p-adico AdS/CFT a Temperature Finiti

Questo articolo analizza un aspetto specifico della fisica teorica chiamato AdS/CFT, che mette in relazione due tipi diversi di teorie: la gravità in uno spazio chiamato spazio Anti-de Sitter (AdS) e un tipo di teoria dei campi nota come teoria dei campi conforme (CFT). La versione su cui ci concentriamo qui utilizza un sistema numerico diverso chiamato numeri p-adici. Questo studio si inserisce in un contesto in cui la geometria dello spazio che esaminiamo è modellata come una curva di Tate, che è un tipo specifico di struttura nella matematica.

Ci basiamo su un risultato significativo precedente e deriviamo una relazione specifica che collega il comportamento di questa teoria p-adica al comportamento di teorie più familiari a temperature finite. Quando introduciamo interazioni tra le particelle nel nostro modello, calcoliamo varie proprietà che ci dicono come si comportano queste particelle in certe condizioni. I risultati forniscono spunti su come la versione p-adica di AdS/CFT serva come modello utile per comprendere le CFT reali quando le temperature non sono zero.

#Introduzione

Quando gli scienziati creano modelli per comprendere sistemi fisici, spesso scoprono che alcune previsioni si mantengono valide anche quando cambiano parti del modello. Questo consente ai teorici di semplificare il proprio lavoro ignorando dettagli meno importanti e concentrandosi sugli aspetti fondamentali che contano. Anche quando alcune informazioni precise vengono perse semplificando le cose, possono comunque emergere intuizioni utili e significative.

A volte, queste semplificazioni sono piuttosto estreme. Ad esempio, in un caso, gli scienziati potrebbero studiare una teoria assumendo che alcune variabili siano infinite invece che finite. In un altro caso, potrebbero guardare a una versione semplificata di un problema complesso in due dimensioni invece che in quattro. In alcuni degli esempi più estremi, gli scienziati scelgono un campo numerico, che è una struttura matematica, che non è rappresentato dai numeri reali o complessi familiari, ma utilizza invece i numeri p-adici.

Sotto certe condizioni, è stato dimostrato che cambiare il campo numerico può preservare le caratteristiche critiche di una teoria, un fatto confermato da vari studi. Nella teoria delle stringhe p-adiche e nell'AdS/CFT p-adica, i ricercatori hanno scoperto che molti risultati possono essere riprodotti utilizzando numeri p-adici. Tuttavia, è spesso necessario selezionare una specifica formulazione da forme equivalenti in teorie reali per fare confronti diretti con teorie p-adiche.

Ecco alcuni risultati notevoli in quest'area:

• Le funzioni a due e tre punti nella CFT assumono forme equivalenti nel contesto P-adico, a patto che le norme dei vettori siano sostituite con norme p-adiche. La decomposizione dei correlatori a quattro punti in blocchi conformi ammette anche una descrizione in termini di diagrammi di Witten geodetici.
• I calcoli delle dimensioni anomale per i modelli p-adici imitano strettamente i risultati dei modelli reali.
• Esiste una versione p-adica dell'entropia che segue proprietà specifiche come la forte subadditività e la monogamia dell'informazione mutua. Questa versione si collega anche a una formula nota riguardo all'area delle superfici in un certo tipo di teoria.
• La struttura della funzione di partizione del toro p-adico presenta somiglianze con la funzione di partizione di una CFT complessa.

Gran parte del lavoro sulle teorie p-adiche si concentra sul replicare risultati dalle teorie reali per trovare somiglianze e differenze. Tuttavia, in alcuni casi, i calcoli p-adici sono stati effettuati per primi, portando a nuove intuizioni sulle teorie reali.

Un risultato significativo è stata la valutazione dell'ampiezza p-adica di Koba-Nielsen, ottenuta prima che un risultato simile per la teoria delle stringhe reali venisse scoperto. Inoltre, i corrispondenti olografici dei blocchi conformi e alcune equazioni sono stati calcolati per la prima volta nel contesto p-adico prima di essere tradotti nelle teorie reali.

Un grande vantaggio dello studio delle teorie p-adiche è che gli operatori derivati sono assenti. Nelle formulazioni tipiche della fisica p-adica, i campi sono ancora considerati reali o complessi, anche se i loro argomenti sono p-adici. L'assenza di operatori derivati semplifica enormemente i calcoli, riducendo serie e funzioni complesse a solo alcune voci.

In questo articolo, puntiamo ad allargare lo scopo dell'AdS/CFT p-adico per includere le CFT a temperature finite. Chiarificiamo che stiamo discutendo di CFT p-adiche a temperatura finita, che è piuttosto diversa da altri studi che coinvolgono catene di spin gerarchiche a temperatura finita. In quest'ultimo caso, la direzione termica rimane reale, portando a campi misti reali e p-adici.

#CFT Termiche nel Luogo Reale

Le CFT termiche vivono su una varietà specifica. Queste teorie diventano interessanti quando esaminiamo come i correlatori si comportano a temperature finite. La comprensione di tali teorie deriva da importanti lavori fondamentali sui funzioni a due punti a temperatura finita. Nonostante abbiano applicazioni nelle transizioni di fase quantistiche, la conoscenza delle CFT termiche è ancora limitata rispetto alle CFT a zero temperatura.

Sebbene non ci siano barriere fondamentali nell'estendere i risultati delle CFT termiche ad altri osservabili, i progressi sono spesso rallentati dalle sfide tecniche coinvolte nei calcoli. L'espansione del prodotto degli operatori (OPE) può essere applicata ripetutamente, e il correlatore si semplifica in una somma di funzioni a un punto. A temperatura zero, la somma collassa sull'operatore identità, ma a temperatura finita, dove entrano in gioco i livelli energetici, la somma richiede un'attenta gestione.

Per fare progressi, l'AdS/CFT p-adico fornisce un quadro più semplice per affrontare i calcoli che sono spesso difficili quando si lavora con teorie reali.

#CFT Termiche nei Luoghi Finiti

Nel contesto delle CFT reali a temperatura finita, i duali bulk sono associati a buchi neri o brane nere all'interno dell'AdS. Man mano che le interazioni gravitazionali svaniscono, la geometria bulk può essere descritta come AdS Termico, creata prendendo un quoziente dello spazio AdS rispetto a un gruppo discreto di simmetrie.

Nel contesto p-adico, lo spazio bulk a zero temperatura è rappresentato dall'albero di Bruhat-Tits, che è un albero infinito strutturato regolarmente. Lo spazio bulk a temperatura finita nei contesti p-adici è anch'esso creato usando un quoziente discreto. Selezionando un percorso bi-infinito attraverso l'albero, possiamo identificare tutti i vertici lungo quel percorso separati da un certo numero di bordi. Il risultato è una struttura chiamata curva di Tate.

Diversi lavori nella letteratura p-adica AdS/CFT hanno esaminato teorie sulla curva di Tate e suggerito che rappresenta la versione p-adica del buco nero BTZ. In questo scenario, il parametro relativo all'entropia e all'area del buco nero nelle teorie reali si traduce nel volume associato ai punti al confine nelle teorie p-adiche.

Una chiave osservazione che facilita l'identificazione in questo contesto è comprendere che, nelle CFT reali a temperatura finita, la temperatura inversa agisce come una scala unica nel sistema. Pertanto, questa scala può tipicamente essere impostata su uno e successivamente ripristinata attraverso l'analisi dimensionale. Nella curva di Tate, l'equivalente della temperatura inversa è determinato dal volume dei punti al confine.

I punti al confine corrispondono a un quoziente discreto di un'estensione particolare dei numeri p-adici, dove certi valori vengono identificati modulo un numero naturale. Una misura adeguata per l'integrazione al confine è definita, e qualsiasi punto al confine può essere ulteriormente specificato in base a una norma particolare.

#Formule Parallele

Per illustrare, consideriamo la relazione tra il correlatore a due punti di due scalari identici sia nei contesti termici reali che p-adici. Sotto condizioni specifiche nelle teorie termiche reali, può essere derivato un insieme di conclusioni matematiche. Le condizioni si applicano in base alla valutazione dei punti al confine, che influisce sulla convergenza dell'OPE.

Se la condizione di valutazione è valida, il correlatore p-adico a due punti può essere derivato in modo analogo. Possono essere fatte anche comparazioni con diagrammi a un ciclo, permettendoci di trarre paralleli tra vari concetti nelle teorie reali e p-adiche.

Poiché i calcoli negli ambienti p-adici sono tipicamente più facili, possiamo eseguire una varietà di calcoli che non sono ancora stati effettuati nei contesti reali. Questo approccio ci consente di estendere i risultati a dimensioni di scaling non identiche e stabilisce fondamenta per ulteriori studi.

#Schema dell'Articolo

Nelle sezioni seguenti, dettagliamo i nostri risultati:

• La prima sezione approfondisce l'azione del reticolo bulk sulla curva di Tate, esplorando le condizioni al confine e le soluzioni.
• La seconda indaga la funzione di partizione libera come funzione delle condizioni al confine, derivando l'azione duale al confine olografica.
• La terza presenta risultati sulle funzioni a due punti del campo medio, comprese le correzioni da interazioni perturbative.
• La quarta si concentra sulla funzione a tre punti olografica.
• Infine, concluderemo con pensieri sul lavoro futuro.

Sono forniti degli allegati per mostrare calcoli dettagliati che sono stati riassunti nel testo principale.

#Il Problema di Dirichlet sulla Curva di Tate

Nella nostra analisi, definiamo un problema di Dirichlet, che coinvolge la determinazione di una funzione definita sui vertici di un grafo. Un operatore Laplaciano per il grafo ci consente di strutturare l'azione in modo appropriato.

Riferendoci all'albero di Bruhat-Tits, descriviamo una base di soluzioni parametrizzate dai punti al confine. Le soluzioni corrispondono ai propagatori dal bulk al confine. Da questo, possiamo derivare la soluzione unica al problema di Dirichlet basata su condizioni al confine specifiche.

La curva di Tate viene quindi esaminata in modo simile, ma invece di concentrarci su un singolo punto di riferimento, valutiamo in base al punto al confine rilevante per il ciclo termico.

Utilizzando un percorso unico definito dalle nostre condizioni al confine, possiamo illustrare che le equazioni del moto sono soddisfatte e che le soluzioni al problema di Dirichlet possono essere ottenute sistematicamente.

#Duale al Confine della Teoria Bulk Massiva

Zabrodin ha fornito un risultato fondamentale che collega l'azione al confine all'azione bulk massless libera. Dalla prospettiva p-adica, interpretiamo questo come un collegamento tra la geometria discreta e una CFT al confine di quella geometria.

Espandendo il lavoro di Zabrodin, permettiamo la presenza di campi bulk massivi e ci adattiamo alle caratteristiche termiche della curva di Tate. Regolando l'integrale di percorso e analizzando come si sviluppano i valori al confine, possiamo esprimere questo in termini di una funzionale che ci porta alla descrizione della CFT.

Il propagatore dal confine al confine si collega al correlatore a due punti come derivato in precedenza. Mentre studiamo le interazioni nel bulk, utilizzeremo questo come base per ulteriori esami di come queste interazioni si manifestano nei correlatori e in altre osservazioni.

#Limite Non Termico

Il quadro che abbiamo analizzato può applicarsi anche al caso non termico. Prendendo i limiti appropriati ed esprimendo le azioni al confine in forme più semplici, eliminiamo le dipendenze termiche e le presentiamo in termini di strutture familiari.

In questa sezione, gestiamo le ambiguità che sorgono considerando il termine di massa e troviamo modi per esprimere l'azione al confine in modo coerente.

#Correlatore a Due Punti

La funzione a due punti della CFT libera può essere espressa in termini del propagatore dal confine al confine. Esploreremo come le correzioni perturbative dovute alle interazioni bulk influiscono su questa funzione a livello di albero e a un livello di ciclo.

#Livello di Albero

Vengono esaminati casi diversi in base alla configurazione dei punti al confine e alla loro relazione con il ciclo termico. Per i punti le cui proprietà si allineano, possiamo derivare una forma per il correlatore a due punti che si allinea con le nostre definizioni precedenti.

#Livello di Uno-Ciclo

Aggiungere interazioni modifica i correlatori a due punti a causa della presenza di contributi non zero in contesti termici. Valuteremo come queste interazioni influenzano i correlatori in modo diverso in base alle condizioni al confine.

#Formula del Contorno

Scopriamo che sia le risposte reali che quelle p-adiche sono esprimibili tramite strutture simili. Le integrazioni del contorno si comportano in modo coerente attraverso diverse configurazioni, stabilendo ulteriormente il collegamento tra le nostre scoperte e le teorie esistenti.

#Correlatore a Tre Punti

Infine, ci concentreremo sul correlatore a tre punti e su come si comporta sotto interazioni perturbative. Considerando i punti al confine in una configurazione specifica, possiamo derivare il correlatore, dimostrando come queste interazioni si manifestano in un contesto p-adico.

Nel corso della nostra ricerca, miriamo a dimostrare che il framework p-adico AdS/CFT si estende per coprire nuovi territori, comprese le CFT a temperatura finita. L'accessibilità dei calcoli p-adici può aiutare a informare e guidare ulteriori studi nelle teorie reali e avanzare la comprensione in quest'area.

In sintesi, le intuizioni ottenute dall'analisi del comportamento di AdS/CFT p-adico contribuiscono a una conversazione più ampia sull'olografia, offrendo un percorso per comprendere i sistemi complessi in modo più generale.