Une plongée dans la théorie des catégories supérieures

La théorie des Catégories supérieures est une branche avancée des maths qui étend les idées de la théorie des catégories de base. Dans la théorie des catégories traditionnelle, on étudie des catégories qui consistent en objets et morphismes entre ces objets. La théorie des catégories supérieures va plus loin en regardant des structures qui impliquent non seulement des points et des flèches, mais aussi des analogues de dimensions supérieures.

#Qu'est-ce qu'une Catégorie ?

À la base, une catégorie se compose de :

1. Objets : Ça peut être n'importe quoi, des ensembles à des structures plus compliquées.
2. Morphismes (ou Flèches) : Ce sont les relations ou les fonctions qui relient les objets. Chaque morphisme a un objet source et un objet cible.

On peut composer les morphismes. Si tu as une flèche de l’objet A à l’objet B, et une autre flèche de B à C, alors tu peux composer ces flèches pour obtenir une nouvelle flèche de A à C.

#Qu'est-ce que les Catégories Supérieures ?

Les catégories supérieures s’appuient sur cette base. Elles traitent non seulement des morphismes entre objets mais aussi des morphismes entre morphismes, et ça continue. Ça nous amène à penser à :

• 2-morphismes : Morphismes entre morphismes. Par exemple, une transformation entre deux Foncteurs peut être vue comme un 2-morphisme.
• 3-morphismes : Ce sont des transformations entre 2-morphismes, et ce schéma continue.

Cette superposition de morphismes peut mener à des structures très complexes où différents types de relations peuvent être analysées.

#Le Besoin de la Théorie des Catégories Supérieures

Beaucoup de concepts en maths, comme ceux en topologie, en algèbre et en informatique théorique, nécessitent une compréhension plus nuancée des relations. La théorie des catégories traditionnelle manque souvent de détails pour capturer ces subtilités.

Par exemple, en topologie algébrique, on étudie des espaces et des fonctions continues. Les catégories supérieures aident à comprendre comment ces espaces peuvent être reliés non seulement par des fonctions (morphismes) mais aussi par des homotopies, qui sont des transformations continues de ces fonctions.

#Théorie des Catégories Enrichies

Une façon d’aborder les catégories supérieures est via la théorie des catégories enrichies. Cette théorie permet de définir des catégories où les morphismes ont une structure plus riche. Au lieu d'être juste des ensembles de flèches, ils peuvent avoir d'autres structures mathématiques, comme être dotés d'une topologie ou d'une métrique.

Par exemple, considère une catégorie enrichie sur la catégorie des espaces métriques. Dans ce cadre, les morphismes peuvent porter des informations sur des distances, permettant une analyse plus fine.

#Catégories Doubles

Les catégories doubles sont un type particulier de catégorie supérieure où on a des objets, des morphismes horizontaux, des morphismes verticaux, et des 2-cellules :

1. Objets : Les entités principales que l'on étudie.
2. Morphismes Horizontaux : On peut penser à eux comme représentant des processus qui relient les objets.
3. Morphismes Verticaux : Ils peuvent représenter des structures ou des relations supplémentaires entre objets qui pourraient ne pas être capturées par les morphismes horizontaux.
4. 2-cellules : Elles capturent les relations entre les morphismes horizontaux et verticaux.

L'interaction entre ces couches crée une structure riche pour analyser différents phénomènes mathématiques.

#Équipements Proflèches

Un des outils utilisés dans la théorie des catégories supérieures est le concept d'équipements proflèches. Ce concept capture l'idée d'une structure qui incarne à la fois les relations (morphismes) entre objets et les conditions nécessaires à ces relations dans un cadre formel.

Les équipements proflèches permettent d'étudier des propriétés universelles. Une propriété universelle décrit une certaine manière dont un objet peut être caractérisé, souvent en termes de ses relations avec d'autres objets dans le contexte d'une catégorie.

#Catégories Internes

On peut définir des catégories internes au sein d'une catégorie plus large. Ce sont des catégories qui existent dans les Limites d'une autre structure. Par exemple, on peut définir une catégorie dont les objets sont d'autres objets d'une catégorie et dont les morphismes sont des morphismes entre ces objets.

Les catégories internes introduisent la notion de "être à l'intérieur" d'une catégorie, nous permettant d'étudier les relations entre objets d'un point de vue plus localisé.

#Toposes Supérieurs

Les toposes sont des catégories qui se comportent comme la catégorie des ensembles, mais avec une structure ajoutée. Elles fournissent un contexte où l'on peut faire de la théorie des ensembles et de la logique dans un cadre catégorique. Une topos supérieure étend cette idée encore plus loin, permettant l'inclusion de structures catégoriques supérieures.

Dans les toposes supérieures, on peut étudier ces relations complexes et transformations tout en conservant les propriétés utiles des toposes, comme avoir des limites et des Colimites et la capacité de travailler avec des faisceaux.

#Foncteurs et Transformations Naturelles

Un foncteur est une correspondance entre des catégories qui préserve les structures. Il prend des objets et des morphismes d'une catégorie et les assigne à des objets et des morphismes dans une autre catégorie tout en respectant la composition des morphismes.

Les transformations naturelles sont une façon de transformer un foncteur en un autre tout en préservant la structure des catégories impliquées. Elles servent de pont entre les foncteurs, permettant de comparer comment différents foncteurs se rapportent les uns aux autres.

#Foncteurs Pleinement Fidèles

Un foncteur est dit pleinement fidèle s'il crée une correspondance un à un entre les morphismes dans les catégories qu'il relie. Cette notion nous aide à comprendre quand les foncteurs préservent la structure des catégories impliquées, permettant une analyse plus profonde des relations et propriétés.

#Limites et Colimites

Les limites et colimites sont des concepts fondamentaux en théorie des catégories. Ils capturent l'idée de combiner des objets et des morphismes de manière structurée.

• Limites : Représentent souvent une façon "universelle" de collecter des données à partir d'un diagramme d'objets et de morphismes. Par exemple, la limite d'un diagramme pourrait être vue comme un produit où tu rassembles tous les objets du diagramme.

• Colimites : Représentent une façon de "fusionner" des objets ensemble. Ils sont la notion duale des limites. Par exemple, la colimite peut être pensée comme un co-produit où tu rassembles tous les objets en une seule structure.

#Extensions Kan Point par Point

Les extensions Kan sont un moyen de généraliser la notion d'extension des foncteurs. Elles fournissent une méthode pour définir comment un foncteur peut être étendu le long d'un autre foncteur. Les extensions Kan point par point se réfèrent à la situation spécifique où l'on considère l'extension au niveau des objets et morphismes individuels.

#Conditions de Beck-Chevalley

Les conditions de Beck-Chevalley fournissent des critères pour quand certains types de carrés dans une catégorie sont "exacts". Ces conditions aident à établir des relations entre différents objets et les foncteurs qui les relient.

#Objets Initiaux et Finaux

Les objets initiaux et finaux servent de références au sein d'une catégorie :

• Objet Initial : Un objet qui agit comme une source. Chaque autre objet a un morphisme unique qui en provient.

• Objet Final : Un objet qui agit comme une cible. Chaque autre objet a un morphisme unique qui mène vers lui.

Ces concepts nous permettent de définir des limites et des colimites en termes de ces objets spéciaux, améliorant notre capacité à analyser les relations au sein d'une catégorie.

#Conclusion

La théorie des catégories supérieures représente une frontière excitante dans les maths, permettant d'explorer des relations plus profondes entre les structures. Elle fournit des outils pour analyser les catégories et leurs interactions à plusieurs niveaux, ouvrant de nouvelles avenues pour comprendre et appliquer des principes mathématiques dans différents domaines. Comprendre ces concepts permet d'apprécier la complexité et la beauté inhérentes aux théories mathématiques modernes.