O Jogo da Vida em Revestimento de Penrose

O Jogo da Vida é um jogo matemático simples, mas fascinante, criado por John Conway. Ele acontece em uma grade de quadrados, onde cada quadrado pode estar vivo ou morto. O jogo evolui ao longo do tempo com base em um conjunto de regras bem simples. O que torna esse jogo interessante é a complexidade que surge dessas regras simples.

#O Básico do Jogo

No Jogo da Vida, cada quadrado interage com seus oito vizinhos (os quadrados que o tocam, incluindo as diagonais). As regras de como os quadrados mudam de estado (de vivo para morto ou vice-versa) são as seguintes:

1. Um quadrado vivo continua vivo se tiver dois ou três vizinhos vivos.
2. Um quadrado vivo morre se tiver menos de dois ou mais de três vizinhos vivos.
3. Um quadrado morto ganha vida se tiver exatamente três vizinhos vivos.

Essas regras levam a vários padrões que podem crescer, extinguir-se ou estabilizar-se ao longo do tempo. Alguns padrões podem se mover pela grade, enquanto outros podem parecer oscilar entre estados.

#Explorando o Tiling de Penrose

O tiling de Penrose é um tipo especial de padrão que não se repete-ou seja, não se encaixa em uma grade regular. Ele foi nomeado em homenagem ao matemático Roger Penrose. Existem muitos tipos de tilings de Penrose, mas nessa discussão, focamos no tipo triângulo de Robinson.

Nesse tipo de tiling, as formas se encaixam de um jeito que cria um padrão não repetitivo numa superfície. Isso gera vários vizinhanças para os quadrados, que são cruciais para como o Jogo da Vida se comporta nesse tipo de tiling.

#A Conexão entre o Jogo da Vida e o Tiling de Penrose

Quando jogamos o Jogo da Vida no tiling de Penrose tipo triângulo de Robinson, estamos unindo dois conceitos matemáticos interessantes. Isso cria um conjunto único de interações e comportamentos que são diferentes da grade quadrada tradicional.

No triângulo de Robinson, a forma como os tiles se encaixam cria vizinhanças diferentes em comparação a uma grade padrão. Essas vizinhanças determinam como os quadrados se influenciam sob as regras do Jogo da Vida. Cada arranjo de tiles leva a diferentes possíveis resultados no jogo.

#Entendendo os Still Lifes

Um still life no Jogo da Vida é um padrão que não muda ao longo do tempo. Ele permanece estável sem que nenhum quadrado vivo morra ou ganhe vida. Existem exemplos bem conhecidos de still lifes, como um bloco quadrado ou uma forma de banheira. No tiling de Penrose tipo triângulo de Robinson, tentamos classificar todos os possíveis still lifes formados por quatro quadrados vivos.

#O Processo de Classificação

Para classificar esses still lifes de quatro células, começamos analisando as vizinhanças que surgem do tiling de triângulo de Robinson. Cada quadrado vivo em um still life deve atender a condições específicas com base em seus vizinhos. Por exemplo, se um quadrado tiver muitos ou poucos vizinhos vivos, isso pode causar uma mudança na próxima geração.

Levamos em conta arranjos possíveis de quatro quadrados vivos e verificamos se eles podem sobreviver às regras do jogo. Focando em diferentes agrupamentos de posições dos quadrados, conseguimos eliminar sistematicamente configurações que provavelmente mudariam na próxima geração.

#Grupos de Vértices Internos e Externos

Na nossa análise, categorizamos os quadrados vivos em grupos que chamamos de grupos de vértices internos e externos. O grupo de vértices internos inclui tiles que compartilham o mesmo ponto central, enquanto o grupo de vértices externos inclui tiles que se encontram na borda da vizinhança.

#Removendo Configurações Instáveis

Usando nosso método de classificação, removemos qualquer arranjo que levaria a nascimentos (um quadrado morto se tornando vivo) ou mortes (um quadrado vivo morrendo) na próxima geração. Essa análise nos ajuda a focar em arranjos que se qualificam como still lifes. Depois de passar por várias configurações e filtrar padrões instáveis, chegamos a uma lista completa de still lifes de quatro células para esse tiling específico.

#Explorando Gliders e Osciladores

Depois de identificar os still lifes, duas perguntas naturais surgem: Existem gliders nessa versão Penrose do Jogo da Vida? Podemos classificar os osciladores, padrões que se repetem ao longo das gerações?

Um glider é um tipo específico de padrão que se move pela grade. Enquanto uma versão romboide do tiling de Penrose mostrou padrões de gliders, verificamos se o tipo triângulo de Robinson permite um comportamento similar. A mesma ideia se aplica aos osciladores; buscamos padrões que retornam à sua configuração original após um certo número de gerações.

Durante nossa investigação, descobrimos um novo Oscilador com um período de 14, o que significa que ele retorna ao mesmo estado a cada 14 gerações. Essa descoberta levanta mais perguntas sobre o potencial de mais osciladores e se um esquema de classificação poderia se aplicar a eles também.

#Conclusão

A exploração do Jogo da Vida no tiling de Penrose tipo triângulo de Robinson revela muito sobre a interação entre regras simples e comportamentos complexos. Ao classificar still lifes, gliders e osciladores, descobrimos a rica tapeçaria de resultados que surgem de padrões matemáticos. Essa mistura de conceitos não só enriquece nosso entendimento de autômatos celulares, mas também abre portas para mais pesquisas nesse campo da matemática.