量子理論で古典力学を再検討する

この記事では、ゲージ対称性を持つ量子場理論が、通常考えられているよりも広範囲な古典的振る舞いを許容する方法について話すよ。一般相対性理論を見ていくと、私たちが通常従うルールをリラックスさせることができることを示すんだ。もっと具体的に言うと、一般相対性理論のダイナミクスを導くために使う道筋は、アインシュタインの方程式に完全には従わない古典状態を導くことがあるんだ。つまり、初期状態の設定に関する厳しいルールを緩和できるってこと。でも、量子理論は依然としてゲージ不変性を尊重する一貫した時間発展を許すんだ。

これらの代替状態が時間とともにどう振る舞うかを話すと、古典的レベルでは、アインシュタインの全方程式が普通の状況のように適用されるみたい。これらの異常な状態の影響は、内部の複雑性を持たないエネルギー・モーメントテンソルの一種で説明できる。これらの状態のための一般化されたアインシュタイン方程式を見つけて、シンプルな出発点が冷たいダークマターが引き起こすような膨張につながることを明らかにするんだ。この状況の不規則な部分は、時間とともに増加する空間の曲率の変化を引き起こすかもしれないし、これらの寄与は正の効果や負の効果を持ち得て、コズミックバウンスやワームホールのような新しい重力現象を示唆するんだ。

自然が特定の古典的方程式に従う理由を考えてみる。古典力学では、これらの方程式は一貫した実験結果によって受け入れられている。しかし、最も基本的なレベルでは、自然は量子力学の法則に従っていて、古典物理学はこれらの法則の近似に過ぎない。だから、古典方程式は絶対的な真実として見るべきではなく、むしろ量子力学から生じる関係として考えるべきなんだ。これらの関係は、量子状態がシュレーディンガー方程式に従って進化することを許すときに成り立つ。量子力学と古典力学のさらなるつながりは、エーレンフェストの定理や類似の方法で明らかになるよ。

古典的場理論では、古典的作用を変化させてその変化をゼロに設定することで運動方程式を導く。ただし、ゲージ対称性のあるシステムでは、一部の自由度が理論の実質的な部分ではないことを認識する必要があるから、取り除くことができる。結果として、現れる方程式の数はフィールドの数よりも少なくて、すべての方程式が意味のあるダイナミクスに直結するわけではないんだ。もしゲージ選択を考慮せずに単純に作用を変化させたら、余計な方程式ができてしまうよ。しかし、初期条件がゲージ対称性によって課せられた制約を尊重していれば、得られるダイナミクスはその制約に従い続けるんだ。

じゃあ、初期条件がこれらの制約に従わなかったらどうなる？物理的自由度の方程式を解くことはできるから、一見古典的ルールと矛盾するようでも明確な時間進化が得られるんだ。古典力学はそんな状態を拒否するかもしれないけど、古典力学は量子力学の一部だってことを忘れちゃいけない。だから、古典的方程式が量子ダイナミクスから導かれるかどうかを問うことは有効なんだ。

伝統的に、量子理論の制約は古典法則を再現するための追加の制限として課せられる。でも、もっと単純なアプローチがあるかもしれない：コヒーレントでゲージ不変な物理を生み出す量子状態たち。これらの制約をリラックスさせることで、ゲージ理論において以前は受け入れられていなかった広範な量子状態が明らかになるんだ。これらの状態はすべての伝統的なルールに従わないかもしれないけど、それでも有効な物理を生み出すよ。その時間進化は制約に違反するけど、ゲージ対称性がこれらの逸脱をシンプルで観察可能なものに保つんだ。

この議論では、一般相対性理論に焦点を当てつつ、別の論文で電磁気学も考慮するよ。まず、シュウィンガー・ダイソンの手続きを通じて古典方程式がどう導かれるかを見て、ゲージ理論に適用したときの特異性について考察する。次に、均質で等方的な宇宙を表すミニスーパー空間という簡略化されたモデルを通じて一般相対性理論の量子化を探求する。これらの概念を理解することで、重力の量子ダイナミクスを導き出し、その影響についてのより広範な疑問を結論付けることができる。

#古典的限界

まず、シュウィンガー・ダイソンの手続きを見直すよ。これは、非量子の運動方程式が、状態がシュレーディンガー方程式に従って進化するときに、量子場演算子の平均値によって自動的に満たされることを確立するんだ。例えば、スカラー場の場合、場とその運動量を演算子として昇格させて、それらの演算子からハミルトニアンを構築するんだ。Fock空間として構成された量子状態は、シュレーディンガー方程式に従って進化する。このとき、古典的運動方程式がこれらの量子プロセスを通じて再現されることが明らかになるよ。

ただし、ゲージ理論では区別を認識する必要がある。物理的自由度の数はフィールドの総数よりも少ないから、ハミルトニアンを定義しようとすると複雑さが生じる。ゲージ条件を固定すれば、状況が明確になる。つまり、私たちが行う変化は、ゲージ選択で定義した変化を尊重するべきなんだ。

道筋や変化を変えるとき、物理的結果が変わらないようにする必要がある。変化は、システムの真のダイナミクスを反映する方程式につながるべきなんだ。この区別は、ゲージ選択が私たちの導出した古典方程式に直接影響を与える量子理論で作業しているときには特に重要だよ。

次に、この理解を簡略化された宇宙論モデル、ミニスーパー空間に翻訳することを目指すよ。このモデルは、一般相対性理論の基本的なバージョンで、均質で等方的な宇宙を描写するんだ。まず、重力と物質の両方からの寄与を含む対応する作用を見ていく。

この作用を最小化する経路を決定することで、私たちの宇宙のダイナミクスを支配する馴染みのあるフリードマン方程式に到達する。でも、私たちの仮定が量子理論が方程式に制限を課す方法の誤解につながる可能性があるから、扱いには注意すべきなんだ。量子領域にいるとき、パス積分はこれらの古典方程式が簡単に現れることを保証しないよ。

#標準量子化

次に、理論の量子バージョンに入っていくよ。重力メトリックはすべてのパラメータを動的に維持しないから、ハミルトニアン演算子を適切に定義するためには特定の選択を固定しなきゃならない。メトリックに関連する標準モーメントは、フリードマン方程式に関連するハミルトニアンの興味深い構造を明らかにするんだ。

さらに探求を進めると、補助フィールドの扱いについての問題にも出会うかもしれない。それが事態を複雑にすることがある。シュレーディンガー方程式は、量子理論のゲージを効果的に設定する時間の再パラメータ化をもたらす。特定のパラメータを固定することで、期待される古典的振る舞いに対応する方程式を導き出せるけど、このアプローチだけで完全な古典方程式が定義されるわけではないんだ。

重要なのは、初期状態を第一フリードマン方程式を尊重するように設定すれば、時間が経ってもそれを守り続けること。だけど、ウィーラー・デウィット方程式として知られるより制限的な条件を課すことも一般的だよ。この条件は進化する能力がない静的状態を生むことがあって、理論の可能な結果を制限しちゃう。時間が量子状態の相互作用から依然として現れるかもしれないという提案もあるけど、これはまだ推測的なんだ。

#コヒーレント状態とパス積分の記述

次に、コヒーレント状態を通じてシステムをパス積分アプローチで表す方法を探っていくよ。コヒーレント状態は、古典的なような振る舞いを目撃できる枠組みとして機能するんだ。まず、ハミルトニアンをコヒーレント状態を通じて表現することで、モデルの文脈における進化する量子状態のより古典的な表現を導くよ。

行列要素を分解し、コヒーレント状態基底を埋め込むことで、システムに関連するパス積分を導き出す。このパス積分は、初期状態と最終状態の明確な接続を提供して、古典的ダイナミクスが量子振る舞いから出現することを示すんだ。

得られた運動方程式は、すべての古典的制約に合わせる必要はないんだ。むしろ、不整合を調整としてパッケージ化して、新しいエネルギー密度の供給源を導入することができる。それはほこりやダークマターのように振る舞うよ。この供給源は正または負のエネルギー密度を持ち得るから、宇宙論的応用に興味深い可能性をもたらすんだ。

#一般相対性理論

基盤ができたので、この洞察をより複雑なシナリオ、一般相対性理論に適用できる。ここでは、ダイナミクスを生成する作用が重力と物質の両方の成分を含んでいて、アインシュタインの方程式を導出するための出発点として機能するんだ。同様の道をたどることで、変化が古典的なダイナミクスを支配する方程式につながる様子が見えてくるよ。

量子化を行うときにも、システム内の冗長性に再び対処しなきゃならない。メトリックの特定の成分は通常のダイナミクスを欠いていて、これに関連するモーメントを定義する際に複雑さが生じるんだ。ハミルトニアン演算子を導出する過程で、結果として得られる方程式は注意が必要な非自明な項を含むことがわかる。

変数のゲージを定義することで、量子フレームワーク内で方程式がどのように進化するかをより明確に理解できるよ。分析を進めると、期待値に影響を与えるのは空間成分だけで、状況をより秩序ある理解へと導くんだ。

#宇宙論的含意

この追加のエネルギー項が宇宙論的文脈で持つ含意を考慮するよ。メトリックを成分に分解することで、摂動とそれらが宇宙の膨張に与える寄与を分析できる。これらの摂動がどのように振る舞うかを観察すると、ダークマターの文脈でのそれに似た解を持つことがわかる。

これらの成分の寄与は、特に非線形領域での振る舞いを探ると、宇宙のダイナミクスに深く影響を与える可能性があるんだ。これらの成分が特定のエネルギー条件の局所的な違反を許す可能性があるので、エキゾチックな現象の可能性が興味深いポイントとなるよ。

これらの状態の重要な側面は、インフレーション段階を通じて消える可能性があること。インフレーションは敏感な初期条件を消去できるから、宇宙の長期的な振る舞きを決定する上で重要な特徴になって、私たちの量子理論が観測と整合するかどうかも影響してくるんだ。

要するに、量子場理論は古典物理学では見えなかった柔軟性を示してくれる。一般相対性理論の探求を通じて、追加の状態が驚くべきダイナミクスにつながる可能性があるものの、理論の核心原則に反することはない。新しい重力効果の可能性は、私たちの宇宙の捉え方に重要な疑問を提起し、量子力学とそれが宇宙論的スケールに与える影響についてのさらなる探求を促すんだ。