Melhorando Redes Kolmogorov-Arnold com Média

A forma como os neurônios funcionam nas Redes Kolmogorov-Arnold (KANs) é baseada numa regra de Adição simples. Esse método é inspirado por um teorema específico que sugere que a adição é a principal forma de lidar com várias variáveis de uma vez. Nesta discussão, estamos buscando uma abordagem diferente que possa tornar os KANs mais úteis em tarefas do dia a dia. Nossa investigação testa várias maneiras de combinar dados nos neurônios KAN para diferentes tarefas de aprendizado de máquina.

Nossa pesquisa mostra que mudar o método de adição para usar a média pode melhorar muito o desempenho em comparação com os KANs padrão. Essa pequena mudança ajuda a manter o treinamento estável, garantindo que a entrada permaneça dentro de um intervalo adequado para a função de ativação. Essa estabilidade é importante para um aprendizado eficaz em modelos de aprendizado de máquina.

Embora o uso de adição pareça simples, vale lembrar que o teorema que a apoia é baseado numa estrutura limitada, especificamente com apenas duas camadas e alguns nós. No entanto, os KANs permitem mais camadas e nós do que o modelo original, levantando a questão: a adição ainda é o melhor método na prática para os KANs?

Para responder a isso, realizamos um estudo para descobrir qual método funciona melhor para os neurônios KAN. Testamos diferentes funções para combinar entradas em várias tarefas de classificação em aprendizado de máquina. Os resultados mostraram que usar a adição não é a melhor opção para dados de alta dimensão, onde existem muitas características. A adição pode empurrar os valores das entradas além dos limites da próxima função de ativação, causando problemas no treinamento e reduzindo a capacidade do modelo de generalizar para novos dados. Como solução, recomendamos usar a média em vez da adição nas funções dos neurônios. A média ajuda a manter as entradas dentro dos limites certos para as Funções de Ativação, enquanto ainda se alinha com o teorema mencionado anteriormente.

Nosso estudo também analisou possíveis problemas em manter as entradas dentro desses limites ao usar funções de ativação treináveis em KANs. Descobrimos que soluções comuns, como a Normalização de Camada, não resolvem efetivamente esse problema.

#Entendendo o Teorema da Representação de Kolmogorov-Arnold

Esse teorema afirma que qualquer função contínua com múltiplas entradas pode ser expressa usando funções simples junto com adição. A principal conclusão é que a adição serve como a operação central para combinar múltiplas entradas.

#O Que São Redes Kolmogorov-Arnold?

Nos KANs, uma camada é formada por múltiplas entradas e saídas organizadas como um arranjo unidimensional de funções. Essa configuração leva a um gráfico de computação semelhante a uma rede neural de duas camadas, onde as funções de ativação são aplicadas às entradas e camadas ocultas. No entanto, encontrar funções adequadas com transições suaves usando essa rede mais simples pode ser desafiador. Para contornar isso, a ideia foi expandida para criar redes que podem crescer mais largas e profundas, parecendo redes neurais tradicionais.

#Nosso Estudo e Descobertas

No nosso estudo, testamos nove métodos diferentes para combinar entradas-adição, mínimo, máximo, multiplicação, média, desvio padrão, variância, mediana e norma-em dez conjuntos de dados diferentes. Usamos uma configuração de KAN de duas camadas que nos permitiu examinar muitas combinações únicas desses métodos. Cada conjunto de dados passou por todas as combinações, e então classificamos seu desempenho.

Na primeira parte do estudo, analisamos de perto como diferentes métodos se saíram. Os dois melhores métodos foram a média e o desvio padrão, cada um aparecendo várias vezes nas dez melhores classificações. A média se destacou como a melhor opção, enquanto os outros mostraram resultados variados. Decidimos focar na média daqui pra frente, já que ela consistentemente produziu os melhores resultados. O método da média se encaixa bem com o teorema fundamental mencionado anteriormente, já que essencialmente modifica a forma como as combinações de entradas são processadas.

Nossa teoria é que o método da média funciona melhor do que a adição porque pode manter os valores de entrada dentro dos limites certos da função de ativação, o que pode ajudar a prevenir resultados imprevisíveis. Os KANs geralmente esperam que os valores fiquem entre -1,0 e +1,0. Se os valores ultrapassarem esse intervalo, isso pode causar problemas na forma como o modelo se ativa. A abordagem da média ajuda a reduzir os valores de saída dos neurônios, tornando mais provável que eles fiquem dentro do intervalo esperado.

Durante o treinamento, comparamos com que frequência os valores dos neurônios permaneceram dentro dos limites esperados usando ambos os métodos. À medida que o número de características aumentava, os KANs regulares lutavam para manter os valores dentro do intervalo. Observamos que usar a Normalização de Camada ajudou a centralizar as saídas dos neurônios, mas não garantiu conformidade com o intervalo exigido. Com o método da média, os neurônios mantiveram os valores certos em conjuntos de dados que tinham 20 ou mais características, e mesmo com menos características, os valores ficaram dentro dos limites mais de 99% do tempo.

#Experimentando Diferentes Métodos

Na segunda parte do nosso estudo, comparamos três versões de KAN para ver qual performava melhor. A primeira era o KAN padrão com adição. A segunda incluía Normalização de Camada nas camadas intermediárias. A terceira versão trocou a adição pela média. Rodamos cada versão em 20 sessões de treinamento independentes com cada conjunto de dados e analisamos estatisticamente a precisão dos resultados dos testes.

Os resultados mostram que usar a média levou a um melhor desempenho em precisão em todos os dez conjuntos de dados em comparação com o KAN padrão. Na verdade, o método da média teve um desempenho melhor que o KAN padrão em sete conjuntos de dados. O método da média também se mostrou mais estável, apresentando menos variabilidade nos resultados.

Embora adicionar Normalização de Camada melhorasse a precisão do KAN regular em quatro ocasiões, a versão que usou a média ainda se saiu melhor do que a com normalização.

#Trabalhos Relacionados

Pesquisas anteriores estabeleceram que os KANs se saem melhor do que perceptrons multicamadas (MLPs) típicos quando se trata de ajustar dados usando menos parâmetros. Muitos estudos confirmaram a eficácia dos KANs em áreas como processamento de imagens, previsão de séries temporais, análise de dados tabulares, e até em tarefas mais complexas como design de engenharia e previsões de sequências de DNA. No entanto, alguns estudos levantaram preocupações sobre os KANs serem sensíveis ao ruído, levando a um desempenho pior quando o ruído foi introduzido. Também existem casos onde os KANs não superaram os MLPs, indicando que, embora os KANs tenham forças, eles também têm algumas fraquezas.

Pesquisadores também começaram a olhar para variações e melhorias na configuração padrão dos KANs, explorando opções como estruturas baseadas em grafos, tipos convolucionais e até designs baseados em transformadores. Algumas dessas melhorias trouxeram métodos de dropout para as camadas KAN a fim de ajudar com a generalização. Outros exploraram o uso de diferentes abordagens para funções de ativação, como wavelets e funções sinusoidais. Notavelmente, nossa ideia de usar uma média no lugar da adição poderia ser facilmente aplicada a esses novos modelos sem muito esforço extra.

Em resumo, propomos que substituir a adição nos neurônios KAN por Médias pode melhorar muito a estabilidade do treinamento e manter as entradas bem dentro da faixa efetiva para as funções de ativação, tornando-a uma candidata mais forte para aplicações práticas. Essa ideia se alinha com a teoria estabelecida e visa permitir que os KANs tenham um desempenho melhor em várias tarefas.