Géodésiques fermées dans des variétés riemanniennes non compactes

Les Géodésiques fermées sont des chemins sur une surface courbée qui se bouclent sans se croiser. Comprendre leur existence est super important en géométrie et en topologie, surtout pour ce qui est des Variétés riemanniennes, qui sont des espaces où on peut mesurer les longueurs et les angles. Cet article parle des conditions nécessaires pour qu'on puisse trouver des géodésiques fermées dans certaines variétés riemanniennes non compactes.

#Contexte

Les variétés riemanniennes peuvent être vues comme des surfaces qui ont un moyen de mesurer la distance. Une variété riemannienne complète est celle où n'importe quelle géodésique peut être prolongée indéfiniment. Les géodésiques fermées sont particulièrement intéressantes car elles ressemblent à des boucles sur ces surfaces.

De nombreux résultats classiques en géométrie disent que si une variété est compacte, certaines méthodes peuvent garantir l'existence de géodésiques fermées. Mais pour les espaces non compacts, c'est plus compliqué. Les résultats classiques ne s'appliquent pas directement, donc il faut examiner de nouvelles propriétés et conditions.

#Conditions d'existence des géodésiques fermées

Pour découvrir des géodésiques fermées sur une variété riemannienne non compacte, certaines conditions sont cruciales :

1. Ensembles Bounded et Ouverts : La variété doit avoir un ensemble ouvert concave et borné avec une frontière bien définie. Un ensemble borné est celui qui tient dans une boule de taille finie, tandis qu'un ensemble concave a une courbure vers l'intérieur, comme un bol.

2. Connexité : La variété doit être connectée, c'est-à-dire qu'il ne doit pas y avoir de parties séparées. Chaque point doit pouvoir être atteint depuis n'importe quel autre point dans la variété.

3. Groupes d'homotopie et d'Homologie : Les relations entre les chemins de la variété jouent un rôle crucial. Soit le groupe d'homotopie relative, soit certaines images d'homomorphismes doivent respecter des conditions algébriques spécifiques. Ces groupes aident à comprendre comment les chemins dans la variété se relient les uns aux autres.

Quand ces conditions sont remplies, ça suggère qu'il existe au moins une géodésique fermée non triviale dans la variété.

#Contexte Historique

La question de savoir si des géodésiques fermées existent a une longue histoire en mathématiques. Les premières enquêtes de Poincaré ont examiné si chaque surface fermée admet au moins une géodésique fermée. Avec quelques hypothèses concernant le groupe fondamental de la surface, les mathématiciens ont trouvé diverses méthodes pour construire des géodésiques fermées.

Dans les surfaces bidimensionnelles, Birkhoff a développé des techniques qui établissaient l'existence de géodésiques fermées sur des sphères. De tels résultats ont été généralisés par Fet et Lyusternik pour des espaces de dimensions supérieures. Leur travail a ouvert la voie à l'exploration des géodésiques fermées dans des situations plus complexes.

Dans des dimensions supérieures, Almgren a introduit une théorie min-max qui a offert de nouvelles perspectives. Ses résultats ont montré qu'on pouvait trouver des surfaces minimales fermées (singulières) au sein de variétés compactes, approfondissant la compréhension du comportement des géodésiques dans diverses dimensions.

#Sous-variétés minimales

Les sous-variétés minimales représentent des analogues de géodésiques en dimensions plus élevées. Almgren a souligné leur existence à travers divers cadres théoriques. Dans certains cas, la régularité a été établie par d'autres mathématiciens, améliorant notre compréhension de ces concepts. Lorsque deux dimensions ou plus sont impliquées, les méthodes d'Almgren-Pitts peuvent donner des réseaux géodésiques stationnaires, indiquant des chemins qui peuvent être considérés comme des géodésiques généralisées.

Cependant, la situation est plus compliquée pour les variétés riemanniennes non compactes. On a montré que dans certaines conditions spécifiques, comme des extrémités localement convexes, une surface non compacte peut encore abriter des géodésiques fermées. En gros, les surfaces qui font des boucles sans se croiser montrent ce trait.

#Hypothèses topologiques

Les propriétés topologiques donnent des aperçus essentiels sur la structure des variétés. Si une variété présente certaines caractéristiques topologiques, cela peut garantir la présence de chemins fermés. Par exemple :

• Ensembles Convexes et Concaves : Une variété peut être définie comme convexe ou concave selon comment les chemins minimaux se comportent à l'intérieur. Pour qu'un ensemble soit convexe, tout chemin le plus court entre les points doit rester à l'intérieur de l'ensemble. Être concave signifie que les chemins les plus courts sont souvent contenus dans un ensemble plus petit.

• Groupes d'Homotopie : Ces groupes permettent de classer les chemins selon comment ils peuvent être déformés les uns par rapport aux autres. La présence de groupes d'homotopie non triviaux indique des interactions plus complexes entre les chemins.

Chacune de ces conditions contribue à atteindre l'objectif de trouver des géodésiques fermées dans la variété.

#Plan de la preuve

Pour établir l'existence de géodésiques fermées sous les conditions définies, une approche structurée est nécessaire.

1. Choisir des paramètres initiaux : Commence avec des paramètres définis qui satisfont les propriétés de la variété. Ces paramètres doivent suivre les conditions décrites plus tôt.

2. Appliquer les propriétés géodésiques : En utilisant des propriétés liées aux chemins minimaux, on peut montrer que si certains chemins peuvent être imaginés ou définis dans les limites, alors ces chemins doivent mener à des géodésiques fermées.

3. Utilisation de cadres théoriques : Emploie des théories établies et des ajustements d'arguments pour s'adapter au cadre non compact. Ça nécessite une application créative des résultats existants, permettant l'adaptation des démonstrations qui fonctionnent dans des variétés compactes à celles non compactes.

4. Convergence vers des géodésiques : Sous des conditions adéquates, on peut montrer que les chemins formés par des homotopies convergent vers des géodésiques fermées. Cette étape est cruciale et implique de comprendre comment les propriétés des chemins changent par rapport à la forme et à la structure de la variété.

À travers ces étapes, on peut démontrer que des géodésiques fermées non triviales émergent, confirmant les conjectures des mathématiciens concernant les variétés riemanniennes non compactes.

#Conclusion

L'exploration des géodésiques fermées dans des variétés riemanniennes non compactes révèle un riche jeu d'interactions entre la géométrie et la topologie. L'existence de tels chemins dépend d'un examen attentif de conditions comme des ensembles ouverts bornés, la connexité et les relations entre diverses structures algébriques.

Bien que le paysage soit complexe, établir les concepts fondamentaux permet de découvrir des géodésiques fermées dans ces espaces fascinants. La compréhension acquise grâce à ces études a non seulement des implications mathématiques, mais améliore aussi notre compréhension globale des structures géométriques dans des contextes théoriques et appliqués.

En résumé, ce voyage dans le monde des géodésiques fermées illustre la nature complexe de l'enquête mathématique moderne, comblant les lacunes entre différents domaines et faisant évoluer la conversation en géométrie, en topologie, et au-delà.