Construire une TQFT avec des catégories de rubans

Une théorie quantique des champs topologique en trois dimensions (TQFT) est un cadre mathématique qui relie la topologie et la physique quantique. Elle décrit comment attribuer des valeurs numériques à des formes en trois dimensions, connues sous le nom de 3-manifolds. Cette attribution se fait à travers des fonctions spécifiques, nous permettant de tirer des invariants de ces formes. Un aspect important est comment les TQFT peuvent donner des aperçus précieux sur des concepts comme les invariants de Reshetikhin-Turaev et les classes de mappings sur des surfaces fermées.

Dans ce travail, nous allons explorer une généralisation de la manière de construire une TQFT en utilisant des catégories en ruban. Ces catégories aident à représenter certaines structures qui jouent un rôle essentiel dans la construction de notre théorie. L'article examinera comment représenter les 3-manifolds à travers des enchevêtrements et comment ces enchevêtrements peuvent mener à une TQFT interne bien définie.

#Préliminaires Catégoriques

#Catégories en Ruban

Une catégorie en ruban est un cadre structuré qui inclut des objets et des morphismes, avec certaines propriétés spécifiques qui permettent de manipuler ces éléments. Ces catégories possèdent un produit tensoriel, et le morphisme d'identité préserve la structure nécessaire. Chaque objet a des éléments duaux, qui jouent un rôle crucial dans la fonction de la catégorie.

#Catégories Modulaire et Premodulaire

Les catégories peuvent être divisées en types modulaire et prémodulaire en fonction de certaines propriétés. Une catégorie modulaire a des matrices inversibles qui facilitent les interactions fluides entre les objets, tandis qu'une catégorie prémodulaire permet une certaine flexibilité dans sa structure. Chaque catégorie présente des caractéristiques uniques qui affectent la manière dont les TQFT peuvent être construites.

#Coend d'une Catégorie en Ruban

Le coend d'une catégorie en ruban encapsule une partie vitale de la structure, permettant des interactions étendues entre les morphismes. Cette propriété unique contribue à la nature intrinsèque de la catégorie, fournissant une base pour construire des invariants du 3-manifold.

#Morphisme Universel

Dans le contexte des catégories en ruban, les Morphismes universels servent d'outils fondamentaux pour construire nos théories. Ces morphismes aident à relier divers morphismes au sein de la catégorie et peuvent être utilisés pour dériver de nouvelles relations et propriétés.

#TQFT avec Anomalie

Dans notre discussion, nous allons définir une TQFT avec une anomalie. Ce concept émerge lorsque l'on considère des foncteurs qui associent des éléments d'une catégorie à des espaces linéaires tout en maintenant un certain degré de liberté ou de déviation dans des mappings spécifiques. L'aspect anomalie introduit de la complexité dans notre approche pour construire et comprendre les TQFT.

#Functorialité et Composition

La construction des TQFT suit des règles spécifiques qui dictent comment différentes catégories interagissent. La functorialité assure que les relations entre les catégories restent cohérentes. Cette propriété joue un rôle clé lors de la composition des cobordismes, qui sont critiques pour définir les TQFT.

#TQFT Interne

#Éléments Admissibles

Pour construire une TQFT interne significative, nous devons définir des éléments admissibles dans notre cadre. Ces éléments répondent à certains critères qui nous permettent de dériver des foncteurs et des structures bien définis à partir de nos catégories en ruban. En établissant ces conditions, nous pouvons garantir que notre TQFT maintienne son intégrité structurelle et produise des résultats cohérents.

#Calcul de la TQFT Interne

La capacité à calculer la TQFT interne repose sur notre compréhension du coend et des morphismes structurels qui en découlent. Ces calculs révéleront les relations substantielles reliant différentes parties de notre théorie, menant à des aperçus et des prévisions plus clairs sur le comportement de différentes formes et leurs transformations.

#Applications aux Cas Modulaire et Premodulaire

Notre TQFT peut être appliquée dans différents contextes, notamment au sein des catégories modulaire et prémodulaire. En examinant les propriétés spécifiques de ces catégories, nous pouvons établir des connexions entre diverses TQFT et améliorer notre compréhension de leurs implications dans des notions mathématiques plus larges.

#Conclusion

Cette exploration dans le domaine des TQFT internes de Reshetikhin-Turaev dévoile les relations complexes entre la topologie, la théorie quantique et les structures catégoriques. En plongeant plus profondément dans les catégories en ruban et leurs propriétés, nous pouvons construire des outils puissants pour analyser et calculer des invariants pour les 3-manifolds, offrant une compréhension plus claire de leurs caractéristiques géométriques et topologiques. De plus, notre travail permet de futures avancées dans l'étude des TQFT et de leurs applications à travers différents domaines mathématiques. En nous appuyant sur les bases posées, nous sommes impatients de découvrir de nouveaux aperçus et connexions qui résident dans les mathématiques de la forme et de l'espace.