Avanzamenti nella Prezzo delle Opzioni VIX con il Modello Heston-Hawkes

Il trading sulla volatilità è diventato importante nella finanza, soprattutto in settori come la gestione del rischio, le strategie d'investimento e l'analisi di mercato. L'indice VIX, creato dalla Chicago Board Options Exchange nel 1993, rappresenta le aspettative del mercato sulla volatilità nei prossimi 30 giorni. Il VIX deriva dalle opzioni sull'indice S&P 100. Nel 2003, è stato introdotto un nuovo indice, che rappresenta le opzioni S&P 500, permettendo ai trader di valutare più efficacemente la volatilità attesa del mercato. Da allora, sono emersi vari indici di volatilità che soddisfano esigenze specifiche nel trading della volatilità.

Il crescente interesse per i derivati di volatilità ha portato a una maggiore ricerca per sviluppare modelli stocastici di volatilità efficaci per il pricing di questi derivati. Questi modelli spesso includono Salti per catturare meglio il comportamento del mercato. Sono stati adottati approcci diversi, come l'uso di modelli di diffusione mean-reverting o l'incorporazione di salti di Poisson per catturare cambiamenti di volatilità improvvisi. Tuttavia, i modelli tradizionali spesso non riescono a tenere conto del clustering della volatilità, dove periodi di alta volatilità sono seguiti da ulteriore alta volatilità.

#Modello di Volatilità Stocastica Heston-Hawkes

Per affrontare queste limitazioni, presentiamo una formula di pricing semi-analitica per le opzioni call VIX utilizzando un modello Heston modificato che incorpora un processo di Hawkes. Il modello Heston-Hawkes combina in modo unico le caratteristiche del classico modello Heston con la natura autoeccitante del processo di Hawkes, permettendo di riflettere meglio il fenomeno del clustering della volatilità nei mercati finanziari. Questo modello assume che la volatilità possa saltare improvvisamente, ma questi eventi sono collegati: l'occorrenza di un salto aumenta la probabilità di salti futuri.

Nel modello Heston-Hawkes, utilizziamo un processo stocastico per la volatilità che include sia un processo mean-reverting regolare che un processo di Hawkes, influenzato da salti passati. Il modello usa strutture matematiche specifiche che ci permettono di derivare relazioni utili tra la volatilità, l'intensità dei salti e le caratteristiche dell'asset sottostante.

#Pricing delle Opzioni VIX

L'obiettivo centrale è arrivare a una formula per il pricing delle opzioni call VIX europee. Il prezzo di queste opzioni dipende dalla volatilità futura attesa dell'asset sottostante, che è catturata nell'indice VIX. Questo implica l'applicazione di tecniche dall'analisi di Fourier per derivare un'espressione che collega il processo di volatilità ai prezzi delle opzioni.

Per ottenere un pricing accurato, è fondamentale garantire che il modello sia privo di arbitraggio. Ciò significa che non dovrebbero esserci opportunità per i trader di ottenere profitti garantiti senza alcun rischio. Stabiliamo che il modello Heston-Hawkes è effettivamente privo di arbitraggio e identifichiamo misure adatte per la probabilità risk-neutral necessaria per il pricing.

#Passi Chiave per Derivare la Formula di Pricing

1. Caratterizzazione del Modello: Definire il processo di volatilità stocastica attraverso una combinazione di mean reversion e salti autoeccitanti. Delineiamo come questi processi interagiscono e definiamo le condizioni che devono essere soddisfatte per un pricing significativo.

2. Stabilire Misure Risk-Neutral: Dimostrare la natura priva di arbitraggio del modello comporta trovare una misura risk-neutral adeguata. Questo è un passo importante poiché garantisce che possiamo valutare le opzioni in modo affidabile. Definiamo le misure necessarie e confermiamo la loro esistenza.

3. Funzione Caratteristica Congiunta: Calcolare la funzione caratteristica congiunta per il processo di varianza e l'intensità del processo di Hawkes. Questa funzione è essenziale per passare dal modello teorico al pricing pratico.

4. Ottenere l'Espressione dell'Indice VIX: Derivare un'espressione esplicita per l'indice VIX sotto il nuovo modello. Questa espressione mostra come l'indice VIX si relaziona alla varianza e all'intensità dei salti.

5. Formula Finale di Pricing: Combinare tutti i risultati precedenti per formulare l'espressione finale di pricing per le opzioni call VIX. Questa formula fornirà ai trader un metodo per derivare i prezzi in base alle condizioni di mercato attuali e alle aspettative.

#Discussione dei Risultati

La formula derivata consente applicazioni pratiche nel trading e nella gestione del rischio. I trader possono stimare il valore equo delle opzioni VIX utilizzando i dati di mercato attuali. Comprendendo il comportamento della volatilità nel contesto del modello Heston-Hawkes, possono prendere decisioni più informate riguardo strategie di copertura e speculative.

#Conclusione

In sintesi, lo sviluppo di una formula di pricing semi-analitica per le opzioni VIX nel modello di volatilità stocastica Heston-Hawkes rappresenta un progresso significativo nella finanza. Affrontando le complessità del clustering della volatilità e della dinamica dei salti, questo modello fornisce ai trader migliori strumenti per gestire i rischi associati alla volatilità di mercato. Ricerche future potrebbero perfezionare ulteriormente questi modelli, incorporando ulteriori caratteristiche di mercato o esplorando le implicazioni di diverse strategie di trading.