Un guide pour les débutants sur l'optique quantique avec MATLAB

L'optique quantique est un domaine riche qui étudie comment la lumière (photons) interagit avec la matière au niveau quantique. Ce guide présente les bases de l'optique quantique en utilisant MATLAB, un programme qui permet de faire des calculs numériques et des simulations. L'objectif est d'aider les débutants à comprendre les concepts clés et à effectuer des calculs liés aux États quantiques et aux Opérateurs.

#C'est quoi MATLAB ?

MATLAB est un environnement de calcul qui se concentre sur les opérations matricielles, ce qui le rend adapté pour le calcul numérique. Cet environnement est facile à utiliser et offre des outils qui peuvent aider à résoudre des problèmes complexes en mécanique quantique. Les codes numériques écrits en MATLAB sont utiles pour les étudiants qui commencent leur recherche en optique quantique théorique.

#Configuration dans MATLAB

Avant de plonger dans la programmation, il est important de comprendre comment structurer les données dans MATLAB :

1. États quantiques : Les états quantiques purs sont montrés sous forme de matrices colonne avec une norme unitaire, tandis que les états mélangés sont des matrices carrées avec une trace unitaire.
2. Opérateurs quantiques : Ceux-ci sont représentés sous forme de matrices carrées.
3. Dimensions des matrices : Les dimensions des matrices doivent être définies en fonction du problème. Si les résultats ne correspondent pas aux attentes, il peut être nécessaire d'augmenter les dimensions de la matrice.

#Commandes de base MATLAB

Avant de commencer avec le codage en optique quantique, il est crucial de connaître quelques commandes de base dans MATLAB :

• clear: Cette commande efface la mémoire.
• clc: Cette commande efface l'écran de sortie.
• Point-virgule ;: Cela supprime la sortie d'une ligne de code.
• Pourcentage %: Ce symbole est utilisé pour commenter le code.

#États quantiques dans MATLAB

#États de nombre

Les états de nombre sont la base des états quantiques pour un champ électromagnétique, où chaque état représente un certain nombre de photons. Par exemple, un état représentant un photon est écrit comme une matrice colonne où l'élément à la position correspondante a une valeur de 1, et tous les autres sont 0.

Dans MATLAB, nous pouvons utiliser une matrice identité à cet effet. Un état de vide, qui signifie aucun photon, peut être représenté comme une matrice colonne avec tous les zéros sauf pour le premier élément, qui est un.

#Exemple de code pour les états de nombre

Pour créer un état de nombre pour un certain nombre de photons, nous pouvons écrire un code qui utilise la matrice identité en fonction de la dimension souhaitée.

#Superposition d'états de nombre

En mécanique quantique, la superposition fait référence à la capacité d'un système quantique à être dans plusieurs états en même temps. Dans MATLAB, toute superposition d'états de nombre peut être exprimée comme une somme des matrices colonne d'une matrice identité.

#Exemple de code pour l'état de superposition

Ce code créera un état de superposition dans MATLAB en combinant différents états de nombre en fonction de leurs coefficients, qui représentent leurs amplitudes dans la superposition.

#États Cohérents

Un état cohérent est un type spécial d'état quantique qui est une superposition de tous les états de nombre possibles, généralement représenté par une somme pondérée de ces états. Bien que théoriquement, on aurait besoin d'une somme infinie, en pratique, nous tronquons cette somme pour maintenir une norme de 1.

#Exemple de code pour l'état cohérent

Ici, nous allons additionner plusieurs états de nombre dans MATLAB, en veillant à ce que le total conserve une norme unitaire.

#États thermiques

Les états thermiques représentent la lumière émise par des objets à une température non nulle et se caractérisent par leur nature mixte. Ces états sont représentés par des matrices carrées, qui sont formées à partir de la somme pondérée des états de nombre.

#Exemple de code pour l'état thermique

Dans cette section, du code sera fourni pour créer un état thermique dans MATLAB.

#États de vide compressé

Un état de vide compressé est un autre type d'état spécial qui représente une superposition de tous les états de nombre pairs.

#Exemple de code pour l'état de vide compressé

Le code suivant aidera à calculer et à afficher l'état de vide compressé.

#États cohérents filtrés par état de nombre

Dans certains cas, nous pouvons vouloir exclure des états de nombre spécifiques de notre état cohérent. Cela s'appelle un état cohérent filtré par état de nombre.

#Exemple de code pour les états filtrés

Le code décrira comment créer ces états filtrés dans MATLAB.

#États d'atomes à deux niveaux

En optique quantique, nous traitons souvent des atomes à deux niveaux. Ces atomes ont deux états : un état excité et un état fondamental. Nous allons représenter ces états sous forme de matrices colonne dans MATLAB.

#Exemple de code pour les états atomiques

Cette section vous guidera pour créer ces états atomiques de manière simple.

#Opérateurs en optique quantique

Les opérateurs sont essentiels en mécanique quantique car ils effectuent des actions sur les états quantiques. Pour l'optique quantique, nous utilisons fréquemment des opérateurs d'annihilation, de création et de nombre.

#Opérateurs d'annihilation et de création

Ces opérateurs sont utilisés pour retirer ou ajouter des photons à l'état. Le code ici montrera comment représenter ces opérateurs dans MATLAB.

#Opérateurs de nombre

L'opérateur de nombre compte le nombre de photons dans un état et est diagonal dans la base de nombre.

#Exemple de code pour les opérateurs de nombre

Ce code montrera comment mettre en œuvre l'opérateur de nombre dans MATLAB.

#Hamiltonien pour le champ électromagnétique

L'Hamiltonien agit comme l'opérateur d'énergie pour les systèmes quantiques. Ici, nous allons apprendre à le calculer pour un champ électromagnétique quantifié en utilisant MATLAB.

#Exemple de code pour l'Hamiltonien du champ EM

Le code MATLAB suivant calculera l'Hamiltonien pour le champ électromagnétique.

#Matrices de Pauli pour les atomes à deux niveaux

Pour les atomes à deux niveaux, les matrices de Pauli sont essentielles pour décrire la dynamique du système.

#Exemple de code pour l'Hamiltonien atomique

Cette section fournira du code pour l'Hamiltonien et les opérateurs de montée et de descente des atomes à deux niveaux.

#Propriétés des états quantiques

#Distribution du nombre de photons

Lorsqu'on mesure des états de photons, nous voulons souvent connaître la distribution des nombres de photons. Dans différents états quantiques, tels que les états cohérents et thermiques, les distributions diffèrent considérablement.

#Exemple de code pour les distributions du nombre de photons

Cette section donnera des exemples de calcul et de tracé des distributions du nombre de photons.

#Nombre moyen de photons

Dans les états quantiques, le calcul du nombre moyen de photons peut nous aider à comprendre les caractéristiques de l'état.

#Exemple de code pour le nombre moyen de photons

Ce code expliquera comment calculer le nombre moyen de photons dans un état.

#Fonction de cohérence du second ordre

La fonction de cohérence du second ordre est utile pour comprendre les propriétés statistiques des photons dans le champ. Sa valeur peut donner des indices sur le type de lumière (classique vs. non classique).

#Exemple de code pour la fonction de cohérence du second ordre

Dans cette partie, nous allons écrire du code pour calculer cette fonction.

#Interaction atome-champ

L'interaction entre les atomes et les champs électromagnétiques est un sujet central en optique quantique. Lorsqu'un atome est placé dans un champ, de l'énergie peut être échangée entre eux.

#Hamiltonien de Jaynes-Cummings

Cet Hamiltonien décrit l'interaction entre un atome à deux niveaux et un champ électromagnétique quantifié.

#Exemple de code pour l'interaction atome-champ

Ici, nous fournirons du code MATLAB pour simuler l'interaction atome-champ.

#Champs à deux modes

Lorsque nous traitons deux champs électromagnétiques, soit ayant des fréquences, directions ou polarizations différentes, nous parlons de champs à deux modes.

#Exemple de code pour l'interaction à deux modes

Ce code explorera l'échange d'énergie entre deux champs à deux modes lorsqu'ils sont confinés dans des cavités.

#Transformation par un séparateur de faisceau

Un séparateur de faisceau est un dispositif qui divise la lumière en deux faisceaux, et nous devons comprendre la transformation qui se produit lorsque la lumière le traverse.

#Exemple de code pour le séparateur de faisceau

Dans cette section, nous écrirons du code MATLAB pour démontrer la transformation qui a lieu à un séparateur de faisceau.

#Interféromètre Mach-Zehnder

Cet appareil utilise deux séparateurs de faisceau et permet d'observer des motifs d'interférence.

#Exemple de code pour l'interféromètre Mach-Zehnder

Nous fournirons un exemple de code simple qui explique comment simuler un interféromètre Mach-Zehnder dans MATLAB.

#Dynamiques dissipatives

Les systèmes réels ne peuvent pas être complètement isolés de leur environnement, ce qui conduit à des dynamiques dissipatives. Ici, nous allons explorer deux méthodes principales pour étudier ce comportement : l'équation maître de Lindblad et la méthode de la fonction d'onde de Monte-Carlo.

#Équation maître de Lindblad

Cette méthode aide à gérer l'évolution d'un système quantique en tenant compte de son interaction avec l'environnement.

#Exemple de code pour l'équation maître de Lindblad

Cette section fournira du code MATLAB pour mettre en œuvre l'équation maître de Lindblad.

#Méthode de la fonction d'onde de Monte-Carlo

Cette méthode simule l'évolution du système en utilisant une approche de saut quantique, générant des trajectoires au fil du temps.

#Exemple de code pour la fonction d'onde de Monte-Carlo

Nous fournirons également du code MATLAB pour effectuer cette méthode dans le contexte d'un système atome-cavité.

#Conclusion

Ce guide offre une introduction à l'optique quantique en utilisant MATLAB pour les débutants. En utilisant les codes fournis, les étudiants et les chercheurs peuvent commencer à explorer des concepts dans ce domaine fascinant. Les outils et les exemples montrent comment travailler à travers divers problèmes en optique quantique, facilitant ainsi la compréhension et la réalisation de simulations. Au fur et à mesure que vous construisez des modèles plus complexes, ces outils de base serviront de tremplins dans votre parcours de recherche.