Avanços na Precificação de Opções VIX com o Modelo Heston-Hawkes

O trading de volatilidade ganhou importância nas finanças, especialmente em áreas como gestão de risco, estratégia de investimento e análise de mercado. O índice VIX, criado pela Chicago Board Options Exchange em 1993, representa as expectativas do mercado para a volatilidade nos próximos 30 dias. O VIX é derivado de opções do índice S&P 100. Em 2003, um novo índice, representando opções do S&P 500, foi introduzido, permitindo que os traders avaliassem a volatilidade esperada do mercado de forma mais eficaz. Vários índices de volatilidade surgiram desde então, atendendo necessidades específicas do trading de volatilidade.

A popularidade crescente dos derivativos de volatilidade levou a um aumento na pesquisa voltada para desenvolver modelos de volatilidade estocástica eficazes para precificar esses derivativos. Esses modelos muitas vezes incluem Saltos para captar melhor o comportamento do mercado. Diferentes abordagens foram adotadas, como o uso de modelos de difusão de reversão à média ou a incorporação de saltos de Poisson para capturar mudanças repentinas na volatilidade. No entanto, modelos tradicionais muitas vezes não conseguem levar em conta o agrupamento de volatilidade, onde períodos de alta volatilidade são seguidos por mais alta volatilidade.

#Modelo de Volatilidade Estocástica Heston-Hawkes

Para resolver essas limitações, apresentamos uma fórmula de precificação semi-analítica para opções de compra do VIX usando um modelo Heston modificado que incorpora um processo Hawkes. O modelo Heston-Hawkes combina de maneira única as características do modelo Heston clássico com a natureza autoexcitante do processo Hawkes, permitindo que ele reflita melhor o fenômeno de agrupamento de volatilidade nos mercados financeiros. Este modelo assume que a volatilidade pode saltar subitamente, mas essas ocorrências estão ligadas: a ocorrência de um salto aumenta a probabilidade de saltos futuros.

No modelo Heston-Hawkes, utilizamos um processo estocástico para a volatilidade que inclui tanto um processo de reversão à média regular quanto um processo Hawkes, que é influenciado por ocorrências de saltos passados. O modelo usa estruturas matemáticas específicas que nos permitem derivar relacionamentos úteis entre a volatilidade, a intensidade dos saltos e as características do ativo subjacente.

#Precificação de Opções VIX

O objetivo central é chegar a uma fórmula para precificar opções de compra do VIX europeias. O preço dessas opções depende da volatilidade futura esperada do ativo subjacente, que é capturada no índice VIX. Isso envolve aplicar técnicas da análise de Fourier para derivar uma expressão que conecta o processo de volatilidade aos preços das opções.

Para conseguir uma precificação precisa, é fundamental garantir que o modelo seja livre de arbitragem. Isso significa que não deve haver oportunidades para os traders lucrarem garantidamente sem risco. Estabelecemos que o modelo Heston-Hawkes é de fato livre de arbitragem e identificamos medidas adequadas para a probabilidade neutra ao risco que é necessária para a precificação.

#Passos Chave na Derivação da Fórmula de Precificação

1. Caracterizando o Modelo: Definir o processo de volatilidade estocástica através de uma combinação de reversão à média e saltos autoexcitantes. Destacamos como esses processos interagem e definimos as condições que devem ser atendidas para uma precificação significativa.

2. Estabelecendo Medidas Neutras ao Risco: Provar a natureza livre de arbitragem do modelo envolve encontrar uma medida neutra ao risco adequada. Este é um passo significativo, pois garante que podemos precificar as opções de forma confiável. Definimos as medidas necessárias e confirmamos sua existência.

3. Função Característica Conjunta: Calcular a função característica conjunta para o processo de variância e a intensidade do processo Hawkes. Essa função é essencial para a transição do modelo teórico para a precificação prática.

4. Obtendo a Expressão do Índice VIX: Derivar uma expressão explícita para o índice VIX sob o novo modelo. Essa expressão mostra como o índice VIX se relaciona com a variância e a intensidade dos saltos.

5. Fórmula de Precificação Final: Combinar todos os resultados anteriores para formular a expressão final de precificação para as opções de compra do VIX. Essa fórmula vai fornecer aos traders um método para derivar preços com base nas condições atuais do mercado e expectativas.

#Discussão dos Resultados

A fórmula derivada permite aplicações práticas em trading e gestão de risco. Os traders podem estimar o valor justo das opções VIX usando dados de mercado atuais. Ao entender o comportamento da volatilidade no contexto do modelo Heston-Hawkes, eles podem tomar decisões mais informadas sobre estratégias de hedge e especulação.

#Conclusão

Resumindo, o desenvolvimento de uma fórmula de precificação semi-analítica para opções VIX sob o modelo de volatilidade estocástica Heston-Hawkes representa um avanço significativo nas finanças. Ao abordar as complexidades do agrupamento de volatilidade e da dinâmica de saltos, este modelo oferece aos traders melhores ferramentas para gerenciar os riscos associados à volatilidade do mercado. Pesquisas futuras poderiam refinar ainda mais esses modelos, incorporando características adicionais do mercado ou explorando as implicações de diferentes estratégias de trading.