Décidabilité de la séparabilité régulière pour les langages de reachabilité VASS

Le problème de séparabilité en théorie des langues concerne la recherche d'un moyen pour différencier deux langues générées par des systèmes à états infinis. En gros, on cherche à trouver un langage régulier qui peut séparer deux langues données de sorte qu'aucune chaîne n'appartienne aux deux. Cette situation se présente souvent dans l'étude de systèmes qui peuvent avoir un nombre infini d'états, comme les systèmes d'addition de vecteurs avec états (VASS).

Dans notre étude, on se concentre particulièrement sur les langues de portée VASS. Les VASS sont un type de modèle computationnel qui se compose d'états et de compteurs, qui peuvent être augmentés ou diminués à travers des transitions définies. Le problème de portée demande s'il existe une séquence de transitions qui peut amener le système d'un état initial à un état particulier.

Malgré divers progrès dans le domaine, le problème de séparabilité régulière pour les langues de portée VASS est resté ouvert pendant longtemps. Notre travail vise à combler cette lacune et présente une méthode pour déterminer la décidabilité de ce problème.

#Le Problème de Séparabilité Régulière

Les problèmes de séparabilité régulière prennent deux langues en entrée et demandent s'il existe un langage régulier qui peut les séparer. Cela signifie qu'on veut savoir si on peut trouver un langage tel que chaque chaîne de la première langue appartient soit à ce langage régulier, soit à la seconde langue, mais pas les deux.

La notion de Langages réguliers est cruciale ici, car ce sont des classes de langages qui peuvent être représentées par des automates finis. Le défi avec les problèmes de séparabilité dans les systèmes à états infinis est qu'ils ne se réduisent pas facilement à des problèmes plus établis. Le facteur distinctif est l'analyse de l'écart entre les deux langues, qui doit être évalué pour voir s'il peut être décrit par un langage régulier.

#Concepts Clés

#VASS et Portée

Un système d'addition de vecteurs avec états (VASS) se compose d'un nombre fini d'états, d'un ensemble fini de compteurs et de transitions qui définissent comment les compteurs peuvent être modifiés. Le problème de portée pour les VASS consiste à déterminer s'il existe une séquence de transitions qui mènent à un état avec certaines valeurs de compteur.

Pour nos besoins, on s'occupe spécifiquement des langues de portée, qui définissent toutes les chaînes qui peuvent amener le système d'un état initial à un état atteignable avec des valeurs de compteur spécifiées.

#Langages Réguliers

Les langages réguliers sont un sous-ensemble de langages formels qui peuvent être définis à l'aide d'expressions régulières ou reconnus par des automates finis. Ils se caractérisent par leur simplicité par rapport à des types de langages plus complexes, comme les langages sans contexte ou les langages sensibles au contexte. Cette simplicité les rend plus faciles à analyser et à manipuler.

#Procédures de Décision

Une procédure de décision est une méthode qui permet de déterminer si une propriété spécifique est vraie pour un système donné. Dans notre cas, on doit concevoir une procédure de décision qui peut déterminer si un langage régulier sépare deux langues de portée VASS.

#Le Résultat Principal

On établit que le problème de séparabilité régulière pour les langues de portée VASS est décidables. Cela signifie qu'il existe un algorithme qui peut déterminer si un séparateur régulier existe pour deux langues de portée VASS données. De plus, on prouve que ce problème est complet pour une certaine classe de complexité, ce qui donne un aperçu de sa difficulté computationnelle.

Notre approche consiste à introduire un nouvel objet de preuve appelé séquences de transition de graphes doublement marqués (DMGTS). Cet objet nous aide à suivre les propriétés nécessaires des langues que l'on souhaite séparer.

#Séquences de Transition de Graphes Doublement Marqués

Les séquences de transition de graphes doublement marqués sont un outil que l'on a développé qui permet de suivre simultanément deux langues que l'on veut analyser. Ces séquences permettent de combiner des informations sur le VASS soumis et un langage de Dyck-un type spécifique de langage sans contexte utilisé couramment en théorie des langages formels.

L'idée clé derrière les DMGTS est qu'on peut suivre les compteurs du VASS soumis tout en s'assurant que les propriétés nécessaires du langage de Dyck sont également maintenues. Ce suivi se fait modulo une certaine valeur, qui est déterminée par le processus de décomposition que l'on utilise.

#Algorithme de Décomposition

On introduit un algorithme de décomposition pour les DMGTS qui décompose efficacement les séquences en composants gérables. Cet algorithme assure que tout en séparant les langues, on maintient des propriétés critiques qui nous permettent de conclure la séparabilité.

Les DMGTS sont décomposées de sorte que l'on puisse analyser des composants plus petits et plus simples tout en préservant la structure globale. Grâce à cette approche, on peut déterminer les conditions nécessaires pour que la séparabilité soit maintenue.

#Fidélité des DMGTS

Un aspect critique de notre approche est la propriété de fidélité dans les DMGTS. La fidélité signifie que tout en suivant les propriétés nécessaires du langage de Dyck, on peut également s'appuyer sur les valeurs suivies par le VASS soumis.

En termes plus simples, cette propriété assure que si certaines valeurs intermédiaires de compteur peuvent être atteintes d'une manière spécifique, alors ces valeurs peuvent également être maintenues précisément dans des conditions normales. Cette idée est cruciale pour prouver la séparabilité et permet finalement de construire un séparateur régulier.

#Travaux Connus

Le domaine de la séparabilité régulière a vu divers résultats, notamment avec des systèmes à états infinis spécifiques. Par exemple, il a été démontré que certaines langues disjointes peuvent toujours être séparées par des langages réguliers. Cependant, le cas général pour les langues de portée VASS reste insaisissable.

Les travaux précédents ont introduit des techniques qui réduisent la complexité des problèmes de séparabilité, mais elles ne s'appliquent souvent pas de manière universelle. Nos contributions s'appuient sur ces bases mais les étendent à un contexte plus large, abordant spécifiquement les complexités uniques aux langues de portée VASS.

#Conclusion

Nos résultats démontrent que le problème de séparabilité régulière pour les langues de portée VASS est en effet décidables. Cela ouvre de nouvelles avenues de recherche dans le domaine des langages formels et de la théorie des automates. En introduisant les DMGTS et un algorithme de décomposition novateur, nous fournissons une approche systématique pour aborder ces problèmes complexes.

Les implications de notre travail sont significatives, car elles résolvent non seulement une question importante dans le domaine mais fournissent également des outils et des cadres qui peuvent être appliqués à d'autres problèmes en théorie des langages formels. Alors que le paysage de la théorie des langages continue d'évoluer, notre étude sert de tremplin pour une exploration et une compréhension plus approfondies des systèmes à états infinis.