Teoria Quântica de Campos e Computação

A tese de Church-Turing estendida quântica analisa como a mecânica quântica pode mudar nossa visão sobre o que pode ser computado. Essa ideia já foi discutida em várias teorias físicas, como a relatividade geral, mas ainda não foi muito explorada em teorias quânticas de campo, como a Eletrodinâmica Quântica (QED). Estamos construindo um modelo que mostra como as características únicas da QED, como a criação e destruição de partículas, se encaixam nessa tese.

#A Tese de Church-Turing

A tese de Church-Turing sugere que qualquer problema que pode ser resolvido pode ser computado em uma Máquina de Turing, que é um modelo simples de computação. Essa ideia foi expandida mais tarde para sugerir que qualquer computação eficiente feita por um sistema físico também pode ser efetivamente computada por uma máquina de Turing. Eficiente significa que essas computações podem ser feitas em um tempo razoável, geralmente medido em tempo polinomial.

Essa tese foi geralmente aceita até a descoberta do algoritmo de Shor. O algoritmo de Shor mostra que computadores quânticos podem fatorar grandes números muito mais rápido que computadores comuns. Isso significa que alguns problemas podem ser resolvidos rapidamente em um computador quântico, mas levariam um tempão em uma máquina de Turing clássica. Isso levou à formulação da tese de Church-Turing estendida quântica, que afirma que qualquer computação eficiente pode ser feita efetivamente em uma máquina de Turing quântica.

#Teoria de Campo Quântico e Relatividade Geral

Na física, quando os pesquisadores encontraram um problema com a tese de Church-Turing estendida, eles buscaram novas maneiras de usar a física para desafiar essa tese. Um dos métodos promissores encontrados é por meio da relatividade geral, especialmente através de um conceito conhecido como dilatação do tempo.

Na relatividade geral, o tempo passa mais devagar perto de objetos grandes, como buracos negros. Isso permite que alguém fora de um buraco negro comece uma computação e, em seguida, atravesse o horizonte de eventos para ver o resultado de uma computação que levaria uma eternidade em uma máquina de Turing em um curto período de tempo. Esta situação pode levar a resultados de computações que não podem ser computadas em uma máquina de Turing, violando assim a tese de Church-Turing. No entanto, alguns sugeriram que isso pode ser evitado mudando a tese de Church-Turing para exigir algum tipo de comunicação com a borda do espaço, impedindo que buracos negros sejam uma brecha.

Assim como a relatividade geral foi usada para pensar sobre a tese de Church-Turing estendida quântica, vamos ver se as propriedades da teoria de campo quântico podem dar uma vantagem computacional sobre computadores quânticos normais.

#Mecanismos de Computação na Eletrodinâmica Quântica

A teoria de campo quântico nos dá uma das melhores maneiras de entender a natureza, validada por muitos experimentos. O Modelo Padrão da física de partículas, que é um tipo de teoria de campo quântico, descreve as forças forte, fraca e eletromagnética, deixando de fora a gravidade. A busca por computação quântica nos traz mais perto de entender as leis profundas da física, mas algumas características da teoria de campo quântico não são encontradas na mecânica quântica regular.

Uma característica chave é o conceito de criação e destruição de partículas. Isso permite que a teoria de campo quântico gere novas partículas (ou novos elementos computacionais) durante uma computação. À primeira vista, alguém pode pensar que isso se comporta como uma máquina de Turing não determinística, que pode ramificar e criar novas máquinas de Turing para resolver problemas em paralelo. No entanto, se esse comportamento de Criação de Partículas existir na teoria de campo quântico, isso poderia desafiar a tese de Church-Turing estendida quântica. Vamos mostrar que isso não parece ser o caso e que a criação de partículas é mais provavelmente apenas outra versão do paralelismo quântico, uma característica já presente em computadores quânticos normais.

Uma das teorias de campo quântico mais simples é a Eletrodinâmica Quântica (QED), que foca nas interações eletromagnéticas e ignora as forças forte e fraca e a gravidade. A QED descreve como campos fermiônicos e bósons de gauge interagem. Usamos a QED para construir um modelo computacional, onde criamos um conjunto de portas computacionais refletindo as interações da QED. Nesse modelo, tratamos o spin dos fótons como qubits (a unidade básica da informação quântica), ou seja, quando criamos novos fótons, também criamos novos qubits.

A teoria de campo quântico permite não só uma mistura de estados, mas também uma mistura de números de partículas. Podemos ilustrar isso através de diferentes estados de fótons. Um operador cria um fóton polarizado horizontalmente e outro cria um polarizado verticalmente. Em termos simples, podemos representar estados em um computador quântico facilmente, mas usar superposições de números de partículas é algo único da teoria de campo quântico.

#Exemplo de um Computador em QED

Calcular as interações detalhadas e a evolução temporal de um estado arbitrário em QED pode ser bastante desafiador. Portanto, usamos um modelo mais simples baseado em portas que imitam as interações da QED. O operador de evolução temporal é calculado usando o Hamiltoniano.

Usando a teoria de perturbação, podemos ver os diferentes tipos de interações que existem em QED. Por exemplo, uma interação se parece com uma porta de dois qubits, semelhante às usadas na arquitetura supercondutora, o que significa que incluiremos tal porta em nosso modelo computacional da QED.

Além das portas de dois qubits, também existem interações que podem produzir mais qubits a partir de menos entradas, levando a um modelo que pode utilizar a criação de partículas. Essas interações podem ser ilustradas através de diagramas de Feynman, que são representações visuais das interações de partículas.

Quando pensamos sobre essas portas em um diagrama de circuito, percebemos que a capacidade de criar novos qubits separa esse modelo dos computadores quânticos padrão e levanta a questão: essas novas portas podem oferecer uma vantagem computacional?

#Equivalência de um Computador Quântico de Qutrit

Para responder a essa pergunta, vamos mostrar que o modelo que construímos também pode ser simulado por um computador quântico usando um número maior de qutrits (que podem armazenar mais estados que um qubit). Cada spin na eletrodinâmica quântica pode representar três estados: dois estados comuns e um terceiro estado indicando que uma partícula não existe.

Reexpressando nossos estados em termos de qutrits, também podemos lidar com superposições de números de partículas mais facilmente. Desde que nosso modelo só permite uma quantidade polinomial de tempo, apenas um número limitado de partículas pode ser criado com essas portas.

As portas discutidas podem ser traduzidas em portas de dois qutrits ou quatro qutrits, que podem ser simuladas efetivamente usando portas tradicionais. Portanto, as portas de criação de partículas não vão desafiar a tese de Church-Turing estendida quântica.

Percebendo que estados de qutrit em superposição correspondem ao número de partículas em nosso modelo, vemos que a criação de partículas parece agir apenas como outra versão do paralelismo quântico. Isso sugere que o aspecto definidor da teoria de campo quântico, a criação de partículas, provavelmente não vai desafiar a tese de Church-Turing estendida quântica.

#Operações Multi-Qubit Exponencialmente Pequenas

Enquanto a criação de partículas pode não afetar a tese de Church-Turing estendida quântica, outras características da teoria de campo quântico podem. Por exemplo, pode haver maneiras de conseguir uma vantagem sobre computadores quânticos através de outras interações que são muito fracas.

Ao olhar para os limites do nosso conjunto de portas, podemos descobrir que as portas discutidas anteriormente podem ser simuladas eficientemente, mas a eletrodinâmica quântica tem interações que crescem com o tamanho do sistema e podem ser mais difíceis de simular.

Essas interações podem ser bastante pequenas, sugerindo que há novos tipos de portas que podem ser definidas como "portas multi-qubit exponencialmente suprimidas". Esses operadores podem ser difíceis de realizar com portas tradicionais, mas podem ser aproximados.

Investigar a natureza da computação quântica mostra que o acesso a essas novas portas poderia proporcionar benefícios significativos. Por exemplo, a velocidade dos computadores quânticos não vem apenas do emaranhamento ou da superposição, mas do controle preciso de portas pequenas. Acessar essas novas portas pode melhorar o poder computacional.

Mesmo que benefícios sejam alcançados por meio dessas portas, devemos garantir que elas possam ser incorporadas em estruturas como QED ou o Modelo Padrão para reivindicar um desafio à tese de Church-Turing estendida quântica. Já que algoritmos rápidos foram encontrados através de operações finamente ajustadas, o potencial dessas novas portas vale a pena explorar.

#Conclusão e Direções Futuras

Nesta exploração, criamos um modelo computacional para investigar o poder das teorias de campo quântico. Mostramos que a criação de partículas, que é uma característica chave da teoria de campo quântico, provavelmente não vai desafiar a tese de Church-Turing estendida quântica, já que nosso modelo pode ser simulado eficientemente usando outros computadores quânticos.

Embora a criação de partículas possa não levar a computações mais rápidas, outras características das teorias de campo quântico, como interações multi-qubit fracas, ainda podem fornecer benefícios.

Os próximos passos envolveriam verificar se a nova classe de operadores poderia oferecer vantagens em problemas conhecidos, ou se portas tradicionais poderiam servir em seu lugar. Como esses operadores têm inúmeros parâmetros ajustáveis, eles podem alcançar áreas do espaço de estados inalcançáveis por portas padrão.

Mesmo que algum benefício seja confirmado, essas portas ainda precisam ser aplicadas praticamente em sistemas de teoria de campo quântico para reivindicar um desafio à tese de Church-Turing estendida quântica. Dada as descobertas sobre algoritmos rápidos usando operações pequenas e bem ajustadas, essas novas portas representam uma área interessante para pesquisa futura.