L'évolution des maths : des nombres entiers aux nombres réels

Les mathématiques ont toujours été une source d'émerveillement, surtout quand on parle d'infini. Les anciens mathématiciens, en particulier ceux de l'école pythagoricienne, ont rencontré plein de défis concernant l'infini. Ils devaient jongler avec deux types de nombres différents : les nombres entiers et les fractions, qu'ils utilisaient en arithmétique, et les quantités continues comme les longueurs et les surfaces, qu'ils géraient de manière géométrique. Cette dualité a conduit à des développements importants dans leur compréhension et leur utilisation des nombres.

#Le Chemin vers les Nombres réels

Une des plus grandes questions en mathématiques est pourquoi ça a pris si longtemps de développer les nombres réels et le champ de l'analyse. Un dicton célèbre dit que "Dieu a créé les entiers ; tout le reste est l'œuvre de l'homme." Ça montre que, tandis que les nombres entiers sont naturels et simples, le développement de nombres plus complexes a demandé du temps et des efforts.

Les concepts qu'on utilise en mathématiques ont lentement évolué depuis l'Antiquité. Malgré les difficultés rencontrées, les mathématiciens ont fait des découvertes fascinantes. Au 20ème siècle, une base solide pour la théorie des infinitésimaux a émergé, ce qui est essentiel pour comprendre les mathématiques aujourd'hui.

Bien avant ça, Leibniz, une figure clé de cette histoire, voulait créer un système qui pourrait vérifier les preuves mathématiques. Il croyait que si on pouvait trouver un moyen d'exprimer toutes les pensées clairement et exactement, on pourrait atteindre le même niveau de certitude dans divers sujets que dans l'arithmétique et la géométrie. Cependant, à l'époque, la façon dont on exprimait les nombres et les idées en arithmétique était loin d'être complète.

#Développements des Systèmes Numériques

On voit que les nombres naturels sont compris depuis longtemps, mais les nombres négatifs n'étaient pas familiers aux gens en Europe avant environ le 14ème siècle. En Italie, un système de comptabilité qui évitait les entiers négatifs a été créé pour y faire face.

Pour définir les entiers, on commence avec les nombres entiers et on introduit le concept de classes d'équivalence. Ça nous permet de formuler une façon cohérente de gérer à la fois les nombres entiers positifs et négatifs, menant au développement des Nombres rationnels.

Tout comme les nombres naturels mènent aux entiers, les entiers peuvent être utilisés pour développer des nombres rationnels positifs. Les relations et opérations définies pour ces nombres créent une compréhension plus large de la façon dont les nombres se relient les uns aux autres.

#L'Unité de la Théorie des Nombres et de la Comptabilité

La structure de la comptabilité peut nous aider à comprendre les relations entre différents types de nombres. Par exemple, si on peut définir des opérations pour additionner des inverses et des éléments d'identité en comptabilité, on peut l'appliquer à nos systèmes de nombres. Ça aide à créer une approche unifiée pour comprendre à la fois les soldes de comptes et les quantités mathématiques.

Cependant, les nombres réels sont différents ; on ne peut pas les construire simplement en utilisant les mêmes méthodes que les entiers ou les rationnels. Au lieu de ça, ils nécessitent des méthodes de construction uniques. Les approximations et les Limites sont essentielles pour former des nombres réels, montrant le besoin d'aller au-delà des nombres entiers et des fractions.

#Fondements des Mathématiques : Raisonnement sur l'Infini

L'essence des mathématiques implique le raisonnement sur l'infini. Les premiers travaux, comme les Éléments d'Euclide, ont développé les maths en termes géométriques. Historiquement, tout ce qui ne pouvait pas être exprimé en ces termes était exclu. La géométrie a pu inclure les nombres entiers, leurs rapports, et même les nombres irrationnels.

Un exemple des contributions grecques aux mathématiques est le théorème de Pythagore. Les Grecs utilisaient aussi des preuves géométriques, représentées par des diagrammes, pour démontrer leurs idées mathématiques.

#Transition des Diagrammes aux Énoncés

Au fur et à mesure que les mathématiciens avançaient, ils ont commencé à passer des preuves intuitives utilisant des diagrammes aux preuves basées sur des séquences logiques d'énoncés. Cette transition a été fortement influencée par la découverte de l'Incommensurabilité, qui suggère qu'il existe des tailles qui ne peuvent pas être mesurées par des unités communes.

Les triplets pythagoriciens, par exemple, sont des ensembles de trois entiers représentant les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Comprendre cela a permis d'explorer plus en profondeur la nature des nombres et leurs relations.

#Le Concept d'Incommensurabilité

Le théorème de l'incommensurabilité nous amène à réaliser les limites des nombres rationnels. La preuve par contradiction est un outil vital ici. Par exemple, si on suppose qu'une unité de mesure existe pour le côté et la diagonale d'un carré et qu'on trouve une contradiction, on doit conclure qu'une telle mesure n'existe pas. Cette idée suggère finalement que tous les nombres ne peuvent pas être classés proprement en nombres entiers ou rationnels.

#Le Défi des Quantités Continues

Au fur et à mesure que les mathématiciens approfondissaient ces idées, ils se rendaient compte que les nombres entiers ne pouvaient pas rendre compte des quantités continues. Les Grecs se débattaient avec ce concept, car ils n'avaient pas développé les méthodes nécessaires pour construire de nouvelles formes mathématiques. Ils géraient deux notions différentes : les nombres discrets et les grandeurs continues.

Bien qu'ils aient fait des progrès dans l'approximation des rapports, de plus grands défis se présentaient. Leur méthode, appelée anthyphairesis, impliquait une alternance de soustractions pour déterminer les relations entre les nombres. Cependant, ce concept était limité et ne pouvait pas résoudre de nombreux problèmes, comme prouver que certains rapports sont les mêmes à cause de leur nature complexe.

#Les Paradoxes de Zénon et la Question du Mouvement

Les anciens Grecs faisaient face à des paradoxes, comme le paradoxe de la dichotomie de Zénon, qui questionnait la nature du mouvement. Selon ce paradoxe, le mouvement est impossible parce qu'on doit toujours atteindre le point médian avant d'arriver à la destination finale. Même en appliquant les distances et les vitesses, le raisonnement de Zénon suggérait qu'atteindre n'importe quelle destination nécessite un nombre infini d'étapes, menant à la conclusion que le mouvement est impossible.

Cependant, cette vision est incorrecte, car on peut atteindre notre destination dans un temps fini. Comprendre où Zénon s'est trompé ouvre la porte à une analyse plus profonde des limites et des quantités continues.

#L' Aire des Formes et les Idées sur les Cercles

Quand on examine l'aire des formes, les mathématiciens ont étudié des polygones réguliers comme les carrés et les octogones. Ils se sont rendu compte que l'aire pouvait être définie par rapport à leurs périmètres et hauteurs. Cette approche a ouvert la voie au calcul des aires des cercles également.

Malgré son attrait logique, le concept d'un cercle étant un polygone avec un nombre infini de côtés posait des défis. Les Grecs voyaient cela comme un argument incomplet, réalisant le besoin de preuves plus rigoureuses.

#Le Long Chemin vers la Preuve des Aires des Cercles

Il a fallu des siècles pour qu'une preuve solide reliant l'aire d'un cercle à son diamètre émerge. Euclide a établi quelques relations entre les cercles et les aires, mais la preuve elle-même est restée insaisissable jusqu'à ce qu'Archimède utilise une méthode plus raffinée pour arriver à la conclusion correcte.

À travers son travail, Archimède a démontré que l'aire d'un cercle est égale à l'aire d'un triangle rectangle formé avec le rayon et la circonférence. Son approche a pavé la voie à la compréhension de la relation entre les aires et leurs dimensions correspondantes.

#La Méthode de l'Exhaustion et les Infinitésimaux

La méthode de l'exhaustion utilisée par Eudoxe impliquait de raffiner continuellement les approximations pour mieux comprendre les aires. Cette technique a été cruciale pour Archimède et Euclide, leur permettant de mesurer les aires de formes complexes avec plus de précision.

Les anciens Grecs exploraient les limites alors qu'ils essayaient de définir des fonctions continues et abordaient des défis liés aux infinitésimaux. Pendant des siècles, l'acceptation et le rejet des infinitésimaux ont fluctué, menant à des débats sur leur légitimité en mathématiques.

#L'Évolution du Calcul et des Limites

Le calcul s'est développé comme un moyen d'étudier le changement continu, les infinitésimaux étant une partie critique de cette étude. Si des mathématiciens comme Descartes avaient accepté plutôt que rejeté les infinitésimaux, l'évolution du calcul aurait pu se produire beaucoup plus tôt.

Le calcul formalise l'examen du changement, tandis que l'analyse fournit la logique rigoureuse nécessaire à cette étude. La séparation des nombres entiers des quantités continues par les Grecs montrait une première prise de conscience des complications liées à la définition des limites.

#Comprendre les Nombres Réels

Les nombres réels sont définis comme des corps ordonnés complets qui satisfont à certaines propriétés. Ils sont continus et diffèrent des nombres entiers et rationnels, ce qui les rend essentiels en mathématiques modernes.

Les nombres réels permettent aux mathématiciens d'explorer des concepts mathématiques plus profonds et fournissent une base pour le calcul. À travers eux, on voit la densité des nombres rationnels et comment ils peuvent approcher les réels, illustrant encore plus le besoin d'un système numérique robuste incluant le continu.

#Conclusion

Le parcours à travers le développement des mathématiques montre l'évolution du simple comptage au monde complexe des nombres réels et de l'analyse. Ces avancées soulignent la lutte continue pour comprendre l'infini et la nature des nombres. Les efforts des anciens mathématiciens ont jeté les bases des principes mathématiques modernes et continuent d'influencer la façon dont on explore les nombres et leurs relations aujourd'hui.