Le Jeu de la Vie sur le Carrelage de Penrose

Le Jeu de la Vie est un jeu mathématique simple mais fascinant créé par John Conway. Ça se passe sur une grille de carrés, où chaque carré peut être vivant ou mort. Le jeu évolue au fil du temps selon un ensemble de règles simples. Ce qui rend ce jeu intéressant, c'est la complexité qui découle de ces règles simples.

#Les Bases du Jeu

Dans le Jeu de la Vie, chaque carré interagit avec ses huit voisins (les carrés qui le touchent, y compris les diagonales). Les règles pour savoir comment les carrés changent d'état (de vivant à mort ou vice versa) sont les suivantes :

1. Un carré vivant reste en vie s'il a deux ou trois voisins vivants.
2. Un carré vivant meurt s'il a moins de deux ou plus de trois voisins vivants.
3. Un carré mort revient à la vie s'il a exactement trois voisins vivants.

Ces règles donnent lieu à différents motifs qui peuvent croître, disparaître ou se stabiliser avec le temps. Certains motifs peuvent se déplacer sur la grille, tandis que d'autres peuvent sembler osciller entre différents états.

#Explorer le Carrelage de Penrose

Le carrelage de Penrose est un type de motif spécial qui ne peut pas être répété, ce qui veut dire qu'il ne s'intègre pas dans une grille régulière. Il a été nommé d'après le mathématicien Roger Penrose. Il y a plusieurs types de carrelages de Penrose, mais dans cette discussion, on se concentre sur le type triangle de Robinson.

Dans ce type de carrelage, les formes s'assemblent d'une manière qui crée un motif non répétitif sur un plan. Cela donne lieu à divers quartiers pour les carrés, qui sont cruciaux pour la façon dont le Jeu de la Vie se comporte sur ce type de carrelage.

#La Connexion Entre le Jeu de la Vie et le Carrelage de Penrose

Quand on joue au Jeu de la Vie sur le carrelage triangle de Robinson, on fusionne deux concepts mathématiques intéressants. Cela crée un ensemble unique d'interactions et de comportements qui diffèrent de celui de la grille carrée traditionnelle.

Dans le triangle de Robinson, la manière dont les tuiles s'assemblent crée des quartiers différents par rapport à une grille standard. Ces quartiers déterminent comment les carrés s'influencent les uns les autres selon les règles du Jeu de la Vie. Chaque arrangement de tuiles conduit à différents résultats possibles dans le jeu.

#Comprendre les "Still Lifes"

Un "still life" dans le Jeu de la Vie est un motif qui ne change pas avec le temps. Il reste stable sans que des carrés vivants ne meurent ou ne reviennent à la vie. Il y a des exemples bien connus de "still lifes", comme un bloc carré ou une forme de baignoire. Sur le carrelage triangle de Robinson, on a cherché à classifier tous les "still lifes" possibles composés de quatre carrés vivants.

#Le Processus de Classification

Pour classifier ces "still lifes" à quatre cellules, on commence par analyser les quartiers qui émergent du carrelage triangle de Robinson. Chaque carré vivant dans un "still life" doit répondre à des conditions spécifiques basées sur ses voisins. Par exemple, si un carré a trop ou trop peu de voisins vivants, cela pourrait entraîner un changement dans la génération suivante.

On prend en compte les arrangements possibles de quatre carrés vivants et on vérifie s'ils peuvent survivre aux règles du jeu. En se concentrant sur différents groupements de positions carrées, on peut éliminer systématiquement des configurations susceptibles de changer dans la génération suivante.

#Groupes de Sommets Intérieurs et Extérieurs

Dans notre analyse, on catégorise les carrés vivants en ce qu'on appelle les groupes de sommets intérieurs et extérieurs. Le groupe de sommets intérieurs comprend les tuiles qui partagent le même point central, tandis que le groupe de sommets extérieurs inclut les tuiles qui se rencontrent au bord du quartier.

#Élimination des Configurations Instables

En utilisant notre méthode de classification, on élimine les arrangements qui pourraient entraîner des naissances (un carré mort devenant vivant) ou des morts (un carré vivant mourant) dans la génération suivante. Cette analyse nous aide à nous concentrer sur les arrangements qui qualifient comme des "still lifes". Après avoir passé en revue diverses configurations et filtré les motifs instables, on arrive à une liste complète de "still lifes" à quatre cellules pour ce carrelage spécifique.

#Explorer les Gliders et les Oscillateurs

Après avoir identifié les "still lifes", deux questions naturelles émergent : Est-ce que des gliders existent dans cette version de Penrose du Jeu de la Vie ? Pouvons-nous classifier les oscillateurs, des motifs qui se répètent au fil des générations ?

Un glider est un type spécifique de motif qui se déplace à travers la grille. Bien qu'un version de carrelage en rhombus de Penrose ait montré des motifs de gliders, on vérifie si le type triangle de Robinson permet un comportement similaire. La même idée s'applique aux oscillateurs ; on cherche des motifs qui reviennent à leur configuration originale après un certain nombre de générations.

Lors de notre investigation, on a découvert un nouvel oscillateur avec une période de 14, ce qui signifie qu'il revient au même état toutes les 14 générations. Cette découverte soulève de nouvelles questions sur le potentiel d'autres oscillateurs et si un schéma de classification pourrait s'appliquer à eux aussi.

#Conclusion

L'exploration du Jeu de la Vie sur le carrelage triangle de Robinson révèle beaucoup sur l'interaction entre des règles simples et des comportements complexes. En classifiant les "still lifes", les gliders et les oscillateurs, on découvre la riche tapisserie des résultats qui découlent des motifs mathématiques. Ce mélange de concepts enrichit non seulement notre compréhension des automates cellulaires, mais ouvre aussi des portes à de nouvelles recherches dans ce domaine des mathématiques.