incluir encargos adicionais baseados na localização. O objetivo da empresa é identificar locais para as instalações e definir preços de serviço para maximizar a receita esperada.

Nesse cenário, a escolha do cliente pela instalação é influenciada tanto pela utilidade específica da instalação quanto pelo seu próprio orçamento, levando a um processo de tomada de decisão complexo para a empresa.

#Aplicação 3: Problema de Localização de Instalações para Maximizar Participação de Mercado

O último exemplo foca em maximizar a participação de mercado por meio da localização de instalações. Aqui, os clientes escolhem entre várias instalações e uma opção externa concorrente com base nas utilidades percebidas. A relação entre a utilidade da instalação e a patronagem afeta diretamente a receita da empresa.

Esse exemplo ilustra como entender a inter-relação entre diferentes opções é fundamental para tomar decisões bem informadas quando múltiplas partes interessadas estão envolvidas.

#Estrutura de Solução Aproximada Unificada

Para gerenciar a complexidade do problema e facilitar uma solução mais rápida, desenvolvemos uma abordagem baseada em amostragem. Usando a Aproximação por Média de Amostras (SAA), simplificamos elementos estocásticos em modelos determinísticos gerando um conjunto finito de cenários. Sob cada cenário, tratamos a utilidade como determinística, permitindo-nos formular um MILP que pode, potencialmente, gerar soluções quase ótimas.

Também introduzimos uma estrutura de decomposição de Benders para melhorar a eficiência de resolução desses modelos. Aqui, o MILP principal é decomposto em um problema mestre, refletindo as decisões do planejador, e um subproblema, representando as escolhas dos clientes. Essa divisão torna mais fácil gerenciar o processo geral de solução, especialmente para problemas maiores.

#Experimentos Abrangentes e Insights Computacionais

Experimentos computacionais extensivos validam nossa estrutura, mostrando que ela pode consistentemente fornecer soluções de alta qualidade em várias aplicações. Por exemplo, na otimização de sortimento restrito, nossa abordagem aumentou significativamente a receita esperada enquanto permanecia computacionalmente eficiente. Em outras aplicações como localização de instalações, nossa estrutura demonstrou superior escalabilidade e superou metodologias existentes.

Além disso, examinamos a relação entre utilidade e recompensa, descobrindo que sua natureza influencia a dificuldade computacional. Problemas onde utilidade e recompensas estão positivamente correlacionados tendem a ser mais tratáveis, destacando como esse aspecto afeta as estratégias de solução.

#Conclusão

Em resumo, nossa pesquisa aborda uma ampla gama de desafios de planejamento discreto baseado em escolha estocástica. Ao aproveitar um modelo unificado e estratégias de solução eficientes, fornecemos uma estrutura robusta que pode ser aplicada a diversas aplicações em contextos de tomada de decisão.

Os resultados enfatizam a importância de entender as escolhas dos clientes e as incertezas inerentes nos processos de tomada de decisão. Pesquisas futuras poderiam explorar ainda mais a integração de modelos de comportamento do cliente mais complexos e o impacto de restrições de recursos nas decisões de planejamento. A implementação de técnicas de otimização robustas também poderia fornecer insights valiosos quando apenas informações limitadas estão disponíveis sobre as incertezas.

Ao mesclar teoria e aplicações práticas, nosso objetivo é melhorar os processos de tomada de decisão em várias indústrias, seja em sortimento de produtos, localização de instalações ou outros contextos relacionados ao planejamento.