Einführung von erweiterten Zeit-Petri-Netzen für komplexe Systeme

In vielen komplexen Systemen ist das Timing super wichtig. Das kann sich darauf beziehen, wann Aktionen beginnen oder wie lange sie dauern, bevor sie andere Teile des Systems beeinflussen. Petri-Netze können helfen, diese Systeme zu modellieren, weil sie Komponenten und deren Verbindungen auf eine visuelle Weise darstellen. Während normale Petri-Netze die Grundstruktur zeigen, berücksichtigen sie oft keine Zeit. In diesem Paper wird eine Erweiterung von Petri-Netzen besprochen, die die Zeit auf eine neue Weise einbezieht.

#Was sind Petri-Netze?

Petri-Netze sind ein gängiges Werkzeug, um komplexe Systeme mit vielen Komponenten und Interaktionen zu modellieren. Sie bestehen aus Orten, Übergängen und Bögen, die sie verbinden. In einem biologischen System können zum Beispiel Orte Substanzen darstellen, und Übergänge können chemische Prozesse darstellen. Token in den Orten zeigen, wie viele Elemente dargestellt werden.

Jeder Zustand eines Petri-Netzes beschreibt die Anzahl der Token an jedem Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt. Übergänge können aktiv sein, was bedeutet, dass sie feuern und Token produzieren können, aber sie müssen nicht immer sofort feuern.

#Zeit und Petri-Netze

Zeit-Petri-Netze (TPN) wurden eingeführt, um einige zeitliche Aspekte zu behandeln. Diese Netze weisen Übergängen Zeitintervalle zu, was bedeutet, dass ein Übergang erst nach einer bestimmten Zeit feuern kann. Die Idee war, zu berücksichtigen, dass Aktionen Zeit brauchen und nicht sofort passieren. Es gibt verschiedene Typen von Zeit-Petri-Netzen, wie:

1. Zeit-Petri-Netz (TPN): Ein grundlegender Typ, bei dem jeder Übergang ein Zeitintervall für die Aktivierung hat.
2. Dauer-Zeit-Petri-Netz (DPN): In diesem Typ hat jeder Übergang eine bestimmte Dauer für die Produktion von Token.
3. Intervall-zeit-Petri-Netz (ITPN): Dieser Typ erlaubt eine Reihe von Zeitwerten statt nur einem.

Jeder dieser Typen hilft, Systeme zu modellieren, in denen Timing wichtig ist, aber sie haben ihre Einschränkungen.

#Der Bedarf an erweiterten Zeit-Petri-Netzen

Das Modellieren von realen Systemen kann knifflig sein, besonders wenn die zeitlichen Daten inkonsistent oder unvollständig sind. In biologischen Systemen zum Beispiel brauchen Reaktionen Zeit, aber das Timing kann variieren. Daher entsteht der Bedarf nach einem flexibleren Modell, das sich an verschiedene Zeitwerte anpassen kann.

Die vorgeschlagenen erweiterten Zeit-Petri-Netze (xTPN) kombinieren Eigenschaften der bestehenden Typen von Zeitnetzen. Dieses neue Netz erlaubt es, verschiedene Arten von Zeitbeschränkungen gleichzeitig innerhalb eines Modells zu verwenden.

#Struktur der erweiterten Zeit-Petri-Netze

Ein xTPN fügt mehr Flexibilität hinzu, indem es verschiedene Zeitaspekte integriert:

• Übergänge können zwei Zeitintervalle haben: eines für die Aktivierung und ein anderes für die Token-Produktion.
• Orte können einen Zeitbereich für die Lebensdauer von Token zugewiesen bekommen.

Das bedeutet, dass das Modell sowohl genaue als auch ungefähre Zeitwerte enthalten kann, was es für verschiedene Anwendungen, besonders in der Biologie, geeignet macht.

#Grundlegende Definitionen

Ein klassisches Petri-Netz wird als ein Tupel von Komponenten definiert, einschliesslich Orten, Übergängen, Bögen und ihren Gewichten. In einem xTPN werden diese Komponenten mit den neuen zeitlichen Funktionen kombiniert. Jeder Übergang in einem xTPN kommt mit vier Zeitwerten.

#Zustandsdarstellung

Jeder Zustand eines xTPN besteht aus zwei Unterzuständen:

1. p-Zustand: Dieser beschreibt die Verteilung der Token und deren Lebensdauern an jedem Ort.
2. t-Zustand: Dieser beschreibt den zeitlichen Zustand der Übergänge, wie ob sie inaktiv, aktiv oder Token produzierend sind.

#Aktivierung von Übergängen

Damit ein Übergang aktiv ist, müssen bestimmte Bedingungen erfüllt sein. Ein aktivierendes Teilset von Token muss in den Eingangs-Orten vorhanden sein. Das bedeutet, es müssen genug Token vorhanden sein, die die zeitlichen Anforderungen erfüllen.

Mit der Zeit können Token altern, was beeinflusst, ob Übergänge aktiv werden können oder nicht. Wenn die erforderlichen Token nicht vorhanden sind, bleibt der Übergang inaktiv.

#Operationen auf Token

In einem xTPN können mehrere Operationen stattfinden, während die Zeit verläuft:

• Verstrichene Zeit: Erhöht die Lebensdauer jedes Tokens.
• Hinzufügen neuer Token: Dies geschieht, wenn ein Übergang seine Produktionsphase abgeschlossen hat.
• Entfernen von Tokens: Dies passiert, wenn Token ihre maximale erlaubte Lebensdauer überschreiten.

Die Operationen helfen, wie Token in verschiedenen Zuständen des Netzes interagieren.

#Transformationen innerhalb des Netzes

Eine interessante Funktion von xTPN ist die Fähigkeit, Elemente in einfachere Typen zu transformieren, die aus anderen zeitbezogenen Petri-Netzen bekannt sind. Dadurch kann ein Modell verschiedene Arten von Übergängen und Orten nutzen, ohne zusätzliche Anpassungen vorzunehmen.

#Besondere Bögen: Lese- und Hemmbogen

Das xTPN erlaubt auch spezielle Bögen wie Lese- und Hemmbögen:

• Lese-Bögen: Diese verbrauchen keine Token während der Produktionsphase eines Übergangs, können aber die Aktivierung eines Übergangs ermöglichen.
• Hemmbögen: Diese verhindern, dass ein Übergang aktiviert wird, basierend auf der Anzahl der vorhandenen Token in einem verbundenen Ort.

#Zusammenfassung

Das erweiterte Zeit-Petri-Netz zielt darauf ab, einen flexiblen Ansatz für das Modellieren komplexer Systeme zu bieten, in denen Timing wichtig ist. Durch die Bereitstellung von Möglichkeiten, verschiedene zeitliche Aspekte zu kombinieren und Transformationen zwischen Netzelementen zuzulassen, kann dieses Modell die Komplexitäten besser widerspiegeln, die oft in realen Szenarien vorkommen, insbesondere in biologischen Systemen. Die Einführung einzigartiger Operationen und Übergänge erweitert seine Anwendbarkeit in verschiedenen Forschungsbereichen.

#Fazit

Die Einbeziehung von Zeit in Petri-Netze bietet erhebliche Vorteile für das Modellieren komplexer Systeme. Die vorgeschlagenen erweiterten Zeit-Petri-Netze sind ein Schritt zur Überwindung der Einschränkungen bestehender Modelle. Mit ihrer Fähigkeit, sich an verschiedene Zeitwerte anzupassen und verschiedene Funktionen zu kombinieren, sind xTPNs ein mächtiges Werkzeug für Forscher und Praktiker. Diese Flexibilität ist entscheidend, um die dynamische Natur von Systemen genau darzustellen, insbesondere in biologischen Kontexten, in denen sich Zeitabläufe variieren können und oft unsicher sind.