Entendiendo las Matemáticas Constructivas: Un Enfoque Orientado al Proceso

La matemática constructiva es una manera de ver las matemáticas donde el enfoque está en el proceso de demostrar que algo es cierto, en lugar de solo afirmar que lo es. Este enfoque plantea una pregunta importante: ¿qué tipo de proceso mental o construcción necesitamos para creer que una afirmación matemática es verdadera? Esta pregunta también es relevante para los estudiantes que quieren saber qué aceptarán sus profesores como respuesta correcta en las tareas.

#El papel del lenguaje en matemáticas

El lenguaje es una herramienta vital para la comunicación, ayudando a los humanos a cooperar y compartir ideas. En matemáticas, usamos el lenguaje para expresar afirmaciones y reglas. A menudo describimos las afirmaciones usando "cierto" o "falso". A veces, se dan órdenes en forma de afirmaciones, lo que puede confundir a los estudiantes. En programación, por ejemplo, los estilos declarativos son menos comunes que los comandos directos.

#El significado de las afirmaciones matemáticas

Los matemáticos y profesores tienen problemas al definir qué significa una afirmación matemática. ¿Cómo clasificamos las afirmaciones como verdaderas o falsas? Esto puede ser complicado, especialmente cuando una afirmación tiene muchas capas de lógica o trata conceptos abstractos.

El movimiento del constructivismo en matemáticas explora diferentes formas de pensar sobre las afirmaciones matemáticas. Por ejemplo, si alguien dice que una afirmación es verdadera, preguntamos: ¿qué proceso mental o construcción tiene en mente para apoyar esta afirmación?

Tomemos la afirmación de que algo es cierto. Un enfoque común podría ser encontrar un ejemplo que justifique esta afirmación. Sin embargo, esto puede llevarnos a una lógica no tradicional donde algunas formas de lógica no son válidas para todas las afirmaciones.

#Objetivos prácticos de enseñanza

Desde el punto de vista de un estudiante, la pregunta práctica se convierte en: ¿qué debo mostrarle a mi profesor para asegurarme de que acepten mi respuesta? Desafortunadamente, muchos estudiantes pueden adivinar o intentar coincidir patrones de lecciones anteriores en lugar de comprometerse profundamente con el material. Esto a menudo resulta en frustración tanto para los estudiantes como para los profesores. Como resultado, muchos estudiantes no utilizan su potencial al máximo en los cursos de matemáticas estándar.

Cuando el Cubo de Rubik se volvió popular, muchos niños aprendieron a resolverlo, sin importar sus habilidades matemáticas. La razón por la que se volvió accesible es clara: para resolver el cubo, no hay adivinanzas sobre lo que quiere el profesor; o puedes resolverlo o no.

Otro ejemplo resalta este problema. Una vez, un profesor pidió a los estudiantes que compararan fracciones usando una analogía de la vida real que involucra botellas de vodka. Esto ayudó de inmediato a los estudiantes a entender el concepto.

Entonces, ¿por qué las clases de matemáticas son a menudo desafiantes? Para los estudiantes, estas clases pueden sentirse como juegos de adivinanza donde las expresiones matemáticas parecen símbolos sin sentido. Como resultado, aprender puede ser desagradable e ineficaz.

#Tipos de afirmaciones en matemáticas

Una lección importante para los profesores de matemáticas es elegir problemas que tengan sentido para los estudiantes. Después de una breve explicación, los estudiantes deben entender claramente qué se espera de ellos y qué soluciones serán aceptadas.

Las afirmaciones existenciales son un buen ejemplo de esto. Estas afirmaciones afirman que algo existe con ciertas propiedades, lo que se puede comprobar fácilmente. Por ejemplo, una tarea podría pedir a los estudiantes que encuentren un número entero positivo que se vuelva más pequeño cuando se elimina el primer dígito.

Si un estudiante proporciona un ejemplo, eso puede ser suficiente para demostrar su comprensión, independientemente de la complejidad del razonamiento detrás de ello. Otra tarea podría involucrar encontrar una forma donde un punto dentro no permita ver todos los lados completamente. Esto también es simple; los estudiantes pueden ver fácilmente si sus formas cumplen con el requisito.

Sin embargo, no todos los problemas son puramente matemáticos. Por ejemplo, una tarea práctica puede pedir a los estudiantes que corten un trozo de papel para crear un agujero lo suficientemente grande como para pasar. Este tipo de problema es claro en sus requisitos, lo que hace que sea más fácil para los estudiantes resolverlo.

La naturaleza existencial de estos problemas los hace adecuados para la enseñanza, ya que los estudiantes pueden verificar sus soluciones sin necesidad de la intervención del profesor. Esto también se traduce bien en competiciones, donde la evaluación puede centrarse en las respuestas en lugar de argumentos largos.

#Afirmaciones universales

Las afirmaciones universales son lo opuesto de las afirmaciones existenciales. Afirman que algo es cierto para todos los casos posibles. Por ejemplo, si se pide colocar números alrededor de un círculo de tal manera que la suma de cada tres vecinos sea positiva mientras que el total sea negativo, se vuelve imposible. Esta contradicción resalta la importancia de entender estos tipos de afirmaciones.

Determinar cómo argumentar que una tarea es imposible puede ser complicado. Un estudiante puede querer asegurarse de que su razonamiento es sólido. Participar en una apuesta para verificar la validez de su afirmación puede cambiar su perspectiva, transformándola de una adivinanza a una pregunta más práctica.

Por ejemplo, si se desafía a cortar una tabla en fichas de dominó sin dos esquinas opuestas, los estudiantes pueden encontrarlo difícil pero podrían argumentar basado en sus intentos. Sin embargo, necesitan una base sólida para sus afirmaciones. Para algunos problemas, ayudas visuales como la coloración pueden ayudar a ilustrar por qué una cierta solución es imposible.

#Combinando tipos de afirmaciones

Algunos problemas combinan afirmaciones existenciales y universales. Por ejemplo, colocar el máximo número de caballeros en un tablero de ajedrez de manera que no se ataquen entre sí involucra dos tareas. El estudiante primero debe demostrar una solución válida antes de probar que ninguna solución permite más caballeros.

Al resolver este tipo de problemas, a menudo se utiliza un enfoque metódico. Por ejemplo, dividir el tablero de ajedrez en secciones puede ayudar a aclarar el número máximo de caballeros que se pueden colocar sin que se ataquen entre sí.

#Tratando con afirmaciones complejas

Los matemáticos y profesores a menudo crean un marco psicológico que ayuda a los estudiantes a ver las afirmaciones matemáticas complicadas como si tuvieran un significado real. Incluso con largas cadenas de lógica, usar términos prácticos como juegos puede ayudar a los estudiantes a entender mejor las ideas en estas afirmaciones.

Por ejemplo, si se pide a los estudiantes que demuestren una propiedad sobre una secuencia, podrían recibir un escenario que haga el problema más relatable. Al contextualizar el problema, los estudiantes pueden comprometerse de manera más efectiva con la lógica detrás de ello.

#Conceptos intermedios

Desglosar conceptos complejos en partes más simples también puede ayudar a los estudiantes a entender definiciones matemáticas. Por ejemplo, al discutir límites, los profesores podrían comenzar definiendo trampas para secuencias, que es un concepto más sencillo. Introducir gradualmente capas de complejidad permite que los estudiantes se sientan más cómodos.

#Percepción de soluciones

Al probar afirmaciones matemáticas, a veces los estudiantes pueden describir un proceso en lugar de proporcionar ejemplos explícitos. Este enfoque aún puede ser convincente porque esboza una forma clara de llegar a una respuesta, incluso si no muestra directamente el resultado.

Por ejemplo, si se pide encontrar un múltiplo de un número, describir cómo encontrar ese múltiplo a menudo es aceptable. Esta práctica también puede llevar a la confusión cuando los estudiantes aplican la misma lógica a procesos infinitos.

#¿Por qué crear ilusiones en el aprendizaje?

Estos ejemplos plantean una pregunta esencial: ¿por qué crear un enfoque estructurado para conceptos si puede ser solo una ilusión? ¿No sería mejor enseñar matemáticas honestamente sin estas complejidades? Puede haber un beneficio en introducir resultados clásicos primero antes de aplicar conceptos constructivos.

Las experiencias dentro de la comunidad matemática sugieren que comenzar con métodos tradicionales puede ayudar a los estudiantes a captar los conceptos básicos más fácilmente antes de pasar a un enfoque más constructivista. Esta transición puede crear, en última instancia, una base más sólida para entender ideas más complejas.

En conclusión, la matemática constructiva presenta un enfoque único para entender las afirmaciones matemáticas y su veracidad. A través de una cuidadosa selección de problemas y métodos de enseñanza, los educadores pueden ayudar a los estudiantes a involucrarse de manera más significativa con las matemáticas, fomentando una comprensión y apreciación más profundas por la materia.