Le monde unique du carrelage non périodique

Le carrelage, c'est une manière de couvrir une surface avec des formes sans laisser de gaps ou de chevauchements. Tu pourrais penser à poser des carreaux sur un sol, mais en maths, le carrelage peut se faire de plein de manières créatives. Cet article parle d'un type spécial de carrelage appelé carrelage non périodique. Les Carrelages non périodiques sont uniques parce qu'ils ne se répètent pas dans un motif régulier, même si tu continues à l’infini.

#Le Problème du Domino

Une des raisons pour lesquelles les gens étudient les carrelages non périodiques, c'est à cause de quelque chose qu'on appelle le problème du Domino. Ce problème demande s'il existe un moyen de créer un ensemble de règles qui permet de savoir si tu peux recouvrir parfaitement un plan entier avec certaines formes. La réponse est compliquée ; un mathématicien nommé Berger a prouvé qu'il n'y a pas de méthode générale pour résoudre ce problème pour toutes les formes de carreaux possibles.

#Qu'est-ce qui rend un carrelage non périodique ?

Pour montrer qu'un carrelage est non périodique, il faut établir qu'il ne peut pas répéter le même motif encore et encore. En gros, un carrelage est non périodique si tu ne peux pas le déplacer et qu'il s'ajuste toujours parfaitement sur lui-même.

Un exemple bien connu de carrelage non périodique, c'est le travail d'un mathématicien nommé Robinson. Il a créé une famille de carreaux qui ne permet pas non plus de motifs répétitifs. Les carreaux qu'il a utilisés sont simples à comprendre, ce qui rend le travail avec eux plus facile.

#Notre Nouvelle Famille de Motifs de Carreaux Carrés

Dans cet article, on discute d'une nouvelle famille de carrelages non périodiques qui utilisent des carreaux carrés. L'aspect unique de cette famille, c'est qu'elle peut être dérivée d'une autre famille de carreaux composés de triangles isocèles. Les deux types de carreaux suivent quelques règles de base qui déterminent comment ils s'assemblent.

#Règles Locales pour les Carreaux Carrés

1. Attachement : Les carreaux ne peuvent être placés que côté à côté, et les bords où ils se touchent doivent avoir des couleurs assorties.

2. Couleurs Adjacentes : Si deux carreaux sont côte à côte et partagent un côté, ils doivent avoir des couleurs différentes.

Ces règles garantissent que le carrelage a l'air unique et ne peut pas être facilement répété.

#Visualiser les Carreaux

Les carreaux carrés peuvent être vus dans différentes orientations et couleurs. Chaque carreau peut pivoter mais ne peut pas être retourné. Les différentes dispositions et couleurs augmentent le nombre de combinaisons possibles sans créer de motif répétitif.

#Carrelages en Triangle

Avant de revenir aux carreaux carrés, regardons comment fonctionnent les carrelages en triangle. Ces triangles sont aussi colorés et ont des règles spécifiques sur la façon dont ils s'assemblent.

#Règles Locales pour les Carreaux Triangulaires

1. Attachement : Comme pour les carreaux carrés, les carreaux triangulaires ne peuvent s'attacher que côté à côté, et les côtés partagés doivent avoir des couleurs assorties.

2. Couleurs Adjacentes : Les triangles avec un côté commun ne peuvent pas être de la même couleur.

Les triangles sont intéressants parce qu'ils peuvent facilement être découpés et réarrangés. Par exemple, si tu prends un carreau carré et que tu le coupes diagonalement, tu obtiens deux triangles. Cette méthode de découpe est cruciale pour passer des carreaux carrés aux carreaux triangulaires et vice versa.

#Le Processus de Carrelage

Quand tu crées un carrelage avec ces carreaux carrés ou triangulaires, tu commences par une petite zone et tu te déplaces vers l'extérieur. C'est un peu comme construire un mur : une fois que tu as terminé une section, tu peux continuer à l'étendre.

#Découpe et Composition

Quand tu utilises des carreaux carrés, tu peux les couper en triangles. Ça te donne un nouvel ensemble de carreaux à utiliser. L'aspect intéressant, c'est que quand tu découpes un carreau, tu peux toujours suivre les règles pour placer les carreaux. Chaque pièce que tu découpes peut maintenant être réarrangée mais doit toujours respecter les règles originales.

Cette méthode te permet de créer un "super carreau", qui est une section plus grande composée des plus petits carreaux. En répétant ce processus, tu peux remplir tout le plan avec tes carreaux.

#La Preuve de Non-Periodisme

Pour prouver que notre nouvelle famille de carreaux est non périodique, on s'appuie sur une technique appelée auto-similarité. Ça veut dire qu'en regardant de près comment les carreaux s'assemblent, tu peux montrer qu'ils ne se répètent pas.

Chaque fois que tu assembles un nouveau carreau à partir de carreaux plus petits, le motif dans lequel ils se connectent garde des différences qui empêchent la répétition. À chaque fois que tu crées un nouveau carreau, il aura une disposition différente par rapport aux autres que tu as produits plus tôt.

#Composition Unique

Chaque fois que tu découpes un carreau et que tu en crées un nouveau, l'arrangement des couleurs et des formes garantit qu'il ne peut pas s'ajuster parfaitement dans la disposition précédente. Cette façon unique de combiner les carreaux est clé pour établir que le carrelage dans son ensemble ne montre pas de motif répétitif.

#Le Rôle des Supercarreaux

Un Supercarreau fait référence à un carreau plus grand créé en combinant des carreaux plus petits. À mesure que tu crées ces supercarreaux, tu découvres qu'ils doivent également suivre les règles locales de base des petits carreaux. Ce lien garantit que l'ensemble de la structure reste correcte et fidèle au design original.

L'idée, c'est que ces supercarreaux peuvent être prolongés à l'infini, et puisqu'ils suivent les mêmes règles que les petits carreaux, eux aussi seront non périodiques.

#Conclusion

En résumé, les carrelages non périodiques sont un domaine fascinant d'étude qui révèle comment les formes peuvent s'assembler de manière unique. En utilisant des carreaux carrés simples et des carreaux triangulaires, on peut créer des motifs magnifiques qui ne se répètent jamais.

Comprendre comment recouvrir le plan avec ces formes implique de saisir quelques règles de base sur la façon dont les couleurs et les bords interagissent. Le chemin des petits carreaux aux supercarreaux nous permet d'explorer un paysage infini de possibilités de design.

Cette approche approfondit non seulement notre appréciation des maths mais met aussi en valeur l'élégance et la complexité que l'on trouve dans des formes simples. Les carrelages non périodiques sont un témoignage de la créativité et de l'intrication de l'exploration mathématique.