Migliorare la simulazione dei sistemi quantistici multi-livello

I simulatori quantistici attuali usano principalmente qubit, il che li rende adatti per simulare sistemi quantistici a due livelli. Tuttavia, molti sistemi naturali coinvolgono più di due livelli, come spin superiori, bosoni, modi di vibrazione e elettroni itineranti. Per simulare questi sistemi multi-livello usando simulatori quantistici basati su qubit, abbiamo bisogno di un modo per collegare il sistema multi-livello a una struttura qubit. Questa connessione può a volte introdurre stati indesiderati nello spazio matematico che possono complicare il processo di simulazione.

In questo lavoro, abbiamo creato un metodo per gestire questi stati indesiderati. Inoltre, confrontiamo due modi diversi di fare la connessione: codifica binaria e codifica per simmetria. Testiamo la loro efficacia simulando diversi sistemi a molti corpi, inclusi sia lo stato fondamentale che l'evoluzione temporale. Mentre la codifica binaria è efficiente in termini di numero di qubit usati, fa fatica a includere le simmetrie del sistema originale nel suo design. D'altra parte, la codifica per simmetria rende più semplice incorporare queste simmetrie, ma richiede più qubit. La nostra analisi rivela che la codifica per simmetria funziona significativamente meglio della codifica binaria, poiché ha bisogno di meno porte di intreccio, converge più velocemente ed è meno sensibile a certe sfide di addestramento.

Abbiamo condotto simulazioni per vari sistemi, tra cui sistemi spin-1, spin-3/2 e sistemi bosonici, così come per l'evoluzione temporale di sistemi spin-1. Il nostro metodo può essere utilizzato su simulatori quantistici attuali e ha il potenziale di essere applicato a un'ampia gamma di modelli fisici.

#Importanza del calcolo quantistico

Il calcolo quantistico offre un modo unico di modellare sistemi quantistici e risolvere problemi computazionali specifici più rapidamente rispetto ai computer classici. Questi computer quantistici possono eseguire qualsiasi operazione su stati quantistici all'interno di uno spazio matematico. Qualsiasi operazione può essere scomposta in operazioni più semplici che coinvolgono rotazioni di singole particelle e porte di due particelle, chiamate porte universali. Questo porta al concetto di calcolo quantistico digitale, dove progettare un computer quantistico ruota attorno all'implementazione di queste porte universali.

Tuttavia, i dispositivi quantistici a breve termine, noti come dispositivi quantistici a scala intermedia rumorosi (NISQ), affrontano diverse limitazioni, come connessioni limitate, tempi di correzione degli errori brevi e imprecisioni nelle operazioni. Queste sfide rendono difficile raggiungere il calcolo quantistico universale nel prossimo futuro. Tuttavia, i simulatori quantistici, che possono eseguire un insieme limitato di operazioni e simulare sistemi quantistici complessi, stanno diventando praticabili grazie ai continui progressi nella tecnologia. Questi simulatori, che usano principalmente qubit, sono naturalmente adatti per simulare sistemi quantistici a due livelli.

#Sistemi multi-livello

Molti sistemi naturali hanno più livelli, inclusi spin superiori, bosoni, modi di vibrazione e elettroni itineranti. Dato che la maggior parte dei simulatori quantistici è basata su qubit, una domanda importante è come simulare questi sistemi multi-livello. Lavori precedenti hanno suggerito vari metodi per mappare un sistema multi-livello a un sistema qubit, richiedendo un certo numero di qubit.

Simulare sistemi multi-livello su simulatori basati su qubit può affrontare diverse sfide:

1. La mappatura può espandere lo spazio matematico corrispondente, il che significa che alcune aree dovrebbero essere evitate durante la simulazione.
2. Il modello di qubit risultante può coinvolgere interazioni multi-corpo, complicando la simulazione.
3. Sono necessarie nuove strategie per incorporare le simmetrie del sistema originale nella mappatura qubit.

Sebbene il calcolo quantistico universale non sia ancora possibile con i dispositivi NISQ, ci si potrebbe chiedere se questi dispositivi possano offrire vantaggi rispetto ai computer classici. Infatti, i simulatori NISQ hanno mostrato alcuni vantaggi nei problemi di campionamento, anche se il campionamento potrebbe non avere applicazioni pratiche. Pertanto, trovare vantaggi pratici nei simulatori NISQ rimane una questione irrisolta.

Gli algoritmi quantistici variazionali (VQAs) si distinguono come un approccio promettente per ottenere vantaggi quantistici durante l'era NISQ. I VQAs sono stati sviluppati per varie applicazioni, tra cui chimica quantistica, ottimizzazione, apprendimento automatico, simulazioni dinamiche, sensing e fisica della materia condensata.

#Risolutore quantistico variazionale (VQE)

Il risolutore quantistico variazionale (VQE) è un tipo significativo di VQA che mira a simulare stati a bassa energia di un dato sistema. VQE utilizza un circuito quantistico per preparare uno stato quantistico, incorporando un insieme di parametri regolabili. Alterando questi parametri, l'output del circuito quantistico può esplorare una parte dello spazio matematico rilevante per il problema.

Nei circuiti con strutture profonde, la parte raggiungibile dello spazio può espandersi, permettendo la preparazione di qualsiasi stato quantistico di un dato numero di qubit. Tuttavia, l'obiettivo è spesso mantenere il circuito il più semplice possibile, concentrandosi sulle parti più rilevanti dello spazio. In particolare, VQE mira a un circuito che contenga lo stato fondamentale di interesse. Sono stati proposti molti diversi design di circuiti, noti come ansatz, variando in complessità.

Il valore atteso di un Hamiltoniano viene misurato all'output della simulazione. L'obiettivo è regolare i parametri tramite un metodo di ottimizzazione classica per minimizzare il valore atteso. Se lo spazio raggiungibile include lo stato fondamentale, allora il circuito ottimale fornirà quello stato fondamentale.

Simulare lo stato fondamentale richiede generalmente meno risorse rispetto a simulare stati dinamici di molti corpi. Lo stato fondamentale di un Hamiltoniano locale segue tipicamente uno schema specifico, mentre gli stati non in equilibrio sono spesso più complessi.

Simulare dinamiche non in equilibrio può essere fatto in due modi:

1. Trotterizzazione, che richiede un circuito quantistico più profondo.
2. Simulazione variazionale, che può semplificare il circuito usando l'ottimizzazione classica.

In questo lavoro, ci concentriamo su un metodo variazionale per simulare sistemi multi-livello su dispositivi basati su qubit.

#Codifica dei sistemi multi-livello nei qubit

Il primo passo nella simulazione di un sistema multi-livello su un simulatore basato su qubit è utilizzare un algoritmo di codifica per collegare operatori multi-livello a operatori qubit. Sono stati esplorati diversi metodi per questa connessione. Il metodo più semplice è la codifica binaria, in cui una particella multi-livello è rappresentata da un numero specifico di qubit.

Usando la codifica binaria, ogni stato multi-livello è mappato a una rappresentazione binaria che corrisponde al suo indice, memorizzato come stato qubit. Ad esempio, simulare un sistema a 4 livelli richiede 2 qubit.

Un altro metodo è la codifica per simmetria, che mappa ogni stato di livello in una sovrapposizione di stati qubit con un numero specifico di eccitazioni. Questo approccio aiuta a preservare le simmetrie nei sistemi, come il momento angolare totale.

Mentre la codifica binaria richiede meno qubit, non può incorporare efficacemente le simmetrie nel circuito. Al contrario, la codifica per simmetria permette di incorporare più facilmente queste caratteristiche ma richiede più qubit.

In entrambi i casi, lo spazio matematico del sistema qubit tende a essere più grande di quello del sistema multi-livello originale. Di conseguenza, alcuni stati all'interno del sistema qubit possono essere "illegittimi", il che significa che non hanno corrispondenza nel sistema multi-livello originale. Questa discrepanza può complicare le simulazioni, specialmente in VQE, dove stati illegittimi possono apparire erroneamente come stati a bassa energia.

Per affrontare questi stati illegittimi, possiamo aggiungere una penalità nel processo di ottimizzazione, spingendo l'energia di quegli stati più in alto.

#Simulazione dello stato fondamentale variazionale

Ci concentriamo su una simulazione dello stato fondamentale per un sistema multi-livello specifico utilizzando un Hamiltoniano scelto. La simulazione mira a comprendere le caratteristiche del sistema quantistico e come queste proprietà cambiano in diverse condizioni.

Eseguiamo simulazioni per un modello con spin, esaminando come si comportano i metodi di codifica in diverse condizioni. In particolare, troviamo che la codifica per simmetria, nonostante richieda più qubit, gestisce le proprietà del sistema in modo più robusto rispetto alla codifica binaria. Questo ha implicazioni per i tipi di circuiti che possiamo usare efficacemente per modellare i sistemi quantistici.

I risultati delle nostre simulazioni mostrano che la codifica per simmetria porta a una migliore convergenza allo stato fondamentale rispetto alla codifica binaria, che fa fatica con l'aumento della profondità del circuito.

#Simulazione dell'evoluzione temporale

In aggiunta alle simulazioni dello stato fondamentale, esploriamo anche l'evoluzione temporale all'interno dei sistemi multi-livello. Questo offre spunti su come gli stati quantistici si sviluppano nel tempo, fornendo un'opportunità per osservare dinamiche nel sistema.

Ad esempio, possiamo simulare come un sistema spin-1 interagisce nel tempo usando un Hamiltoniano specifico. Il metodo utilizzato in questo processo dipende fortemente da stati iniziali e design di circuiti scelti con cura che riflettono le proprietà del sistema.

I nostri risultati dimostrano che la codifica per simmetria è efficace nel catturare le dinamiche di un sistema multi-livello, portando a risultati che si allineano bene con le previsioni teoriche.

#Conclusione

In sintesi, abbiamo investigato la simulazione di sistemi multi-livello usando simulatori quantistici basati su qubit. Confrontando i metodi di codifica binaria e per simmetria, abbiamo dimostrato che mentre la codifica binaria è efficiente in termini di utilizzo di qubit, spesso non riesce a catturare efficacemente le simmetrie del sistema originale. La codifica per simmetria, nel frattempo, può richiedere più qubit, ma migliora significativamente le prestazioni della simulazione gestendo meglio le proprietà del sistema.

Attraverso le nostre simulazioni, abbiamo dimostrato che l'approccio di penalità per gestire stati illegittimi può facilitare la modellazione accurata dello stato fondamentale e del comportamento dinamico dei sistemi multi-livello. I nostri risultati sottolineano l'importanza dei metodi di codifica nell'efficace utilizzo dei simulatori quantistici e aprono vie per future esplorazioni nella simulazione di sistemi quantistici complessi in vari campi.