Tri de Pile : Lier les Nombres et la Géométrie

Cet article parle d'un processus mathématique appelé le tri par pile, qui est une méthode pour réarranger des nombres en utilisant une technique appelée une pile. Une pile, c'est comme une tourelle où tu peux ajouter ou retirer des trucs que par le haut. L'objectif est de trier une série de nombres dans un ordre spécifique. On va voir ce qui se passe quand on applique cette méthode à différentes séquences de nombres et comment ces séquences peuvent créer certaines formes géométriques.

#Contexte sur le tri par pile

Le tri par pile consiste à prendre une séquence de nombres, à les empiler sur une pile vide, puis à les retirer pour créer une nouvelle séquence triée. Tu ne peux retirer que le nombre qui est au sommet de la pile. Cette méthode a été introduite il y a plusieurs décennies et est devenue un sujet d'intérêt en maths et en informatique.

Le processus fonctionne en prenant chaque nombre de la séquence d'origine un par un. Si la pile est vide, on pousse simplement le nombre sur la pile. Si la pile a déjà des nombres, on compare le nouveau numéro avec celui du dessus de la pile. Si le nouveau nombre est plus grand, on retire le nombre du dessus de la pile et on l'ajoute à la sortie. Si ce n'est pas le cas, on ajoute le nouveau nombre à la pile. Une fois tous les nombres traités, on retire les nombres restants de la pile pour finir le tri.

#L'étude des Permutations

Une permutation, c'est simplement une façon d'organiser une liste de nombres. Chaque arrangement unique d'un ensemble de nombres est considéré comme une permutation différente. Quand on examine comment le tri par pile affecte ces permutations, on peut en apprendre plus sur les propriétés des arrangements qui en résultent.

On se concentre sur un type spécifique de permutation qui suit un certain modèle. Ces permutations spéciales nous aident à étudier la géométrie qui surgit quand on regarde tous les arrangements possibles générés par le tri par pile.

#Géométrie et Polytopes

Quand on applique le tri par pile à différentes permutations, on peut visualiser les résultats comme des formes dans l'espace appelées des polytopes. Un polytope, c'est un terme général pour des formes qui existent dans des dimensions supérieures, tout comme un polygone est une forme en deux dimensions et un polyèdre une forme en trois dimensions.

Dans notre cas, on étudie spécifiquement un type de polytope appelé un simplex, qui peut être pensé comme un triangle de dimension supérieure. Le truc intéressant, c'est que quand on prend l'enveloppe convexe de tous les résultats du tri par pile d'une permutation spécifique, on trouve que ces résultats forment un simplex.

L'enveloppe convexe est la plus petite forme qui peut contenir tous les points générés par le tri par pile de la permutation. Ça veut dire que si on devait dessiner une forme reliant tous ces points, ça formerait un simplex.

#L'idée des points de réseau

Dans ces polytopes, on peut aussi examiner ce qu'on appelle des points de réseau. Un point de réseau est un point dans l'espace où les coordonnées sont toutes des entiers. Ces points nous aident à comprendre la structure des polytopes plus en profondeur.

Quand on étudie combien de points de réseau se trouvent à l'intérieur de nos Simplexes, on peut aussi trouver des motifs et des relations entre différents polytopes. Par exemple, on peut découvrir que deux formes différentes ont le même nombre de points de réseau.

#Permutations spéciales et leurs propriétés

On trouve des permutations spécifiques qui ont des propriétés uniques quand elles passent par l'algorithme de tri par pile. Ces propriétés nous aident à définir ce que ça veut dire qu'une permutation soit triée d'une certaine manière.

Par exemple, si une permutation garde son arrangement même après plusieurs itérations de l'algorithme de tri par pile, on l'appelle une permutation maximale. Ça veut dire simplement que c'est l'un des meilleurs arrangements possibles pour le tri avec des piles.

#La connexion entre la géométrie et le tri

En liant le comportement des permutations avec les propriétés géométriques de leurs simplexes résultants, on peut montrer que certaines familles de permutations créent des types spécifiques de simplexes dans l'espace. Ces simplexes peuvent même être creux, signifiant que tous les points entiers sont localisés sur la frontière, et qu'il n'y a pas de points entiers à l'intérieur.

De plus, ces formes géométriques donnent un aperçu de combien d'arrangements différents peuvent être formés en empilant et en triant des nombres. Cette connexion permet une compréhension plus profonde des algorithmes de tri et des formes géométriques.

#La théorie d'Ehrhart

En plus d'examiner les propriétés des polytopes et des points de réseau, on explore aussi la théorie d'Ehrhart. Cette théorie étudie comment le nombre de points de réseau à l'intérieur de formes dilatées change quand on les agrandit ou les réduit.

Une dilation, c'est simplement une version agrandie d'une forme. Par exemple, si tu prends un triangle et que tu le rends deux fois plus grand, tu l'as dilaté. La théorie d'Ehrhart nous aide à trouver la relation entre la taille d'une forme et le nombre de points de réseau qu'elle contient.

Cette théorie peut être appliquée à nos simplexes formés des permutations par tri par pile. On peut compter combien de points de réseau existent à l'intérieur de ces simplexes quand ils sont agrandis ou réduits.

#La relation entre différents polytopes

On peut aussi trouver des connexions entre différents types de polytopes basées sur les propriétés de leurs points de réseau. Par exemple, on pourrait découvrir qu'un simplex créé à partir d'une permutation a le même nombre de points de réseau qu'un cube unité ou un autre type de simplex.

Ces relations permettent d'explorer des équivalences entre différentes formes géométriques. Elles suggèrent que même si les formes peuvent avoir l'air différentes, elles peuvent partager des propriétés mathématiques profondes.

#Conclusion

En examinant le tri par pile des permutations, on a découvert une riche intersection entre la théorie des nombres, la géométrie et la combinatoire. Les formes créées par le processus de tri par pile offrent une nouvelle façon de visualiser et de comprendre les algorithmes de tri. Les connexions avec les points de réseau et la théorie d'Ehrhart approfondissent notre compréhension des polytopes et de leurs caractéristiques.

En résumé, on a pris un meilleur aperçu de comment le processus de tri des nombres utilisant des piles croise les propriétés géométriques, surtout les simplexes, et comment ces simplexes sont liées au concept de points de réseau. Cette étude propose une perspective unique sur les algorithmes de tri et la géométrie, permettant davantage d'exploration dans ces deux domaines.