AI e Dimostrazioni Matematiche: Un Nuovo Approccio

Scrivere dimostrazioni matematiche formali può essere complicato come cercare di piegare un lenzuolo con l'elastico. Che tu sia un umano o un computer, può sembrare un puzzle infinito. Recentemente, alcune persone intelligenti hanno pensato: "Ehi, perché non usiamo l'IA per darci una mano?" Hanno esaminato un tipo speciale di problemi matematici chiamati problemi IMO dell'Olimpiade Internazionale di Matematica.

Adesso, questi problemi matematici vanno da moderati a veri rompicapo. Sai, quel tipo di problemi che ti fanno grattare la testa e chiederti se sai anche solo sommare. Il team voleva scrivere dimostrazioni formali usando uno strumento chiamato Lean, che è un linguaggio di programmazione per le dimostrazioni matematiche. Loro miravano a risolvere alcuni di questi problemi difficili usando l'IA, e ciò che hanno trovato è stato piuttosto affascinante.

#La Sfida delle Dimostrazioni Matematiche

Gli esseri umani fanno fatica a scrivere dimostrazioni matematiche formali, e i computer non sono proprio dei maghi in questo. Anche alcuni dei cosiddetti modelli avanzati di IA faticano. Il dataset miniF2F, che viene spesso utilizzato come benchmark per la prova automatica dei teoremi, contiene 20 problemi IMO, ma oltre la metà di essi manca di dimostrazioni formali. Quindi, perché è una grande questione? Beh, quando un computer afferma di poter risolvere un problema ma non ha una dimostrazione adeguata a supportarlo, è come dire di essere un fantastico cuoco ma limitarsi a scaldare pizze surgelate.

Molti modelli di IA, come GPT-4, trovano difficile dimostrare correttamente questi problemi matematici. A volte possono essere fortunati, ma quando si tratta di problemi più difficili, è come vedere un bambino piccolo cercare di allacciarsi le scarpe-un sacco di impegno, ma poco successo.

#Espandere il Pool di Dimostrazioni

Per aiutare a ottenere più dimostrazioni formali, il team ha deciso di scrivere dimostrazioni originali per 13 dei 20 problemi IMO nel dataset miniF2F, più alcuni extra degli anni più recenti. In totale stiamo parlando di 5.150 righe di dimostrazione-più lunghe di alcuni romanzi! Questo enorme sforzo facilita la vita ai futuri ricercatori che vogliono imparare ed esperimentare con questi problemi.

Non si sono fermati qui. Hanno anche suddiviso queste dimostrazioni in pezzi più piccoli, chiamati Lemmi. Pensa a questi lemmi come ai mattoncini delle dimostrazioni matematiche. Il team ha creato circa 900 lemmi con circa 25.500 righe di codice Lean. Adesso, sono tanti mattoncini matematici! Questi lemmi sono più facili da usare e forniscono un percorso più chiaro per i modelli di IA per apprendere.

#Valutare le Abilità di Scrittura delle Dimostrazioni dell'IA

Dopo aver generato questi lemmi, il team ha deciso di mettere alla prova le abilità di scrittura delle dimostrazioni di GPT-4. Spoiler: non è andata come speravano. L'IA ha faticato a scrivere dimostrazioni corrette, il che è stato sorprendente visto tutto il tech sofisticato che c'è dietro. Hanno usato varie tecniche di prompt, tra cui Zero-Shot prompting (chiedendo di fare direttamente) e Chain-of-Thought reasoning (guidando passo passo). Ma comunque, il robot non ha brillato.

Ciò che è stato ancora più interessante è stato notare che GPT-4 ha performato meglio sui problemi IMO più vecchi rispetto a quelli più recenti. I problemi più vecchi sembravano essere un po' più amichevoli, come una giornata estiva calma, mentre quelli più recenti erano più simili a una notte tempestosa-difficili e complicati da affrontare.

#Perché l'IA Ha Bisogno di Dati di Alta Qualità

I modelli di apprendimento automatico, come una persona affamata, hanno bisogno di dati di alta qualità per prosperare. Più buoni dati gli dai, meglio performano. Il successo di molti sistemi di apprendimento automatico può spesso essere ricondotto a un'abbondanza di dati di addestramento di qualità. Per esempio, ImageNet ha avuto un grande ruolo nella visione artificiale. Ma quando si tratta di matematica, le risorse disponibili sono piuttosto scarse.

Il dataset miniF2F non ha abbastanza dimostrazioni di qualità per molti dei suoi problemi. La maggior parte dei modelli di IA fallisce perché manca di solidi esempi da cui apprendere. È come cercare di imparare a andare in bicicletta senza mai vedere nessuno farlo prima. Quando un modello tenta di risolvere un problema matematico e fallisce, è difficile capire dove ha sbagliato poiché non c'è un buon punto di riferimento.

#L'Olimpiade di Matematica: Un Nocciolo Duro da Spezzare

L'Olimpiade Internazionale di Matematica presenta una sfida unica. I problemi vengono svelati solo il giorno dell'esame, e ogni anno diventano più difficili. Quindi, se un modello di IA vuole farsi notare, deve essere reattivo e capace di gestire l'ignoto. Usare problemi passati come pratica non è sufficiente, perché ogni anno gli studenti affrontano nuove sfide che sono intenzionalmente ingannevoli.

Per preparare un'IA per l'Olimpiade di Matematica, i ricercatori devono usare metodi di valutazione rigorosi. Devono verificare se l'IA è in grado di generalizzare il proprio apprendimento di fronte a un nuovo insieme di problemi più difficili. Se stai cercando di vincere una medaglia d'oro e hai solo praticato con cose facili, potresti tornare a casa a mani vuote.

#Stato Attuale dei Dataset Matematici

Il dataset miniF2F è composto da vari teoremi matematici sui quali gli studenti vengono messi alla prova. Tra i 244 teoremi, 20 provengono dall'IMO, e la loro difficoltà varia notevolmente. Alcuni richiedono una dimostrazione in una sola riga, mentre altri necessitano di centinaia di righe. Avere successo nei problemi più semplici non garantisce successo in quelli più difficili. Quindi, se un modello dice di essere bravo, è essenziale guardare oltre le semplici percentuali.

L'attuale campione di questo dataset, LEGO-Prover, è riuscito a dimostrare solo uno dei problemi IMO. Nel frattempo, metodi come HTPS possono gestire più problemi ma spesso affrontano difficoltà con enunciati che sono o semplificati o mal formulati. È come dire di poter vincere una gara solo perché sei riuscito a terminare una breve corsa.

#Un Nuovo Approccio alla Decomposizione delle Dimostrazioni

Il team ha realizzato che per molti problemi, le dimostrazioni formali non erano disponibili al pubblico. Così hanno affrontato questi problemi complessi e hanno condiviso le loro dimostrazioni formali in Lean. Hanno scomposto ogni dimostrazione in lemmi più piccoli. Questo processo ha reso le sfide complesse più gestibili, permettendo ad altri di studiarle e imparare da esse.

I lemmi variano in difficoltà e coprono una varietà di argomenti. Mentre alcuni sono semplici e diretti, altri richiedono un pensiero più profondo. Hanno persino evitato problemi facili che Lean potrebbe dimostrare automaticamente. Invece, si sono concentrati su sfide reali dove le menti-umane o IA-avrebbero dovuto essere coinvolte.

#Testare GPT-4: Sperando in un Miglioramento

Per vedere se GPT-4 potesse migliorare, il team gli ha chiesto di scrivere dimostrazioni formali per i loro lemmi. Hanno fornito istruzioni dettagliate e hanno rivisto le dimostrazioni informali di GPT-4 accanto a quelle formali. Sorprendentemente, anche dopo ampie sollecitazioni e feedback, GPT-4 ha faticato con l'accuratezza. Era come dire a qualcuno ripetutamente come fare un panino, e loro alla fine ti servono un'insalata invece.

Nella maggior parte dei casi, GPT-4 semplicemente non riusciva a fornire le risposte giuste. Il team ha fornito feedback e gli ha chiesto di correggere gli errori, ma sembrava di cercare di insegnare a un gatto a riportarti la palla. Hanno interagito con GPT-4 più volte, ma dopo dieci tentativi, hanno deciso di fermarsi.

#Uno Sguardo più da Vicino ai Lemmi

Ognuno dei lemmi nel nuovo dataset ha una dimostrazione formale in Lean, fondamentale per chiunque cerchi di comprendere questi problemi. Il team ha costruito 907 lemmi con livelli di difficoltà che vanno da facili a complessi. Questi mattoncini sono essenziali per chiunque desideri comprendere meglio la scrittura delle dimostrazioni, poiché forniscono un percorso per affrontare problemi matematici più intricati.

Per esempio, alcuni lemmi sono relativamente semplici, coinvolgendo la dimostrazione di proprietà basilari dei numeri. Altri sfidano il risolutore a pensare criticamente su funzioni e relazioni tra numeri. Molti sono ancora difficili, anche quando scomposti, ma questa è la bellezza della matematica-c'è sempre qualcosa di nuovo da imparare.

#Rendere le Dimostrazioni Accessibili

Le dimostrazioni formali create dal team sono state condivise con la comunità per aiutare tutti a comprendere il lavoro che c'è dietro la scrittura di una dimostrazione formale. Queste possono anche aiutare a identificare errori in dimostrazioni informali che circolano online. Il team si propone di mostrare quanto possano essere utili e dettagliate le dimostrazioni formali, specialmente quando si guardano argomenti più complicati.

Rendendo queste dimostrazioni disponibili, stanno contribuendo a una comprensione più ampia della matematica. Anche i non matematici possono vedere lo sforzo coinvolto nelle dimostrazioni formali, e i matematici possono usarle per affinare i loro approcci informali.

#Punti Chiave

Il progetto aiuta a far luce sulle difficoltà di formalizzare le dimostrazioni e sottolinea l'importanza di dati di alta qualità nell'addestramento dei modelli di IA. Anche se GPT-4 ha faticato notevolmente, questo lavoro ha gettato le basi per futuri progressi.

Il team spera che fornendo una ricchezza di dimostrazioni formali e lavorando attraverso i lemmi, possano incoraggiare più successi nell'area della prova automatica dei teoremi. Considerano questo un passo avanti nel lungo cammino verso la costruzione di IA capaci di affrontare problemi matematici di alto livello come quelli dell'Olimpiade di Matematica.

#Esplorazioni di Direzioni Future

Anche se il team ha affrontato sfide con GPT-4, rimangono ottimisti. Il loro obiettivo di sviluppare un modello che possa dimostrare efficacemente i lemmi nel loro dataset è ancora vivo. Ogni tentativo, anche se imperfetto, serve a informare il futuro dell'IA nella matematica.

Il progetto apre anche strade per modelli di IA più robusti che possano comprendere dimostrazioni complesse e connettere idee in modi nuovi. Non mancano le sfide nel mondo della matematica, e l'IA può svolgere un ruolo critico nel superare ulteriormente quei limiti.

#Conclusione

In sintesi, lo sforzo di scrivere dimostrazioni formali per i problemi IMO usando Lean offre un grande potenziale per lavori futuri nella prova automatica dei teoremi. Anche se il viaggio è complesso e pieno di ostacoli inaspettati, ogni passo fatto ci avvicina a una comprensione più profonda di come l'IA possa assistere nel mondo della matematica.

Mentre i ricercatori continuano a perfezionare i loro metodi e a migliorare le capacità dei modelli, potremmo presto vedere sistemi di IA in grado di affrontare i problemi impegnativi proposti nelle competizioni matematiche in modo efficace-o almeno avvicinarsi abbastanza da non imbarazzarsi di fronte alla comunità matematica. Chissà? Un giorno potremmo avere un'IA in grado di brillare all'Olimpiade di Matematica, ma fino ad allora, dovremo continuare a esercitarci con quelle dimostrazioni, un lemma alla volta.