Vinculando Modelos de Acción Masiva y Modelos de Enfermedades en Red

El modelado de enfermedades infecciosas ayuda a prever brotes y evaluar estrategias de prevención. Un tipo común de modelo es el modelo de acción masiva, que supone que todos en una población se mezclan de manera uniforme. Aunque esta suposición no siempre es cierta, estos modelos aún ofrecen información valiosa sobre cómo se propagan las enfermedades. Por otro lado, los Modelos de Red consideran que las personas no se mezclan de manera uniforme, lo que es especialmente relevante para enfermedades transmitidas en círculos sociales específicos, como las infecciones de transmisión sexual.

A pesar del trabajo realizado en modelos de acción masiva y modelos de red, la relación entre ellos no está completamente clara. Este artículo busca cerrar esa brecha mostrando cómo una regla de propagación puede vincular la diseminación de enfermedades en una red completamente conectada con modelos de acción masiva clásicos. Además, presentamos un método para adaptar la propagación epidémica en varias redes para que se asemeje a los modelos de acción masiva. También ofrecemos una base teórica para nuestro enfoque y demostramos sus ventajas usando datos sintéticos derivados de una red real.

Entender cómo se propagan las enfermedades es clave para predecir brotes y mejorar las estrategias de prevención. Históricamente, el modelado de enfermedades infecciosas ha jugado un papel crucial en este campo. La investigación más temprana relacionada data del trabajo de Bernoulli en 1760. El tipo más común de modelos de enfermedades infecciosas son los modelos compartimentales de acción masiva, ampliamente utilizados para analizar varias cepas de gripe. Estos modelos suponen que todos los individuos en una población se mezclan libremente. Su simplicidad y sólida base teórica permiten hacer predicciones precisas sobre diferentes enfermedades.

Sin embargo, las enfermedades de transmisión sexual, como el VIH, presentan desafíos para los modelos de acción masiva. Estas enfermedades se propagan principalmente a través de redes sociales específicas en lugar de mediante la mezcla general de la población. Como resultado, los investigadores han explorado cada vez más la propagación de enfermedades en redes. Aunque ha habido mucho interés en la epidemiología de redes, la mayoría de los estudios se han centrado en encontrar soluciones para redes estáticas o cambiantes, ignorando cómo estos modelos se conectan con los modelos de acción masiva.

Identificar el vínculo entre modelos de acción masiva y modelos de red es esencial, ya que puede revelar cómo las características de la red influyen en la propagación de enfermedades y permitir a los investigadores utilizar resultados bien conocidos de modelos clásicos. El primer intento notable de explorar esta relación fue por Keeling en 2005, quien sugirió un modelo de acción masiva modificado que se alineaba mejor con las predicciones de los modelos de red al vincular la Tasa de transmisión a características específicas de la red.

La principal diferencia entre los modelos de acción masiva y los basados en redes es su estructura. Los modelos de acción masiva suponen un grafo de contacto completamente conectado, mientras que los modelos basados en redes típicamente representan interacciones más complejas. Para conectar estos dos tipos de modelos, primero analizaremos cómo se propagan las enfermedades en grafos completamente conectados. Hay múltiples maneras de describir el proceso de propagación en redes, como usando el método de Gillespie o la infectividad por grado. El método de infectividad por grado es probablemente la técnica más común, donde cada individuo infectado tiene una probabilidad fija de pasar la enfermedad a sus vecinos no Infectados en cada punto en el tiempo.

Para conectar los dos modelos, el proceso de propagación en grafos completamente conectados debería generar los mismos resultados, sin importar qué regla de propagación se use. Sin embargo, bajo el método de infectividad por grado, las infecciones en grafos completamente conectados son siempre menos que las predicciones del modelo de acción masiva. Esta discrepancia surge porque el modelo de red crea nuevas infecciones localmente y luego las combina globalmente, mientras que el modelo de acción masiva genera infecciones globalmente y las distribuye al azar.

Para abordar este problema, proponemos una nueva regla de propagación para la propagación en red que elimina este sesgo. Adicionalmente, basándonos en la regla propuesta, presentamos estrategias para utilizar la estructura de la red para ajustar los modelos de acción masiva para reflejar mejor la propagación de enfermedades en redes. También brindamos apoyo teórico para nuestros métodos y demostramos su efectividad usando simulaciones y datos sintéticos.

Este artículo está organizado en varias secciones. La primera sección explora los modelos clásicos de acción masiva y nuestro proceso de propagación propuesto en redes. La segunda sección describe el método de aproximación para nuestro proceso de propagación y proporciona justificación teórica. La tercera sección compara el comportamiento temprano de las epidemias usando tanto modelos de red como de acción masiva. La cuarta sección se centra en el análisis de datos, mostrando las ventajas de aplicar nuestros métodos para analizar epidemias en redes. Finalmente, resumimos nuestras contribuciones y sugerimos direcciones para futuras investigaciones.

#Modelos de Acción Masiva

Los modelos de acción masiva son ampliamente utilizados en el estudio de enfermedades infecciosas debido a su simplicidad. Suponen que cada individuo se mezcla de manera uniforme con otros, resultando en un patrón de contacto completamente conectado. Esta sección revisa diferentes procesos de acción masiva como SI (Susceptible-Infectado), SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado) y SITAD (Susceptible-Infectado-Tratado-SIDA-Fallecido).

#Proceso SI

En el proceso SI, los individuos en una población se dividen en dos grupos: Susceptibles e infectados. Si el tamaño total de la población se denota como (N), dejemos que (S) e (I) representen el número de individuos susceptibles e infectados, respectivamente. Un parámetro clave es la tasa de transmisión (\beta). Los estados dinámicos evolucionan utilizando probabilidades específicas.

#Proceso SIR

El proceso SIR divide la población en tres categorías: susceptibles, infectados y recuperados. Deje que (S), (I) y (R) representen el número de individuos en cada grupo. Los parámetros se actualizan en base a la tasa de transmisión (\beta) y la tasa de recuperación (\gamma).

#Proceso SITAD

El proceso SITAD es una versión simplificada del modelo VIH/SIDA donde la población se divide en cinco categorías: susceptibles, VIH positivos, SIDA, tratados y fallecidos. Similar a los otros procesos, su estado dinámico cambia con el tiempo basado en tasas específicas.

#Modelos de Red y Proceso de Propagación Propuesto

Los modelos de red consideran que las personas no se mezclan uniformemente y se basan en la estructura de la red para definir cómo se propagan las enfermedades. Para simplificar, asumimos una estructura de red fija con un individuo infectado inicial conocido. Varios métodos pueden definir cómo se propaga la enfermedad en redes, incluyendo la infectividad por grado y métodos de infectividad unitaria. El método de infectividad por grado se utiliza comúnmente, donde cada persona infectada tiene una probabilidad fija de pasar la enfermedad a individuos no infectados cercanos.

Para evaluar la conexión entre modelos de red y de acción masiva, primero examinamos ambos modelos en grafos completamente conectados. Dado que las topologías de los dos modelos coinciden, esperamos comportamientos similares. Sin embargo, el modelo de red resulta en menos infecciones debido a las dinámicas de transmisión local. Esto lleva a una brecha persistente en las predicciones.

Para abordar este problema, proponemos una nueva regla de propagación para redes completamente conectadas que asegura un emparejamiento preciso con los modelos de acción masiva. Bajo esta regla, primero calculamos la tasa total de transmisión y luego generamos el número de nuevas infecciones basado en esta tasa. Las nuevas infecciones se asignan a individuos susceptibles utilizando una muestra aleatoria ponderada, donde el peso de cada individuo susceptible corresponde al número de vecinos infectados que tienen.

Al emplear esta nueva regla de propagación en redes completamente conectadas, mostramos que el número de infecciones coincide con las predicciones de los modelos de acción masiva. Esta regla elimina efectivamente el sesgo observado en el método de infectividad por grado, que constantemente subestimaba las infecciones.

#Aproximaciones al Proceso de Propagación Propuesto

La simulación es la forma más directa de estudiar la propagación de enfermedades en redes. Aunque este enfoque proporciona información valiosa, no ofrece una comprensión teórica completa del proceso de propagación. Muchos investigadores se han centrado en la regla de infectividad por grado, pero estos métodos a menudo no consideran toda la estructura de la red.

Describimos un enfoque alternativo para entender mejor la relación entre modelos de red y de acción masiva. Este enfoque implica crear sistemas de ecuaciones similares a los de los modelos de acción masiva mientras se incorpora la topología de la red.

Para el proceso SI, reemplazamos el parámetro de acción masiva con uno nuevo que captura la información de la red. La matriz de transmisión se define basada en la topología de la red y rige cómo se propagan las enfermedades a través de la red.

El comportamiento de la propagación de enfermedades en la red puede describirse usando esta nueva matriz de transmisión. Al resolver ecuaciones para cada estado, podemos obtener el número promedio de individuos infecciosos a lo largo del tiempo, proporcionando una mejor comprensión de la dinámica de la red.

#Comportamiento Temprano del Proceso SIR Propuesto en Redes

Exploramos el número reproductivo del proceso SIR propuesto en redes, que indica el potencial de propagación de la enfermedad. El número reproductivo básico puede calcularse, mostrando que las redes son menos propensas a experimentar epidemias en comparación con los modelos de acción masiva.

A medida que observamos redes de varios tamaños, vemos que el número reproductivo efectivo puede variar según cómo se infecten los individuos. Esto significa que para una red dada, el patrón de interacciones puede influir significativamente en la dinámica de la enfermedad.

Finalmente, abordamos si el proceso de propagación en red podría ser más agresivo que el modelo de acción masiva. Si bien el número reproductivo efectivo generalmente está limitado por el del modelo de acción masiva, hay casos en que la estructura de la red permite una propagación de enfermedad más rápida.

#Análisis de Datos

En esta sección, comparamos el rendimiento de nuestros procesos de propagación modificados con los procesos de propagación en red propuestos. Al simular tres modelos específicos, evaluamos qué tan bien estos enfoques predicen el número promedio de infecciones a lo largo del tiempo.

Además, utilizamos datos sintéticos de redes para demostrar las ventajas de nuestros procesos de propagación modificados en la estimación de parámetros del modelo. Al analizar datos de redes del mundo real, mostramos que los modelos de red superan a los modelos de acción masiva tanto en eficiencia computacional como en precisión de predicciones.

Realizamos estudios de simulación para diferentes modelos, generando estructuras de red basadas en modelos establecidos y usándolos para examinar cómo se propagan las enfermedades. Al promediar los resultados de estas simulaciones, podemos verificar aún más nuestro enfoque.

#Conclusión

En este trabajo, examinamos la conexión entre los modelos de red y los modelos de acción masiva. Propusimos una nueva regla de propagación que permite un emparejamiento exacto entre la propagación de enfermedades en redes y modelos clásicos de acción masiva bajo condiciones específicas. Además, desarrollamos procesos de propagación modificados que se asemejan a los modelos de acción masiva mientras conservan características de red.

Nuestros resultados destacan las diferencias entre estos dos enfoques de modelado e ilustran la importancia de la topología de red en la comprensión de la dinámica de las enfermedades. Al extender nuestros hallazgos para incluir modelos más complejos, alentamos más investigaciones sobre cómo la ciencia de redes puede informar estrategias de prevención y control de enfermedades.

La principal limitación de este enfoque es que asume una estructura de red fija. En realidad, las redes pueden cambiar con el tiempo, lo que podría afectar la dinámica de la propagación de la enfermedad. La investigación futura podría investigar cómo se adaptan estos modelos a redes en evolución y explorar factores epidemiológicos adicionales.

En general, nuestro trabajo enfatiza la importancia de integrar modelos de red y de acción masiva para mejorar nuestra comprensión de las enfermedades infecciosas y mejorar los resultados de salud pública.